二次函数易错题汇编含答案

二次函数易错题汇编含答案一、选择题1.如图是二次函数y=以2+云+。的图象，有下面四个结论：①川c>0；@a-b+c>0；®2a+3b>0；®c-4b>0,其中正确的结论是（）A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④【答案】D【解析】【分析】八 b八 ，八根据抛物线开口方向得到a>0，根据对称轴x=-—>0得至1」b<0，根据抛物线与y轴2a的交点在x轴下方得到C<0，所以abc>0；x=-1时，由图像可知此时y>0，所以b1a-b+c>0；由对称轴x=--=-，可得2a+3b=0；当x=2时，由图像可知此时2a3y>0,即4a+2b+c>0，将2a=-3b代入可得c-4b>0.【详解】b①根据抛物线开口方向得到a>0,根据对称轴x=-丁〉0得至1」b<0,根据抛物线与y2a轴的交点在x轴下方得到c<0，所以abc>0,故①正确.②x=一1时，由图像可知此时y>0,即a-b+c>0,故②正确._ b1③由对称轴x=--=-，可得2a+3b=0，所以2a+3b>0错误，故③错误；2a3④当x=2时，由图像可知此时y>0，即4a+2b+c>0，将③中2a+3b=0变形为2a=-3b，代入可得c-4b>0,故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）

a+c<0a+b+c=0Aa+c<0a+b+c=0【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知：a<0,c>0,・•・ac<0,故A错误；bB.由对称轴可知：x=--<0,2a・•・b<0,故B错误；bC.由对称轴可知：x=---=-1,2a...b=2a,・「x=1时，y=0,...a+b+c=0,；.c=-3a,a+c=a-3a=-2a>0,故C错误；故选D.【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型.3.已知抛物线y=2x2-4x+C与直线y=2有两个不同的交点.下列结论：①c<4；②当x=1时，y有最小值c-2；③方程2x2-4x+c-2=0有两个不等实根；④若连接、、人一一「，，一，人，口“—八 ， 54t这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则c二万；其中正确的结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据“抛物线y=2x2-4x+c与直线y=2有两个不同的交点〃即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．【详解】解：：抛物线y=2X2-4X+C与直线y=2有两个不同的交点，•,2X2-4x+c=2有两个不相等的实数根，即2x2-4x+c-2=0有两个不相等的实数根，故③正确，.・.△=16-4x2x(c-2)>0，解得：c<4，故①正确；・•抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向上，,.当x=1时，y=c-2为最小值，故②正确；若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则顶点(1,c-2)到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，・•顶点(1,c-2)到直线y=2的距离为2-(c-2)=4-c,，两交点的横坐标分别为1-(4-c)=c-3与1+(4-c)=5-c，两交点坐标为(c-3,2)与(5-c,2),将(c-3,2)代入y=2X2-4X+c中得：2(c-3)2-4(c-3)+c=27解得：c=5或c=4・,c<4,7•・c=-，故④错误,•・正确的有①②③，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．4.已知抛物线y=x2+(2a+1)x+a2-a，则抛物线的顶点不可能在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得.【详解】2a+1 1抛物线y=x2+(2a+1)x+a2-a的顶点的横坐标为：x= 2—=一a-2-,4a22-a)-(2a+1» 1纵坐标为：y= =-2a-4,3・••抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y=2x+4,

・•・抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.5.已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b(aM)的图象为下列图象之一，则a的值为()【答案】A【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0,其顶点坐标为(0,32),与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0,根据顶点坐标有a2=3,由抛物线与x的交点坐标得到X2=a,所以a=-4,它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点卜1,0)代入解析式得到a-b+a2+b=0,解得a=-l；若二次函数的图形为第四个，把(-20)和(0,0)分别代入解析式可计算出a的值.【详解】解：若二次函数的图形为第一个，对称轴为y轴，则b=0,y=ax2+a2,其顶点坐标为(0,32),而a2>0,所以二次函数的图形不能为第一个；若二次函数的图形为第二个，对称轴为y轴，则b=0,y=ax2+a2,a2=3,而当y=0时，x2=-a,所以-a=4,a=-4,所以二次函数的图形不能为第二个；若二次函数的图形为第三个，令x=-l,y=0,则a-b+a2+b=0,所以a=-l；若二次函数的图形为第四个，令x=0,y=0,则a2+b=0①；令x=-2,y=0,则4a-2b+a2+b=0②，由①②得a=-2,这与图象开口向上不符合，所以二次函数的图形不能为第四个.故选A.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a，0)的图象与系数的关系：a>0,开口向上；a<0,开口 b 一，，一，b4ac-b2 向下；抛物线的对称轴为直线><=:；顶点坐标为(；一， )；也考查了点在抛物线2a 2a4a上则点的坐标满足抛物线的解析式.6若羯fyi)，B(—3，y2)6若羯fyi)，B(—3，y2)点，则y1，y2，y3的大小关系是()a.y<y<yb.y<y<yc.y<y<y d.y<y<y1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2【答案】C【解析】【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可.【详解】解：yi=(-4)2+4x(-4)—m=16-16—m=-m,y2=(-3)2+4x(-3)—m=9-12—m=-3-m,y『12+4x-m1=1+4-m=5-m,V-3-m<-m<5-m,•••丫2<丫1<丫3.故选：C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于三个函数值的大小不受m的影响.7.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)的自变量％与函数值》的部分对应值如下表：x■■■-2-1012■■■y=ax2+bx+c■■■tm-2-2n■■■且当x=-1时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：①abc>0；②-2和3是关于20x的万程ax2+bx+c=t的两个根；③0<m+n<—.其中，正确结论的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解.【详解】•・•由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2b1二抛物线的对称轴是：x=--=-；2a2a、b异号，且b=-a；二当x=0时y=c=-2c<0

.,.abc>0,故①正确；•・•根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t.,.-2和3是关于％的方程狈2+bx+c=t的两个根；故②正确;b=-a,c=-2TOC\o"1-5"\h\z，二次函数解析式：j= -ax-2,・,当％=-：时，与其对应的函数值y>0.2.3 8..—a—2>0,..a>—；4 3•・•当x=-1和x=2时的函数值分别为m和n,.m=n=2a-2,20m+n=4a-4>—；故③错误故选：C.【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量工与函数值》的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键.8.如图是抛物线y=ax2+bx+c（。/0）的部分图象，其顶点坐标为（1,m）,且与x铀的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①abc>0；②a-b+c>0；③b2=4a（c-m）；④一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个234234【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a,b,c的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m的交点可判定方程的解.【详解】・•函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴.•・a>0,c<0

・•抛物线的对称轴为直线x=-^-=l2a：.b<0.*.abc>0；①正确；・•抛物线与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1,•・抛物线与X轴的另一个交点在点（-2,0）和（-1,0）之间..•.当x=-1时，y<0，即a-b+c<0,所以②不正确；・•抛物线的顶点坐标为（1,m）,二m,二b2=4ac-4am=4a(c-m),所以③正确;・•抛物线与直线y=m有一个公共点，•・抛物线与直线y=m+1有2个公共点，•・一元二次方程ax2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确.故选:C.【点睛】考核知识点：抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.9.如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm.若点p从点A出发，以1cm/s的速度沿AfDfC方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AfBfC方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动.若设运动时间为t（s）,AAPQ的面积为S（cm2）则S（cm2）与t（s）之间的函数图象大致是（）【答案】A

【答案】A【解析】【分析】先根据条件求出AB、AD的长，当04“时，Q在边AB上，P在边AD上，如图工，计算S与t的关系式，分析图像可排除选项B、C；当4</6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2,计算S与t的关系式，分析图像即可排除选项D,从而得结论.【详解】解：由题意得2AB+2BC=28,AB^BC+2,可解得A5=8,BC=6,即AD=6,①当04"时，Q在边AB上，P在边AD上，如图工，Q图1=1AP.AQ=11・2t=t2△APQ2 2图像是开口向上的抛物线，故选项B、C不正确；②当4<t<6时，Q在边BC上，P在边AD上，如图2,口1 IC△APQ=1△APQ=1AP.AB=11x82 2二4t图像是一条线段，故选项D不正确；故选：A.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P和Q的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式.10.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a=0）的部分图象，其顶点坐标为（1,n），且与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①4a-2b+c〉0；②3a+b〉0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个互异实根.其中正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0,对称轴x=l,利用顶点坐标，图象与x轴的交点情况，对照选项逐一分析即可.【详解】①•・•抛物线与x轴的一个交点在点（3,0）和（4,0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1,・•・抛物线与x轴的另一个交点在点（-2,0）和（-1,0）之间，・，・当乂=-2时，y<0,即4a-2b+c<0,所以①不符合题意；b②•・•抛物线的对称轴为直线x=-丁=1,即b=-2a,aA3a+b=3a-2a=a<0,所以②不符合题意；③•・•抛物线的顶点坐标为（1,n）,.4ac-b2.. =n,4aAb2=4ac-4an=4a（c-n），所以③符合题意；④•・•抛物线与直线y=n有一个公共点，A抛物线与直线y=n-1有2个公共点，A一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④符合题意.故选：B.七（㈤। । w । |\। । .-2 -1 01 2 3M 5za-1【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键..抛物线y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=-1.若关于x的一元二次方程一x2+bx+3-t=0（t为实数）在-2<xV3的范围内有实数根，贝壮的取值范围是（ ）A.-12<f<3 B.-12<f<4C.-12<f<4 D.-12<f<3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y=—X2-2X+3,将一元二次方程一X2+bx+3-t=0的实数根看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交点，再由-2<x<3确定y的取值范围即可求解.【详解】解：•・^y=-x2+bx+3的对称轴为直线x=—l,b=-2,.*.y=—x2-2x+3,，一元二次方程一x2+bx+3-t=0的实数根可以看做是y=-x2-2x+3与函数y=t的交点，,当x=-l时，y=4；当x=3时，y=—12,函数y=—x2-2x+3在-2<x<3的范围内一12<yW4,.,.-12<t<4,故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键..抛物线y『ax2+bx+c与直线y2=mx+"的图象如图所示，下列判断中：①abc<0；②a+b+c>0；③5a-c=0；④当x<：或x>6时，%>力，其中正确的个数有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y轴的交点可知：a>0,b<0,c>0,则abc<0,则①正确；根据图形可得：当x=l时函数值为零，则a+b+c=0,则②错误；根据函数对称轴可得：-k=3,则b=-6a,根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-2ac=0,则③正确；根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上，则a大于零，如果函数开口向下，则a小于零；如果函数的对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果函数的对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果函数与x轴交于正半轴，则c大于零，如果函数与x轴交于负半轴，则c小于零；对于出现a+b+c、a-b+c、4a+2b+c、4a-2b+c等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.13.定义［a,b,c］为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为［2m,1-m,-1-m］的函数的一些结论,其中不正确的是()A.当m=-3时，函数图象的顶点坐标是(3,8)3B.当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3C.当m/0时，函数图象经过同一个点1D.当m<0时，函数在x>4时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】分析：A、把m=-3代入［2m,1-m,-1-m］,求得［a,b,c］,求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B、令函数值为0,求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；D、根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答.详解：因为函数y=ax2+bx+c的特征数为［2m,1-m,-1-m］；A、当m=-3时，y=-6x2+4x+2=-6(x-3)2+8，顶点坐标是(3,83)；此结论正确；B、当m>0时，令y=0,有2mx2+(1-m)x+(-1-m)=0,解得：x1=1,x2=---m'|x2-x1|=3+1->3，所以当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3,此结2 122m 2 2论正确；

C、当x=1时，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)=2m+(1-m)+(-1-m)=0即对任意m,函数图象都经过点(1,0)那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点(1,0),当m/0时，函数图象经过同一个点(1,0),故当m/0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．D、当m<0时，y=2mx2+(1-m)x+(-1-m)是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=喂，在对称轴的右边y随x的增大而减小.因为当m<0时，4mm—11 1 1 ,,,,, 1 ,一一，1 …m-1=1—白〉1,即对称轴在x=-右边，因此函数在x=-右边先递增到对称轴位置，4m44m4 4 4再递减,此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的.故选D.点睛：考查二次函数的性质,顶点坐标,两点间的距离公式,以及二次函数图象上点的坐标特征．5D-2B(0,c),4(—2,4—c)„B'(0,—。)，结合矩形的性质，列出关于c的方14.已知抛物线w:y=x2—4x+c，其顶点为A，与y5D-2B(0,c),4(—2,4—c)„B'(0,—。)，结合矩形的性质，列出关于c的方A,・巧A.2【答案】D【解析】【分析】先求出A(2,c-4)程,即可求解.【详解】・•抛物线W:y=x2—4x+c，其顶点为A，与y轴交于点B,.•・A(2,c-4),B(0,c),・•将抛物线W绕原点旋转180。得到抛物线W'，点A,B的对应点分别为A'，B',•・A'(—2,4—c),,B'(0,—c),・•四边形ABA'B'为矩形，•.AA'=BB',•.L—(—2)]2+[(c—4)—(4—c)]2=(2c)2，解得：c=5.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键..下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=依2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图象.正确的( )A.A.【答案】D【解析】【分析】【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，论.【详解】令ax2+(a+c)x+c=ax+c，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结c解得,xi=0，x2=-a，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的交点为(0,c),(——,0)a选项A中二次函数y=ax2选项A中二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a>0,c<0,而一次函数y=ax+c中a<0故选项A不符题意，选项B中二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a>0,c<0,而一次函数y=ax+c中a>0两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B不符题意，选项C中二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a<0,c>0,而一次函数y=ax+c中a<0交点符合求得的交点的情况，故选项D符合题意，选项D中二次函数y=ax2+(a+c)x+c中a<0,c>0,而一次函数y=ax+c中a>0c>0,c<0,c>0,c<0,故选项C不符题意，故选：D.【点睛】考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答..平移抛物线L:y=x2得到抛物线L，使得抛物线L'的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L'上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L'的是()A.向右平移1个单位，再向下平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位3 9C.向左平移/个单位，再向下平移］个单位D.向左平移3个单位，再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】解：由A选项可得L'为：y=（%-1）2-2，则顶点为（1，2，顶点（1，2关于原点的对称点为（,12）,当x=时，y=2,则对称点在该函数图像上，故A选项不符合题意；由B选项可得L'为：y=（%+1）2-2,则顶点为（，12，顶点（,12关于原点的对称点为（1,2）,当x=1时，y=2,则对称点在该函数图像上，故B选项不符合题意；, /3、9由C选项可得L为：y=（%+y）2--,则顶点为（3,9），顶点（3,9）关于原点的对称点为（3,9）,当x=3时，y=9，则对称点在该函数图像上，故C选项不符合题意；由D选项可得L'为：y=（%+3）2-9,则顶点为（39，顶点（39关于原点的对称点为（3,9）,当x=3时，y=27M,则对称点不在该函数图像上，故D选项符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键.17.已知二次函数y=ax2+bx+c（a/0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc<0；②b2-4ac>0；③3a+c>0；④（a+c）2Vb2,其中正确的结论有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】试题解析：①由开口向下，可得又由抛物线与y轴交于正半轴，可得。>。，再根据对称轴在y轴左侧，得到力与。同号，则可得可0,。历)0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得上-4碇>0,故②正确；③当了=一2时，y<0,即4“一2Z?+c<0……(1)当％=1时，y<0,即〃+Z?+c<0……(2)(1)+(2)x2得，6a+3c<0,即2。+c<0,又因为〃<0,所以〃+(2a+c)=3q+c<0,故③错误；④因为％=1时，>=〃+8<0,工=-1时，y=a-b+c>0所以(a+Z?+c)Q—0+c)<0即[(〃+c)+>][(〃+c)-b=(«+C)2-Z?2<0,所以(a+c)2<Z?2.故④正确，综上可知，正确的结论有2个.故选B.18.已知二次函数y=a(x-力)2+k的图象如图所示，直线y=ax+恢的图象经第几象限【