材料力学（第2版）课件：能量法初步

能量方法初步EnergyMethod能量方法初步EnergyMethod10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功10.2杆件的变形能计算10.3功的互等定理及位移互等定理10.4卡氏第二定理10.5莫尔定理及图乘法10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功

设弹性体在支座约束作用下无任何刚性位移，则弹性体在外力（即载荷）作用下发生变形，同时外力作用点在外力作用方向产生位移，因此外力在相应的位移上作功，用W表示。而弹性体由于变形的发生就要积蓄一定的能量，这种因变形而储存的能量称为应变能，用Ve表示。根据功能原理，若弹性体的外力由零缓慢地增至最终值，忽略弹性体在变形过程中的其他能量损耗，则储存在弹性体内的应变能在数值上等于外力在其相应位移上所作的功。

利用外力功与应变能的关系计算和分析构件及结构的位移、变形、内力和应力的方法称为能量法。能量法是一种重要的应用非常广泛的计算方法。本章从基本概念入手，介绍能量法的基本理论和方法及应用。10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功常力功

弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力作功，是常力功:10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功变力功

作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。

对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。FPΔOFP

10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功常力功非线性变力功线性变力功10.1作用在弹性杆件上的力所作的常力功和变力功需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。FP可以是一个力，也可以是一个力偶；当FP是一个力时，对应的位移Δ是线位移，当FP是一个力偶时，对应的位移Δ是角位移。广义力广义位移集中力线位移集中力偶角位移一对等值反向的力相对线位移一对等值反向的力偶相对角位移10.2杆件的变形能计算10.2杆件的变形能计算轴向拉伸（压缩）

外力F作用是缓慢加载，F-DL关系符合胡克定律，呈线性关系当加载至F，变形为DL时，外力作功为图示的阴影部分面积。外力作功:变形能:将上式除以杆的体积Alv

变形能密度10.2杆件的变形能计算轴向拉伸（压缩）若杆件中轴力FN=F

当杆件的轴力沿杆件的轴线发生变化时,dx微段的应变能:10.2杆件的变形能计算

外力偶矩从0缓慢增加至最终值，圆轴的转角j与外力偶矩T的关系也是一条斜直线。若

扭矩沿轴线变化时，整个轴的应变能为:扭转10.2杆件的变形能计算弯曲

根据挠曲线近似微分方程，可计算两端截面相对转角:力偶所作的功是:

纯弯曲梁的应变能：

对于横力弯曲，梁截面上同时有弯矩和剪力，且一般都随截面位置变化，这时应分别计算弯曲与剪切相对应的应变能，但是在细长梁下，对应于剪切的应变能与弯曲应变能相比，可以忽略不计。10.2杆件的变形能计算统一形式

根据轴向拉压、扭转和弯曲的分析，应变能可综合写成统一形式:

F

广义力D

广义位移

在线弹性情况下，广义力和广义位移之间是线性关系。

对于非线性弹性材料组成的构件，不能用上式计算变形能或外力功，而应有下式计算：10.2杆件的变形能计算例题10.1

如图所示简支梁，集中力F作用于C点，试用能量原理计算截面C的挠度wC。

EI为常数。10.2杆件的变形能计算1、计算约束反力，写出弯矩方程2、应变能10.2杆件的变形能计算3、外力作功4、根据功能原理10.2杆件的变形能计算应变能表达式组合变形情况下的应变能10.3功的互等定理和位移互等定理10.3功的互等定理和位移互等定理功的互等定理

对于线弹性体（梁、桁架、框架等），第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。10.3功的互等定理和位移互等定理功的互等定理[证明]注:由于在F2作用之前F1已经作用在梁上，因此F1在F2引起的位移D12上作功是常力作功F1

D12两次加载作的功应等于弹性体存储的应变能。而应变能与加载次序无关（若有关，则和能量守恒相矛盾）。10.3功的互等定理和位移互等定理位移互等定理若F1=F2

F1作用点沿F1方向由于F2而引起的位移D12,等于F2作用点沿F2方向由于F1引起的位移D21.

上述互等定理中的力和位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应当是角位移。10.3功的互等定理和位移互等定理例题10.2

如图所示悬臂梁，已知梁的抗弯刚度为EI,若截面B的垂直位移为0，试用互等定理求FB10.3功的互等定理和位移互等定理第一组力:F,FB第二组力:F0=1根据功互等，第一组力在第二组力引起的位移作功等于第二组力在第一组力引起的位移作功计算D1,D2第一组力在第二组力引起的位移上作功:10.3功的互等定理和位移互等定理第一组力在第二组力引起的位移上作功:第二组力在第一组力引起的位移上作功为0（第一组力引起B点位移为0）:由功的互等定理10.3功的互等定理和位移互等定理课堂练习

如图所示简支梁，已知梁中点C作用F力时，B截面的转角:试求在B截面作用力偶矩M时，C的挠度DC10.3功的互等定理和位移互等定理课堂练习解答根据功的互等定理，F力在M所引起的位移上所作的功等于M在F力所引起的位移（角位移）上所作的功，即方向向下10.4卡氏第二定理10.4卡氏第二定理结构因外力作用而存储的应变能：若有一个增量dFi，则应变能增量（功增量）略去高阶小量10.4卡氏第二定理第一组力第二组力根据功互等定理：若dFi趋于0卡氏第二定理(通常称卡氏定理):线弹性杆件或杆系的应变能对于作用在该杆系上某一载荷的变化率等于该载荷相关的位移。CarloAlbertoCastigliano意大利187310.4卡氏第二定理对于横力弯曲，应用卡氏定理：对于桁架，由于各杆均受轴向力

用卡氏定理求结构某处位移，该处需有与所求位移相应的载荷，若该处没有与此位移对应的载荷，则可采用附加力的方法，即在该点虚设一个广义力F,运用卡氏定理求广义位移，最后使该力等于零。10.4卡氏第二定理例题10.3

线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力，若F、l、EI已知，求

1）加力点A的位移DA

2)梁中点B的位移DB10.4卡氏第二定理1、求加力点A的位移弯矩方程：正值表示位移与力方向一致10.4卡氏第二定理2、求梁中点B的位移在点B附加力F'弯矩方程:实际B处并无力的作用，故F'=010.5莫尔定理及图乘法10.5莫尔定理及图乘法莫尔定理求梁上截面C在载荷F1,F2……Fi作用下的位移DC假想在截面C先作用单位力F0=1F0单独作用时的应变能:M0(x)

单位力作用下梁的弯矩方程然后增加载荷F1,F2……FiF1,F2……Fi作用时的应变能:M(x)

F1,F2……Fi作用下梁的弯矩方程梁总的应变能:10.5莫尔定理及图乘法莫尔定理将单位力F0=1与F1,F2……Fi同时作用，梁上的弯矩方程应为：梁总的应变能:两种情况下应变能相等:展开化简后得到:这就是计算弯曲变形时的莫尔定理或单位载荷法。式中的积分称为莫尔积分。10.5莫尔定理及图乘法莫尔定理将计算弯曲变形时的莫尔定理进行推广:同时承受弯曲和扭转:对于有m根杆的桁架，若在载荷作用下第i根杆的轴力FNi

在需要求两点的相对位移时，只需要在两点的联线方向上加一对方向相反的单位力，然后用莫尔定理计算，即可求得相对位移。10.5莫尔定理及图乘法图乘法莫尔积分：若EI为常数，则只需计算M(x),M0(x)如有一个是x的线性函数，可用图乘法简化积分计算微面积对M(x)轴的静矩M(x)所围面积w对M(x)轴的静矩10.5莫尔定理及图乘法图乘法10.5莫尔定理及图乘法图乘法图乘法的应用条件(1)杆件轴线为直线——直杆；(2)杆件是等截面的（或分段等截面的）——EI

=

常数；(3)两个弯矩图中至少有一个是直线变化的（或分段直线变化）

——直线图形。可用图乘法求积分运算10.5莫尔定理及图乘法图乘法几种常见图形的面积及其形心10.5莫尔定理及图乘法图乘法

对于比较复杂的图形，在进行图乘法求解时，为了计算方便，可将弯矩分解成几部分，对每一部分使用教材上给出的标准图形，然后叠加求解。

若M(x)为折线，则应以折线的转折点为界，将积分分成几段，逐段使用图乘法，然后求和。10.5莫尔定理及图乘法例题10.4

均布载荷作用下的简支梁如图，EI为常量，试求跨中截面C的挠度wC10.5莫尔定理及图乘法1、画出梁的弯矩图2、在梁的中点施加单位力3、画出单位力作用下的弯矩图4、利用图乘法求解。由于单位力作用下的弯矩图是折线，因此要分段求和。10.5莫尔定理及图乘法弯矩图左右对称，可取其中一半计算形心位置按照图乘法求跨中挠度10.5莫尔定理及图乘法例题10.5用图乘法求图示梁的截面B挠度和转角

10.5莫尔定理及图乘法例题10.51、画出弯矩图（过程略）

为了应用图乘法方便，可以将弯矩图分解成为3个面积的代数和

注意到II、III面积应为负面积10.5莫尔定理及图乘法例题10.52、为求截面B的挠度，在截面B施加单位力F0=1，画出单位力作用下的弯矩图10.5莫尔定理及图乘法例题10.5按照图乘法求截面B挠度10.5莫尔定理及图乘法例题10.5按照图乘法求截面B转角为求截面B

转角，在B点施加单位力偶MB=1画出弯矩图10.5莫尔定理及图乘法例题10.6

刚架受力如图所示，已知：横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲刚度为EI，拉伸刚度为EA，载荷集度q，长度l。

求：1.截面B

的水平位移;

2.分析轴力对B处水平位移的影响。

10.5莫尔定理及图乘法

画出系统的弯矩图，可利用叠加原理，分别画出Fp=ql作用以及q作用下的弯矩图，计算B点位移时分别与单位力产生的弯矩图进行图乘后叠加。原系统图Fp单独作用的弯矩图q单独作用的弯矩图1、计算弯矩引起的B点水平位移10.5莫尔定理及图乘法为求截面B的水平位移，在截面B加一个水平向右的单位力，并画出单位力作用下的弯矩图。10.5莫尔