材料力学（第2版）课件：杆件的变形分析B

杆件的变形分析(B)DeformationPARTB杆件的变形分析（B）Deformation（PARTB）4.3挠曲线近似微分方程4.4用积分法计算梁的变形4.5用叠加法计算梁的变形

梁必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。4.3挠曲线近似微分方程4.3挠曲线近似微分方程取变形前的梁轴线为轴x，垂直向上的轴为轴y平面xy为梁的纵向对称面

对称弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为平面xy内的一条曲线，称为挠曲线。横截面形心在y方向的位移挠度(deflection)

w横截面对其原来位置转过的角度

转角(slope)q4.3挠曲线近似微分方程规定挠度w向上为正，转角q逆时针为正。挠曲线方程截面转角

q

就是轴

y

与挠曲线法线的夹角，小变形条件下转角方程4.3挠曲线近似微分方程弯矩与曲率的关系：平面曲线的曲率数学计算：4.3挠曲线近似微分方程小变形条件下，挠曲线近似微分方程4.4用积分法计算梁的变形4.4用积分法计算梁的变形梁的挠曲线近似微分方程对上式进行一次积分,可得到转角方程再进行一次积分,可得到挠曲线方程C和D是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其值。4.4用积分法计算梁的变形边界条件

根据约束的性质，确定约束处的挠度，转角4.4用积分法计算梁的变形连续条件

在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等(挠曲线是光滑连续曲线)。若梁分为n段积分，则要出现2n个待定常数，总可找到2n个相应的边界条件或连续条件将其确定。4.4用积分法计算梁的变形

弯曲刚度为EI的简支梁如图所示，在截面C处受一集中力F作用。求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度。4.4用积分法计算梁的变形（1）求约束反力FAFB（2）列出弯矩方程AC段CB段（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算4.4用积分法计算梁的变形（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故应对AC和CB分别计算AC段CB段FAFB4.4用积分法计算梁的变形FAFB利用边界条件和连续条件确定四个积分常数AC段CB段边界条件:连续条件:代入以上各式

求得积分常数4.4用积分法计算梁的变形FAFBAC段CB段求最大挠度最大挠度位于此时代入得4.4用积分法计算梁的变形讨论FAFB(1)在CB段内积分时，对含有(x2－a)的项不展开，以(x2－a)为自变量进行积分，可使确定积分常数的工作得到简化。(2)结果为负，表示挠度方向向下。4.4用积分法计算梁的变形FAFB(3)跨中挠度若若集中力作用于跨中，则若取极端情形，力

F

接近于右端支座b0w0此时而跨中挠度若用跨度中点挠度代替最大挠度，引起的误差仅为2.6%

4.5用叠加法计算梁的变形4.5用叠加法计算梁的变形

在杆件符合线弹性、小变形的前提下，变形与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷共同作用时杆件的变形。这就是求杆件变形的叠加法。

在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁在各种典型的简单载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，称为挠度表。实际工程计算中，往往只需要计算梁在几个载荷作用下的最大挠度和最大转角，或某些特殊截面的挠度和转角，此时用叠加法较为简便。4.5用叠加法计算梁的变形

如图所示起重机大梁的自重为均布载荷，集度为q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中点C。已知弯曲刚度EI，求跨度中点C的挠度。4.5用叠加法计算梁的变形=+=+4.5用叠加法计算梁的变形

类似于外伸梁和其它一些较为复杂结构的梁的问题中，有些梁是不能直接查表进行位移的叠加计算，需要经过分析和处理才能查表计算。

一般的处理方式是把梁分段，并把每段按照受力与变形等效的原则变成表中形式的梁，然后查表按照叠加法求解梁的变形。也可将复杂梁的各段逐段刚化求解位移，最后进行叠加来处理（逐段刚化法）。4.5用叠加法计算梁的变形例题4.5

如图所示外伸梁，其外伸端受集中力F的作用，已知梁弯曲刚度EI，求外伸端C的挠度和转角。4.5用叠加法计算梁的变形分析

在载荷F作用下，全梁均产生弯曲变形。变形在截面C引起的转角和挠度，不仅与BC段的变形有关，而且与AB段的变形也有关。因此，可先将AB段“刚化”（假设其不变形），求出截面C相对截面B的挠度和转角；再求AB段变形引起的截面C的牵连位移（此时，BC段被“刚化”）。4.5用叠加法计算梁的变形(1)只考虑BC段变形刚化ABBC段视为悬臂梁(2)只考虑AB段变形刚化BC段将力F向点B简化为一个力和一个力偶只需讨论力偶M对梁AB的作用4.5用叠加法计算梁的变形(3)叠加法计算截面C

转角和挠度4.5用叠加法计算梁的变形讨论(1)局部刚化的思想就是分段研究梁的变形（以便直接利用挠度表结果），将其余部分暂时看成刚体，最后再叠加，这种方法可以解决比较复杂的变形问题。(2)在小变形的条件下因此才有4.5用叠加法计算梁的变形

变截面梁如图所示，已知AE段和DB段的弯曲刚度为EI，ED段的弯曲刚度为2EI，求跨度中点C

的挠度。例题4.6载荷对称，结构对称。跨中C转角为0，将CB段看作悬臂梁处理(1)刚化CD段(2)刚化DB段(2)刚化DB段(3)B端挠度(4)跨中挠度例题4.7

水平面内的折杆ABC如图