材料力学（第2版）课件：平面图形的几何性质

平面图形的几何性质Geometricpropertiesofplanefigure

平面图形的几何性质GeometricpropertiesofplanefigureA.1静矩与形心A.2惯性矩与惯性积A.3平行移轴公式A.4转轴公式*A.1静矩与形心A.1静矩与形心

设任意形状平面图形如图所示，其面积为A，建立图示Oyz直角坐标系。

任取微面积dA，其坐标为(y,z)，则积分

分别称为平面图形对轴y与轴z的静矩或一次矩（Momentofarea）。

平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩也就不同。因此静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零。静矩的量纲为长度的三次方。A.1静矩与形心

设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板板面形状如图所示。均质薄板的重心:

均质板重心与其平面图形的形心重合。

若

yC

=0或zC=0，则Sz=0或Sy

=0；平面图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过平面图形的形心。通过平面图形形心的坐标轴称为形心轴。A.1静矩与形心【例题A.1】

求如图所示半圆形的静矩

Sy，Sz及形心

C位置。已知圆的半径为R

。A.1静矩与形心解（1）求静矩取平行于轴的狭长条为微面积dA，则（2）求形心坐标A.1静矩与形心

根据静矩的定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩。

Ai和

yCi，zCi分别表示任一组成部分的面积及其形心的坐标。组合图形形心坐标的计算公式为A.1静矩与形心【例题A.2】

试确定如图所示图形形心C

的位置。A.1静矩与形心

选取图示参考坐标系Oyz，并将图形划分为Ⅰ和Ⅱ两个矩形。

得组合图形形心

C的纵坐标为A.2惯性矩与惯性积A.2惯性矩与惯性积

设任意形状平面图形如图所示。其图形面积为A，任取微面积dA，则积分

分别称为平面图形对轴y与轴z

的惯性矩或二次矩（Momentofinertia）。惯性矩

Iy和Iz

恒为正，其量纲为长度的四次方。

iy和iz分别称为平面图形对轴y和轴z

的惯性半径（Radiusofinertia）。惯性半径的量纲为长度。A.2惯性矩与惯性积

若以

r

表示微面积dA到坐标原点的距离，则下述积分

定义为平面图形对坐标原点的极惯性矩或二次极矩（Polarmomentofinertia）。

平面图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。A.2惯性矩与惯性积

定义积分

定义为平面图形对轴y,z的惯性积

Iyz可能为正，为负或为零。量纲是长度的四次方。

如果图形有一个（或一个以上）的对称轴，则图形对包含此对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。A.2惯性矩与惯性积【例题A.3】求实心和空心圆对形心的极惯性矩和对形心轴的惯性矩。(1)实心圆极惯性矩图形对称，惯性矩A.2惯性矩与惯性积(2)空心圆极惯性矩令惯性矩A.2惯性矩与惯性积【例题A.4】求矩形图形对形心轴的惯性矩。

微面积取宽为dy

，高为h且平行于轴z的狭长矩形，即

矩形图形对轴z的惯性矩为

矩形图形对轴y的惯性矩为A.2惯性矩与惯性积组合图形的惯性矩

当一个平面图形是若干个简单的图形组成时，根据惯性矩的定义，可先计算出每一个简单图形对同一轴的惯性矩，然后求其总和，即得整个图形对于这一轴的惯性矩。用公式表达为A.2惯性矩与惯性积【例题A.5】计算图示工字形图形对形心轴y的惯性矩本例可采用负面积法A.3平行移轴公式A.3平行移轴公式

如图所示，设C为平面图形的形心，yC和zC

是通过形心的坐标轴，图形对形心轴的惯性矩和惯性积已知

若轴y平行于轴yC，且两者的距离为a；轴z

平行于轴zC，且两者的距离为b

。图形对轴y

和轴z

的惯性矩和惯性积分别为A.3平行移轴公式A.3平行移轴公式

上式称为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。应用时要注意a

和b是图形的形心C在Oyz坐标系中的坐标，它们有正负。由上式可知，平面图形对所有平行轴的惯性矩中，以对形心轴的惯性矩为最小。A.3平行移轴公式【例题A.6】计算例A.2图形对水平形心轴yC

的惯性矩解：将图形分解为矩形Ⅰ(绿色)和矩形Ⅱ(紫色)A.4转轴公式*A.4转轴公式设有面积为A的任意平面图形，

若将坐标轴绕点O旋转角a，且以逆时针转角为正，旋转后得到新的坐标轴为y1

，z1

，而图形对轴y1

，z1

的惯性矩和惯性积应分别为A.4转轴公式

微面积dA在新旧两个坐标系中的坐标关系为

代入并展开A.4转轴公式A.4转轴公式将上述Iy1与Iz1相加得

图形对于通过同一点的任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和恒为常数。A.4转轴公式当一对坐标轴绕原点转动时，惯性积随坐标轴转动变化而改变

总可以找到一个特殊角度a0，以及相应的坐标轴y0，z0。使得图形对这一对坐标轴的惯性积

Iy0z0

为零，则称这一对坐标轴为图形的主惯性轴，简称主轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。A.4转轴公式求出a0的角度，代入经简化后得主惯性矩的计算公式为A.4转轴公式由以上分析还可推出（1）若图形有2个以上（大于2）对称轴时，任一对称轴都是图形的形心主轴，且图形对任一形心轴的惯性矩都相等。（2）若图形有两个对称轴时，这两个轴都是图形的形心主轴。（3）若图形只有1个对称轴时，则该轴必是1个形心主轴，另1个形心主轴为通过图形形心且与对称轴垂直的轴。（4）若图形没有对称轴时，可通过计算得到形心主轴及形心主惯性矩的值。下面通过例题说明。A.4转轴公式确定如图所示图形的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。【例题A.7】A.4转轴公式（1）确定形心位置（2）求图形对与轴y,z平行的形心轴yC和zC的惯性矩和惯性积A.4转轴公式（3）确定形心主轴位置A.4转轴公式（4）求形心主惯性矩A.4转轴公式（4）求形心主惯性矩A.4转轴公式求形心主惯性矩的一般步骤：（1）将组合图形分解为若干简单图形，确定组合图形的形心位置；（2）以形心C为为坐标原点，如有可能，使过形心的坐标轴yC,zC与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形