重庆市潼南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

重庆市潼南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．下列图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．要使分式xx−1有意义，则xA．x≠−1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠0且x≠13．用三根长分别为10cm，15cm，acm的小木棒首尾相接拼成一个三角形，则a的值可以是（）A．5 B．15 C．25 D．354．下列计算结果为x8A．x2+x6 B．x2⋅5．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．这里判定△OMP≌△ONP的方法是（）A．HL B．SSS C．SAS D．AAS6．用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个三角形，第②个图案中有9个三角形，第③个图案中有13个三角形，第④个图案中有17个三角形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中三角形的个数为（）A．25 B．29 C．33 D．377．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低15元，总费用降低了10%．设第二次采购单价为xA．20000x−15=20000C．20000x=200008．已知m+n=5，mn=3，则m2A．16 B．22 C．28 D．369．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF=10，则BD的长为（）A．4 B．5 C．8 D．1010．给定一个正整数k，若两个整数p与q分别除以k所得的余数相同，则称p，q对k同余，记作p=q( mod k)．例如：31÷7=4⋅⋅⋅⋅⋅⋅3下列说法：①1951≡2024( mod 3)；②若p≡q( mod 3)，则5p≡2q( mod 3)；③若p≡q( 其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11．计算：30+12．将分式2x+6x2−913．若点A(9−a，b)与点B(14．如图，一个正方形和一个正五边形各有一边AB，CD在直线l上，且只有一个公共顶点P，则∠BPC的度数为．15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，交AD于点E，AC=6，DE=2，则△ACE的面积等于．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，AM=16，则BC的长度为．17．若关于x的不等式组2x+a<−3−14x>1的解集为x<−4，且关于y的分式方程3y−118．对于一个四位正整数M，若它的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，则称这个四位正整数M是“和谐数”．如：四位数2783，∵2+8=7+3，∴2783是“和谐数”；四位数5326，∵5+2≠3+6，∴5326不是“和谐数”，则最小的“和谐数”是；若一个“和谐数”M满足千位数字与百位数字的平方差是24，且十位数字与个位数字的和能被5整除，则满足条件的M的最大值是．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，第20题—第26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．计算：（1）x(1−x)+(x+3)(x−3)； 20．解下列方程：（1）3x=5x−2； 21．学习了轴对称后，小敏进行了拓展性研究．她发现，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．她的证明思路是：在Rt△ABC中，作直角边CB的垂直平分线，交斜边AB于点D，垂足为点E，连接CD，然后利用垂直平分线的性质和三角形边角关系等知识推出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：证明：用直尺和圆规，作CB的垂直平分线，交AB于点D，垂足为点E，连接CD（只保留作图痕迹）．DE垂直平分线CB，∴DC=▲．∴∠DCB=∠DBC．∵∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+∠DBC=90°，∴∠ACD=▲．∴DC=▲．∴DC=DA=DB．即CD是斜边AB上的中线，且CD=122．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2=40°，点C在DE上．（1）证明：△ABC≌△ADE；（2）求∠E的度数．23．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上．（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对称点分别是A1（2）点P是y轴上一点，请在图中标出使△ABP的周长最小时的点P，并直接写出此时点P的坐标；（3）计算△ABC的面积．24．甲、乙两个施工队共同参与一项全长6300米的筑路工程，分别从两端向中间施工，已知甲队负责施工的长度的3倍比乙队负责施工的长度长900米，两施工队负责施工的长度总和等于该工程全长．（1）求甲、乙两施工队分别负责施工的长度是多少米？（2）若乙队每天施工的长度是甲队每天施工长度的1.5倍，如果两队同时开始施工，乙队比甲队还要多用4天完工，求甲队每天施工多少米？25．如图1，△ABC是等边三角形，点M，N分别是边AB，BC上的动点，点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发．（1）如图1，连接AN，CM，求证：△ABN≌△CAM；（2）如图1，当点M，N分别在边AB，BC上运动时（端点除外），AN，CM相交于点P，试探究∠NPC的大小是否为定值，若是，求出∠NPC的度数，若不是，请说明理由；（3）如图2，当点M，N分别在AB，BC的延长线上运动时，直线AN，CM相交于点P，试探究∠NPC的大小是否为定值，若是，求出∠NPC的度数，若不是，请说明理由．26．如图，在△ABC中，CA=CB，点D是CB上一动点，点E在AD的延长线上，且CA=CE，CF平分∠BCE交DE于F，连接BF．（1）如图1，求证：∠CAF=∠CBF；（2）如图2，∠ABC=60°时，求证：CF+EF=AF；（3）如图3，当∠ABC=45°时，过点A作AB的垂线l，过点C作AB的平行线n，两直线l，n相交于M，连接ME．当ME取得最大值时，请直接写出此时EFAD

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、是轴对称图形，故本选项正确；故答案为：故选：D.

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.2．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知x-1≠0

∴x≠1故答案为：C.

【分析】根据分式有意义条件即可求出答案3．【答案】B【解析】【解答】解：由三角形三边关系得：15-10<a<15+10∴5<a<25

∴a的值可以是15

故答案为：B.

【分析】三角形三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得5<a<254．【答案】D【解析】【解答】解：A、x2与xB、x2C、x16D、(x故答案为：D．【分析】根据幂的乘方运算法则、合并同类项法则和同底数幂的乘除运算法则，逐项判定即可．5．【答案】A【解析】【解答】解：由题意可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，则∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△PMO和Rt△PNO中，OP=OPOM=ON所以△POM≌△PON(HL).故答案为：D.【分析】由题意，根据直角三角形全等判定，即可得到答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：第1个图形有三角形：4×1+1=5（个）；第2个图形有三角形：4×2+1=9（个）；第3个图形有三角形：4×3+1=13（个）；第4个图形有三角形：4×4+1=17（个）；⋯；第n个图形有三角形：4n+1（个）；当n=8时，4×8+1=33（个）；故答案为：C．【分析】根据图形的变化寻找规律：第n个图形有三角形个数为：4n+1（个），把n=8代入求解即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+15)元，依题意得：20000x+15故答案为：B．【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+15)元，根据单价=总价÷数量，得关于x的分式方程．8．【答案】A【解析】【解答】解：∵m+n=5，mn=3，∴===25−9=16，故答案为：A．【分析】根据完全平方公式得m2−mn+n9．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAC=12∠BAC=22∵∠BAC=45°，∴∠EBA=45°，∴AE=BE，∠EBC=67.∴∠EBC=∠DAE，又∵∠BEC=∠AEB=90°，∴△AEF≌△BEC(ASA)，∴BC=AF=10，∴BD=1故答案为：B．【分析】由等腰三角形的性质得∠DAC=12∠BAC=22.5°，由三角形内角和得∠ABC=67.5°，根据角度关系可得∠EBC=2210．【答案】C【解析】【解答】解：①1951÷3=650⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，2024÷3=674⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，故①错误；②若p≡q(mod 3)，设余数为r，则存在两个整数p=3m+r，q=3n+r则5p=3×5m+5r=32q=3×2n+2r所以5p与2q分别除以3所得余数均为2r，所以5p≡2q(mod 3)成立，故③若p≡q(mod k)，s≡t(mod存在整数m,p=km+r，q=kn+r，s=kx+h，t=ky+hps=qt=所以ps与qt分别除以k所得余数与hr除以k所得余数相同所以ps≡qt(mod故③正确，符合题意；④∵M=1000a+100所以M与a+b+c+d分别除以9所得余数相同则M≡(a+b+c+d)(故④正确；综上所述，②③④正确，共3个．故答案为：C.【分析】根据新定义，多项式乘以多项式等知识，逐个分析即可得到答案.11．【答案】10【解析】【解答】解：30故答案为：109【分析】根据零次幂和负指数幂化简，然后计算即可．12．【答案】2【解析】【解答】解：2x+6故答案为：2x−3【分析】根据分式的性质，进行约分化简即可．13．【答案】5【解析】【解答】解：由题意得：9−a=2a,解得：a=3,∴a+b=5；故答案为：5．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出a,b的值，进而求出14．【答案】18°【解析】【解答】解：正五边形的外角∠PCB=360°5=72°∴∠BPC=180°−90°−72°=18°，故答案为：18°．【分析】利用正多边形的外角和360°，得∠PCB=72°，∠PBA=90°，然后根据三角形内角和公式求解即可.15．【答案】6【解析】【解答】解：作EF⊥AC交AC于点F，∵CE平分∠ACB，AD⊥BC，EF⊥AC，∴EF=DE=2，∴S故答案为：6．【分析】作EF⊥AC交AC于点F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后代入三角形面积公式，计算求解即可．16．【答案】8【解析】【解答】解：连结BM，∵MN垂直平分AB，∴BM=AM=16，∴∠ABM=∠A=15°，由三角形外角性质得：∠BMC=∠A+∠ABM=30°，∵∠C=90°，∴BC=1故答案为：8．【分析】根据垂直平分线的性质得BM=AM=16，再由等腰三角形的性质及三角形外角性质求得∠BMC=30°，然后根据直角三角形的性质，即可得到答案．17．【答案】11【解析】【解答】解：2x+a<−3①−解不等式①可得：x<−3−a解不等式②可得：x<−4，∵不等式组的解集为解集为x<−4，∴−3−a2解得：a≤5，3y−1解得：y=a−1∵分式方程解为正数，∴a−1>0a−1解得：a>1且a≠3，∴符合条件的整数a的值有2，4，5，∴所有满足条件的整数a的值之和=2+4+5=11，故答案为：11．【分析】先分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为解集为x<−4，得出a≤5，然后解分式方程得：y=a−12，根据方程解为正数，得出a>1且a≠3，可得出符合条件的整数18．【答案】1001；7546【解析】【解答】解：∵1+0=0+1，故最小的和谐数是1001，设四位正整数abcd，由题意得：a2−b2=24，c+d=5k∵a2−b2符合条件的为72∴a=7,即：7+c=5+d，得c=d−2(2≤d≤9)，c+d=2d−2

∵十位数字与个位数字的和能被5整除，当c+d=2d−2=5时，d=7当c+d=2d−2=10时，d=6当c+d=2d−2=15时，d=17∴d=6，c=4，故答案为7546【分析】根据“吉祥数”的概念，最小的正整数是1，即可求解；由题意得：a2−b2=24，c+d=5k19．【答案】（1）解：原式=x−x（2）解：a===【解析】【分析】（1）分别利用平方差公式及单项式与多项式乘法展开，再合并同类项即可；（2）根据分式混合运算的运算顺序，计算求解即可．20．【答案】（1）解：3(x−2)=5x3x−6=5x2x=−6x=−3检验：当x=−3时，x所以，原分式方程的解为x=−3．（2）解：3x=2x−3x−33x=−x−34x=−3x=−检验：当x=−34所以，原分式方程的解为x=−3【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以x(x−2)，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可；（2）方程两边同时乘以3(x+1)，将分式方程化成整式方程求解，再检验即可．21．【答案】解：作图如图：DE垂直平分线CB，∴DC=DB．∴∠DCB=∠DBC．∵∠ACD+∠DCB=90°，∠CAD+∠DBC=90°，∴∠ACD=∠CAD．∴DC=DA．∴DC=DA=DB．即CD是斜边AB上的中线，且CD=1【解析】【分析】根据线段垂直平分线的作图作直线DE即可；根据线段垂直平分线的性质得DC=DB，根据等腰三角形的性质及余角的性质得到∠ACD=∠CAD，得DC=DA，从而得到DC=DA=DB，即可得解．22．【答案】（1）证明：∵∠1=∠2∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADE(（2）解：由△ABC≌△ADE得，AC=AE，∴△ACE是等腰三角形，∴∠E=∠ACE=【解析】【分析】（1）先求出∠BAC=∠DAE，再根据全等三角形的判定ASA，证明即可；（2）先根据全等三角形的性质可得AC=AE，再根据等腰三角形的性质求解即可得．23．【答案】（1）解∵△A1BA(−1,2)∴A1则△A（2）解：根据点A关于y轴的对称点A1，连接A则点P即为所求．故点P(0,（3）解：S【解析】【分析】(1)根据关于y轴对称点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标相反，并画图即可；(2)根据点A关于y轴的对称点A1，连接A1B，交y轴于点P(3)利用分割法计算即可．24．【答案】（1）解：设甲施工队施工的长度是x米，乙施工队施工的长度是(3x−900x+3x−900=63004x=7200解得x=18003×1800−900=4500答：甲施工队施工的长度是1800米，乙施工队施工的长度是4500米（2）解：设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工1.45004500−2700=6y6y=1800y=300经检验：当y=300时，1.答：甲队每天各施工300米．【解析】【分析】（1）设甲施工队施工的长度是x米，乙施工队施工的长度是(3x−900（2）设甲队每天各施工y米，乙队每天各施工1.25．【答案】（1）证明：∵点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发∴BN=AM∵△ABC是等边三角形∴AB=CA，∠ABN=∠CAM在△ABN和△CAM中，AB=CA∴△ABN≌△CAM（2）解：是，∠NPC=60°∵△ABN≌△CAM，∴∠BAN=∠ACM∴∠NPC=∠PAC+∠ACP=∠PAC+∠BAN=∠BAC=60°（3）解：是，∠NPC=120°∵点M，N以相同的速度，分别从点A，B同时出发∴AM=BN∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=60°∴∠MBC=∠NCA=120°，AM−AB=BN−BC即BM=CN在△△CBM和△ACN中，CB=AC∴△CBM≌△ACN∴∠BCM=∠CAN∴∠NPC=∠PAC+∠ACP=∠BCM+∠ACP=180°−∠BCA=120°【解析】【分析】（1）根据题意得BN=AM，再由等边三角形的性质，全等三角形的判定证明△ABN≌△CAM；（2）根据全等三角形的性质∠BAN=∠ACM，则由三角形外角的性质可得∠NPC=∠PAC+∠ACP=∠BAC=60°；（3）由题意得AM=BN，再由等边三角形的性质推出∠MBC=∠NCA=120°，BM=CN，然后根据全等三角形的判定证明△CBM≌△ACN(SAS)得到∠BCM=∠CAN，再由三角形外角的性质即可得解.26．【答案】（1）证明：∵CF平分∠BCE∴∠ECF=∠BCF∵CA=CB，CA=CE∴CE=CB在△BCF和△ECF中，CE=CB∴△BCF≌△ECF(SAS∵CA=CE∴∠E=∠CAF，∴∠CAF=∠CBF（2）证明：连接BF，由（1）得△BCF≌△ECF∴EF=BF，∠E=∠CBF=∠CAF在AF上截取AM=BF，连接CM，如图2在△ACM和△B