（寒假）人教A版高二数学寒假培优讲义+随堂检测+课后练习 第04讲 空间向量（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第04讲空间向量空间角空间角的概念及范围空间角解题思路夹角范围线线角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为则线面角l为平面α的斜线，为l的方向向量，为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量为，平面β的法向量为，〈，〉＝θ，设二面角大小为φ，则一．异面直线所成的角1.几何法:平移法求异面直线所成的角(1)作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；（2）证：证明作出的角是异面直线所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2.向量法(1)建立空间直角坐标系；(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.二．直线与平面所成角1.几何法一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.向量法（1）斜线的方向向量（2）平面的法向量（3）斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.三．二面角1.几何法方法一：定义法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.空间距离一．点到线的距离1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离；设AP＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量AP在直线l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离；五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.一．求点面距常见方法方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二：等体积法方法三：向量法二.向量法求两异面直线的距离分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解.考法一线线角【例1-1】如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】连接与交于点，连接，由题意得，，且平面，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设四棱锥各棱长均为2，则，，可得，则，设异面直线与所成角为，则．故选：A．【一隅三反】1．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，

，，四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）；，，，，即异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.考法二线面角【例2-1】如图，在底面为菱形的四棱锥中，，．

(1)求证：平面平面ABCD；(2)已知，求直线BN与平面ACN所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：取AD的中点为O，连结OM，OB，因为四边形ABCD是为菱形，且，所以为正三角形，所以，且．因为，所以，所以，又因为，所以，所以，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又因为平面MAD，所以平面平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM两两垂直，故以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，，所以，，，设平面ACN的一个法向量为，则，即，取，则．因为，则，所以直线BN与平面ACN所成角的正弦值为．【一隅三反】1．如图，在三棱柱中，底面，，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明详见解析；(2)【解析】（1）连接，由于分别为，的中点，所以，由于平面，平面,所以平面.（2）由于底面，，所以底面底面，所以，由于，所以两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面，即平面的法向量为，则，故可设.设直线与平面所成角为，则.

2．如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.

(1)证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）设圆O的半径为r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圆锥中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，有，即，解得，设直线与平面所成角为，则.

考法三二面角【例3-1】如图，在多面体ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是边长为2的正三角形，是以为直角的等腰三角形，.

(1)证明：平面BCD.(2)求平面ACE与平面BDE的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）取CD的中点F，连接EF，BF.因为是边长为2的正三角形，所以，且.因为平面平面BCD，且平面平面，平面ECD，所以平面BCD.因为平面BCD，所以.因为，所以四边形ABFE为平行四边形，所以.因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.（2）过点B作，以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，故，，，.设平面ACE的法向量为，则，令，得.设平面BDE的法向量为，则，令，得.设平面ACE与平面BDE的夹角为，则.【一隅三反】1．在直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，.

(1)证明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明：因为侧面为正方形，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，所以在直三棱柱中，,所以，因为，侧面为正方形，所以，，因为E，F分别为AC和的中点，所以，所以，所以，因为，所以∽，所以，因为，所以，所以，所以，因为，为的中点，所以,因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，（2）解：由（1）可知两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，因为E，F分别为AC和的中点，所以，所以，因为平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为.

3．如图，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的长；(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)2；(2)【解析】（1）连接，因为平面，平面，则，又因为，平面，所以平面，且平面，可得，因为为平行四边形，且，则为矩形，所以正方形，可得.（2）根据题意将三棱柱转化为正四棱柱，取的中点，连接，则三点共线，且//，因为//，可得//，所以平面即为平面，同理平面即为平面，因为//，平面，则平面，且平面，则，所以二面角的平面角为，可得，在中，则，所以二面角的余弦值为.

.考法四动点问题求角【例4】如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点G为BF中点【解析】（1）因为，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.（2）由面⊥面，，面面，面，所以平面，AB在面ABCD内，则，结合已知建立如下空间直角坐标系，则，设，得，平面的法向量为，又，设平面的法向量为，则，取，则，故=，解得=，（舍），所以点G的坐标为，故存在点G为BF中点时使得.【一隅三反】1．已知四棱锥，底面为菱形平面，为上一点.(1)平面平面，证明：；(2)当二面角的余弦值为时，试确定点的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)点为棱中点【解析】（1）证明：因为平面平面，所以平面，又因为平面平面，所以.（2）取中点，则，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.所以，设，所以，设平面的法向量，则有，即令，则.平面的一个法向量为，所以.解得，即当点为棱中点时满足条件.2．如图1，在平面图形中，，，，，沿将折起，使点到的位置，且，，如图2.

(1)求证：平面平面.(2)线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)线段FG上存在点M，【解析】（1）证明：因为，所以，又因为，所以，因为，且，所以四边形为等腰梯形，又因为，所以，所以，所以，即，因为，，平面AEG，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：由，，且，平面，所以平面，因为，可得，所以平面，又由（1）知，，所以两两互相垂直，以为原点，所在的直线分别为轴、轴和轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为，四边形是矩形，所以，则，，.假设线段上存在点满足题意，令,则，可得，.设平面的一个法向量为，则，取，可得，所以，由平面，则平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，则，其中，所以，解得，即，所以线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，且.考法五点线距【例1】在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根据题意，直线的方程为，即，则直线的方向向量为，又因为过点，，，则，故在上的射影为：，故点到直线的距离为：.故选：D.【一隅三反】1．菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为E为AB的中点，所以，所以，因为，平面，所以平面，因为菱形的边长为4，所以，所以直角梯形的面积为，设四棱锥的高为，则，得，所以，所以平面，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，所以所以，所以F到直线BC的距离为，故选：A

考点六线线距【例1】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设与的公垂线的一个方向向量为，则，取，得，，即，又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．【一隅三反】1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，则，，设和的公垂线的方向向量，则，即，令，则，，.故选：D.考点七点面距【例1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．

(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）取中点，连接，为正三角形，则，面面，面面，面，则面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，则平行四边形为矩形.（2）如下图，以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设，则，，，，，所以，，

设面的法向量为，则，令，则，设面的法向量为，则，令，则，由，解得，则面的法向量为，，点到平面的距离.【一隅三反】1.在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.

(1)证明：平面平面；(2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面.又因为面，所以，即.因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以.又因为且，面，所以面，因为面，所以面面.（2）作交于，取中点为.因为，，所以.因为面，，面，所以，.如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.因为，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.设面的法向量为，则，取，则，，所以.设面的法向量为，则,取，则，，所以.由，且，解得，所以，.又因为，所以，所以到面的距离.

考点八面面距【例1】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．【答案】(1)；(2)【解析】1）解：因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，因为、分别为、的中点，则，平面，平面，平面，因为且，、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，设平面的法向量为，，，则，取，可得，，所以，直线与平面的距离为.（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.【一隅三反】1.如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．(1)求证：平面平面EFG；(2)求平面与平面EFG间的距离．【答案】(1)证明见详解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中点，F是BC中点，∴连接AC得，EF∥AC，∵是平行四边形，∴，又平面平面，∥平面，同理，连接可得，可得EG∥平面，与平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如图：以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒则∴，设平面的法向量为，则，取，则平面与平面EFG间的距离为﹒空间向量课后练习1.已知直平行六面体中，，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】以为一组基底，利用向量法求解.【详解】解：如图所示：

以为一组基底，则，，则，，，，，，以,故选：A2.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，则点P到直线AC的距离的最小值为（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线距离可得.【详解】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段BC1上的动点，以D为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，设异面直线的公共法向量为，则，取x＝1，得，∴点P到直线AC的距离为：，点P到直线AC的距离的最小值为.故选：C.

3．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.(1)若为的中点，求证：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2)【分析】(1)结合已知条件和平面几何关系知，然后利用面面垂直性质和线面垂直性质可知，最后利用线面垂直判定和性质即可证明；(2)取的中点，然后利用面面垂直性质证明底面，再建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.【详解】（1）∵侧面是菱形，∴，∵为的中点，∴，∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面，∵侧面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中点，连接，从而，又由，则，∵侧面底面，侧面底面，∴底面，以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，，，，，由题意可知，为平面的一个法向量，不妨设平面的一个法向量，因为，，从而，令，则，，即，设二面角为，由图可知为钝角，从而，即，故二面角的正弦值为.4.如图所示，在四棱锥中，平面平面，，且，设平面与平面的交线为．(1)作出交线（写出作图步骤），并证明平面；(2)记与平面的交点为，点S在交线上，且，当二面角的余弦值为，求的值．【答案】(1)直线即为所求作的直线，证明见解析 ；(2)【分析】（1）延长AB、DC交于Q点，即可得到交线，通过证明，即可证明线面垂直；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量得出，解方程即可.【详解】（1）延长，交于点，连结，则直线即为所求作的直线：

因为，所以又因为，所以，分别为，中点，且为正三角形，所以，

又，平面平面且交线为，且平面，所以平面，且面PAB，所以，

又，且平面，平面,所以平面，即平面：

（2）取的中点，连结，则，又平面平面且交线为，且平面，所以平面，

以为原点，，所在直线为，轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，由，得，所以，，

显然平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，即取，则，，所以平面的一个法向量为，

所以，解得所以当二面角的余弦值为时，5．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，为线段的中点，且平面平面，是线段上的点.(1)求证：；(2)若直线与平面的夹角的正弦值为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）先证明，再证明，得出平面，从而证明；（2）建立坐标系，利用线面角确定的位置，然后利用体积公式可求结果.【详解】（1）因为为等边三角形，为线段的中点，所以；因为平面平面，所以平面；又平面，所以；在中，，由余弦定理可得，因为，所以；因为，所以，所以平面；因为平面，所以.（2）由（1）得两两垂直，以为坐标原点，建系如图，则；；设，则；设平面的一个法向量为，则，，令，则.因为直线与平面的夹角的正弦值为，所以，即，解得或（舍），即有，是靠近的三等分点，所以四棱锥的高等于的.四棱锥的体积为.空间向量随堂检测1.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线