（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第07讲 圆锥曲线中的定点、定直线问题（原卷版）

第页第07讲圆锥曲线中的定点、定直线问题考点一、椭圆中的定点、定直线问题【例1】已知椭圆的离心率是，点在上．(1)求的方程；(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．【变式1】已知椭圆右焦点分别为，是上一点，点与关于原点对称，的面积为.(1)求的标准方程；(2)直线，且交于点，，直线与交于点.证明：①直线与的斜率乘积为定值；②点在定直线上.【变式2】已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．考点二、双曲线中的定点、定直线问题【例1】已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.考点三、抛物线中的定点、定直线问题【例1】过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32

(1)求抛物线的方程；(2)若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程.【变式1】设抛物线：（）的焦点为，点的坐标为.已知点是抛物线上的动点，的最小值为4.(1)求抛物线的方程：(2)若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点.【能力提升】1.已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于.(1)求双曲线的方程.(2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.已知点，在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点.3.已知椭圆的左､右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点，且斜率不为的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上.4.已知抛物线E：（p>0），过点的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为时，(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．圆锥曲线中的定点、定直线问题课后练习1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．2.已知椭圆的离心率为，且直线是抛物线的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线交椭圆于两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.4.已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，．(1)求的标准方程；(2)设为直线与的交点，证明：点在定直线上．圆锥曲线中的定点、定直线问题随堂检测1.已知抛物线：过点．(1)求抛物线的方程；(2)，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，证明：直线恒过定点．2.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.3.已知和是椭圆的左、右顶点，直线与椭圆相交于M，N两点，直线不经过坐标原点，且不与坐标轴平行，直线与直线的斜率之积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为，直线与直线相交于点，直线PO与直线相交于点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．4.已知椭圆：的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．5.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐