材料力学（第2版）课件：杆件的应力分析

杆件的应力分析杆件的应力分析(A)StressPARTA杆件的应力分析（A）Stress（PARTA）3.1应力、应变及其相互关系3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力问题的提出内力相同，但是常识告诉我们，直径细的拉杆更容易破坏。课堂思考：(1)内力显然不是决定拉杆破坏的唯一因素。(2)决定拉杆是否发生破坏的因素有哪些？3.1应力、应变及其相互关系3.1应力、应变及其相互关系△A上的内力平均集度为:

当△A趋于零时，pm的大小和方向都将趋于某一极限值。

p称为该点的应力(Stress)，它反映内力系在该点的强弱程度，p是一个矢量。3.1应力、应变及其相互关系

p

一般来说既不与截面垂直，也不与截面相切，对其进行分解垂直于截面的应力分量:s相切于截面的应力分量:tσ

正应力τ

切应力应力单位:牛顿/米2帕斯卡（Pa）1kPa=103Pa1MPa=103kPa=106Pa1GPa=103MPa=106kPa=109Pa3.1应力、应变及其相互关系变形(Deformation)构件在外力作用下尺寸和形状的改变位移(Displacement)构件在其变形的同时，其上的点、面相对于初始位置的变化在构件中取一个各边边长为无限小的正六面体(单元体)，考察构件变形后，单元体棱边的长度和两棱边之间的夹角变化。所有的变形后的单元体组合起来就是变形后的构件形状，反映出构件的宏观变形。3.1应力、应变及其相互关系

变形前

变形后正应变线应变NormalStrain切应变角应变AngularStrain

正应变和切应变的量纲均为1

切应变的单位是rad应变Strain3.1应力、应变及其相互关系胡克定律试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（构件只发生弹性变形），若所取单元体只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在线性关系。τγOσxεxOE-材料的杨氏弹性模量G-材料的切变模量RobertHooke

3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力1拉压杆横截面上的应力平面假设:变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面且仍垂直于杆轴线。(参考圣维南原理)假设：横截面上各点处仅有正应力s，并沿截面均匀分布。3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力1拉压杆横截面上的应力设横截面的面积为A，由静力学关系：

正应力，拉应力为“+”，压应力为“－”FN

轴力A

横截面面积杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆：多个轴向载荷作用的等截面直杆：最大轴力所在的截面称为危险截面危险截面上的正应力称为最大工作应力3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力【例3.1】

起吊三角架如图所示，已知杆AB由两根横截面面积为A的角钢制成，设A=10.86cm2,F=130kN,

a=30°。求杆AB横截面上的应力。3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力2)计算sAB以节点A为研究对象，列平衡方程拉3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力拉压杆斜截面上的应力

不同材料的实验表明，拉压杆的破坏并不总是沿横截面发生，有时沿斜截面发生。3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力

横截面上的应力分布均匀，由此推断，斜截面m-m上的应力pa也为均匀分布。

设横截面面积As

横截面上的正应力3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力

将应力pa沿截面法向和切向进行分解：a

=0：

a

=45°：a=90°：

拉压杆的最大切应力发生在与杆轴线成45°的斜截面上纵向纤维之间无挤压，无剪切3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力【例3.2】

已知阶梯形直杆受力如图所示，杆各段的横截面面积分别为A1=A2=2500mm2，A3=1000mm2，杆各段的长度如图。求(1)杆AB、BC、CD段横截面上的正应力(2)杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力和切应力。3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力(1)计算各杆段横截面上的正应力利用截面法求出各段轴力(步骤略)AB段BC段CD段3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力(2)计算杆AB斜截面上的正应力和切应力3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力平面假设:变形前原为平面的横截面，变形后仍然保持为平面且仍垂直于杆轴线。思考：平面假设什么场合下是成立的？当杆端承受集中载荷或其他非均匀分布载荷时，杆件并非所有横截面都能保持平面，从而产生均匀的轴向变形。这种情况下，正应力公式并不是对杆件上所有横截面都适用3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力圣维南原理：BarrédeSaint-Venant“如果作用在弹性体一小块表面上的力被作用于同一块表面上的静力等效力系替代，这种替换仅使局部表面产生显著的应力变化，而在比应力变化表面的线性尺寸更远的地方，其影响可忽略不计。”B.Saint-Venant,Mém.savantsétrangers,vol.14,1855.有限元分析的圣维南原理3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力应力集中

由圣维南原理知，等直杆受轴向拉伸或压缩时，在离开外力作用处较远的横截面上的正应力是均匀分布的。但是，如果杆截面尺寸有突然变化，比如杆上有孔洞、沟槽或者制成阶梯时，截面突变处局部区域的应力将急剧增大，这种现象称为应力集中。3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力应力集中应力集中因数截面尺寸改变越急剧，孔越小，圆角越小，应力集中的程度就越严重。应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力3.2直杆轴向拉伸或压缩时的应力思考：下图所表示的应力分布说明什么问题？3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力纯剪切问题圆筒发生扭转后，方格由矩形薄壁圆筒壁厚远小于其平均直径d≤r/10

平行四边形切应变

正应变为0无正应力圆筒沿轴线及周线的长度无变化3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力因为圆筒壁厚很小，可近似认为沿筒壁厚度切应力不变。横截面上所有切应力t

组成力系的合力为该横截面的扭矩T3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力切应力互等定理

用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒中取出边长为dx，dy和dz的单元体圆筒平衡单元体平衡

上下两个侧面必有切应力

上下两个侧面切应力大小相等，方向相反3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力切应力互等定理

在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力剪切胡克定律

单元体上下左右四个侧面上只有切应力而无正应力

纯剪切纯剪切试验结果表明，当切应力不超过材料的剪切比例极限时，有剪切胡克定律G

切变模量，量纲与切应力相同E,n，G三者关系*3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力圆截面轴扭转时横截面上的切应力的计算公式推导综合研究几何、物理、静力学几方面的关系。平面假设:变形后，横截面仍保持平面，其形状、大小与横截面间的距离均不改变，且半径仍为直线。圆轴扭转时，各横截面如同刚性圆片，仅绕轴线作相对旋转。3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力其中表示扭转角沿轴线长度方向的变化率，而称为相对扭转角。同一截面上为常数，因此与成正比几何方面3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力物理方面在剪切比例极限内由于发生在垂直于半径的平面内，所以

也应与半径垂直。3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力静力学方面微剪力trdA其对圆心的力矩

(trdA)r横截面上，所有微力矩之和等于扭矩3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力3.静力学方面代入物理方程极惯性矩PolarMomentofInertia3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力圆截面轴扭转时横截面上的切应力计算公式适应条件等直圆（环）截面杆；横截面上的最大切应力小于剪切比例极限T：扭矩Ip：横截面的极惯性矩r：所求切应力点到圆心的距离3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力最大切应力圆心处r

=0

t=0外表面r

=r

max

t

=t

max取Wp∶扭转截面系数，单位mm3m33.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力圆截面轴扭转时横截面上的切应力分布规律3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力极惯性矩和扭转截面系数的计算3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力空心圆截面:极惯性矩和扭转截面系数的计算3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力【例3.3】

实心圆轴和空心圆轴通过牙嵌式离合器相联，并传递功率，如图所示。已知轴的转速n=100r/min，传递的功率

P=7.5kW。若两传动轴横截面上的最大切应力均等于40MPa，并且已知空心轴的内外径之比a=0.5，试确定实心轴的直径与空心轴的外径。3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力(1)计算扭矩(2)根据应力条件计算直径实心轴3.3圆截面轴扭转时横截面上的切应力空心轴实心和空心轴的横截面面积之比轴长度相同，承受扭矩相同，则在最大切应力相同的情况下，实心轴要使用更多的材料。3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力非圆截面杆扭转的概念试验表明，非圆截面杆受扭转时横截面将成为曲面，产生所谓的翘曲现象平面假设不再成立，根据平面假设所建立的扭转应力公式也不再适用。非圆截面杆的扭转问题只能用弹性力学的方法去研究3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆的扭转分为自由扭转（纯扭转）和约束扭转两种。等截面直杆受力偶作用发生扭转时，若各横截面可以自由翘曲，翘曲程度相同，此时杆的横截面上只有切应力而无正应力，这种扭转称为自由扭转。若横截面的翘曲受到某些限制，引起横截面的翘曲程度不同，这种情况将在横截面上引起正应力，即横截面上既有切应力，又有正应力，这种扭转称为约束扭转。3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力矩形截面轴的自由扭转切应力分布特点：1)沿边走2)角点为03)长边中点最大4)短边中点较大3.4矩形截面杆扭转时横截面上的切应力矩形截面轴的自由扭转狭长矩形截面压杆稳定Columns3.6横力弯曲梁横截面上的正应力3.6横力弯曲横截面上的正应力

工程中实际的梁大多发生横力弯曲，横截面由于切应力的存在而发生翘曲。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压。平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不成立。

弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比l/h大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%。3.6横力弯曲横截面上的正应力对于细长梁，工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况

对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大的横截面上，其大小应为:

弯矩最大的截面并不一定是危险截面。

梁的最大正应力不仅和弯矩M

有关，而且和截面的形状尺寸(几何性质)有关。3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.4】如图所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后尺寸如图，F=150kN。求梁危险截面上的最大正应力smax和同一截面上翼缘与腹板交界处点a的正应力sa。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)作梁的弯矩图F=150kN(2)截面几何性质查型钢表

56a工字钢:3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)危险截面最大正应力(4)危险截面处点a的正应力3.6横力弯曲横截面上的正应力

点a处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160MPa来计算：3.6横力弯曲横截面上的正应力显然，梁的自重引起的最大正应力仅为

而危险截面上的最大正应力变为远小于外加荷载F所引起的最大正应力。

如果考虑梁的自重(q=1.041kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.5】

如图所示圆轴AD，在BC段受均布载荷作用。已知q=1kN/m，AB段直径d1=280mm，BC段直径d2=320mm，轴的许用应力[s

]=140MPa，试校核该轴的强度。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)计算简图(2)求约束力并画弯矩图(略)3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)跨中危险截面3.6横力弯曲横截面上的正应力(4)

AB段横截面上的正应力AB段最大弯矩发生在截面B3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.6】

如图所示一槽型截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，已知F1=32kN，F2=12kN。试求该梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。3.6横力弯曲横截面上的正应力【例3.6】

对铸铁这样的抗压和抗拉强度不一样的材料，截面中性轴又不在对称轴上，同一截面的最大拉应力和最大压应力不相等，计算最大应力时不能单一考虑弯矩最大的截面。3.6横力弯曲横截面上的正应力(1)计算约束力，画弯矩图F1=32kN，F2=12kN3.6横力弯曲横截面上的正应力(2)计算截面几何性质求形心C

的位置（负面积法）横截面的惯性矩(注意平行移轴公式)3.6横力弯曲横截面上的正应力(3)对截面B弯矩负值，上侧受拉3.6横力弯曲横截面上的正应力(4)对截面C弯矩正值，下侧受拉3.6横力弯曲横截面上的正应力全梁的最大拉应力位于截面C

下边缘全梁的最大压应力位于截面B

下边缘3.6横力弯曲横截面上的正应力3.7横力弯曲梁横截面上的切应力3.7横力弯曲横截面上的切应力矩形截面梁儒拉夫斯基假设1）截面上任意一点的切应力

t的方向和该截面上的剪力FS的方向平行。2）切应力沿宽度均匀分布，即t的大小只与距离中性轴的距离有关。3.7横力弯曲横截面上的切应力取简支梁中dx的微段进行受力分析若所切微段上无横向外力作用，则两截面的剪力相等。弯矩不同，两侧截面上的正应力也不相同

按照儒拉夫斯基假设，切应力和剪力平行。

为了研究横截面上距离中性层y处的切应力t的数值，可在该处用一个平行于中性层的纵截面pp1，将微段的下半部分截出。矩形截面梁研究x方向的平衡

距中性轴为y处的横线以下部分面积A1对中性轴的静矩。同理可得矩形截面梁顶边分布的切应力的合力dF的大小由3.7横力弯曲横截面上的切应力整个横截面上的剪力整个截面对中性轴的惯性矩梁横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积对中性轴的静矩的绝对值所求切应力点的位置的梁截面宽度。3.7横力弯曲横截面上的切应力对于矩形截面梁，取公式改写为在截面的两端，y=±h/2在中性层，y=03.7横力弯曲横截面上的切应力工字形组合截面梁工字形截面由翼缘和腹板组成上翼缘下翼缘腹板

由于腹板截面是狭长矩形，因此儒拉夫斯基假设仍然适用，若要计算腹板上距中性轴y处的切应力，Sz*是图中黄色部分面积对中性轴的静矩。翼缘上的平行于y轴的切应力分量很小，通常不进行计算。热轧工字钢，其查附录3.7横力弯曲横截面上的切应力【例3.7】如图所示矩形截面悬臂梁，承受集度为q的均布载荷作用，求梁内最大正应力和最大切应力之比。3.7横力弯曲横截面上的切应力

由内力分析，梁的最大剪力和最大弯矩位于固定端截面梁最大弯曲正应力3.7横力弯曲横截面上的切应力梁最大弯曲切应力梁内最大正应力和最大切应力之比

由此可见，当梁的跨度l远大于其截面高度h时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。3.7横力弯曲横截面上的切应力

一般细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比都很大，因此，对一般细长梁的控制因素通常是弯曲正应力。

以下情况要考虑梁的切应力：