黑龙江省2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（含解析）

2024级高一学年上学期期中考试数学考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：必修第一册第一章至第四章4.3对数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．2．函数的定义域为（

）A． B．C． D．3．若，，则的值是（

）A．3 B． C．2 D．4．函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

5．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．若“，”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．7．已知函数（且）在上单调递减，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，则（

）A．4 B．2 C． D．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知，则下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．10．已知函数，则（

）A．为偶函数 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．的最小值为911．已知函数的定义域为，，且当时，，则（

）A．B．当时，C．若对任意的，都有，则实数的取值范围是D．若，则有8个互不相等的实数根三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．命题“”的否定是.13．已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为.14．已知函数，若时，方程的解分别为，，方程的解分别为，（），则的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数为幂函数，且在上单调递增.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.16．已知集合或，.(1)当时，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.17．已知函数.(1)证明：函数在区间上单调递增；(2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.18．某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产台，需另投入生产成本万元，且，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.(1)求的值；(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润销售额成本）；(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19．若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”.(1)函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由；(2)已知函数.①函数是在区间上的“美好函数”，求的值；②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值.

答案1．D解析：依题意，，所以.故选：D2．A解析：由题知，解得，所以定义域为.故选：A.3．C解析：由，得，又，所以.故选：C4．B解析：由题知函数的定义域为，，所以函数为偶函数，排除C，D，令，得，排除A，故B正确.故选：B5．C解析：当时，对有，不满足条件；当时，对任意均有，满足条件；当时，对有，不满足条件.所以的取值范围是.故选：C.6．B解析：若“，”为真命题，则，又函数的图像开口向上，对称轴为，所以时，，所以.故选：B7．A解析：由题知，解得.故选：A.8．D解析：解：因为函数是上的奇函数，所以.又对任意，都有成立，令，得，即，所以，则，所以，则，故，所以.故选：D9．AB解析：因为，所以，所以，A正确；因为，所以，，所以，即，B正确；取，，此时，C错误；取，，，此时，，，D错误.故选：AB10．ACD解析：对于A，由题知，的定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；对于B，C，D，令，则当时，，当且仅当时取最小值2，易证当时，为增函数，当时，为减函数，又函数为增函数，由复合函数的单调性可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，最小值为，又函数为偶函数，所以在上单调递增，最小值为9，故B错误，C，D正确，故选：ACD.11．AC解析：函数的定义域为R，满足，即，所以，故A正确；当x∈0,2时，则，故B错误；将函数y=fx在上的图象每次向右平移再将纵坐标伸长为原来的2倍即可得函数在0,2，2,4，……上的图象，同理将函数y=fx在上的图象每次向左平移再将纵坐标缩短为原来的倍即可得函数在，……上的图象，作出函数y=fx因为当时，，所以当，，则，则，令，即，解得，，又因为对任意的，都有，结合图象可得，C正确；因为，易知在，上单调递减，作出函数y=fx和y=g所以有有7个互不相等的实数根，故D错误.故选：AC.12．解析：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“”的否定为：“”.

故答案为：.13．12解析：函数的图像过定点，所以，，即，所以，当且仅当，时等号成立.故答案为：1214．解析：由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上单调递增；所以当时，所以，即的最小值为.故答案为：15．(1)3(2)解析：（1）因为为幂函数，且在0,+∞上单调递增，所以解得.（2）由（1）知函数，为奇函数且在R上单调递增，由，得，即，解得，所以实数的取值范围为.16．(1)或(2)解析：（1）当时，或，所以或.（2）由“”是“”的充分不必要条件可得是的真子集，令，解得或，当时，，所以集合或，因为是的真子集，所以等号不同时取得，解得，所以；当时，集合，满足是的真子集；当时，，所以集合或，因为是真子集，所以，等号不同时取得，解得，所以，综上，实数的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)解析：（1）证明：设，则，因为，所以，，，所以，所以函数在区间上单调递增，（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，所以当时，，则问题转化为，当时，恒成立又函数在上单调递减，所以，所以，解得，故实数的取值范围为18．(1)1(2)(3)年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元解析：（1）将，代入，得，解得.（2）由题意得，，.当时，由（1）知，，则；当时，.则，所以年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式为：.（3）由（2）得当时，，所以当时，；当时，，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，.又，故时，利润最大，最大利润是500万元.综上所述，年产量为22台时，该企业所获利润最大，最大利润是500万元.19．(1)和是在区间上的“美好函数”，理由见解析(2)①；②解析：（1）因为函数在区间上单调递减，所以，，所以，故是在区间上的“美好函数”；因为函数在区间上单调递增，所以，，所以，故不是在区间上的“美好函数”；因为在区间上单调递增，所以，，所以，故是在区间上的“美好函数”.（2）①有题知.因为，所以.令，则，当时，函数在区间上单调递增，此时，，所以有；当时，函数在区间上单调递减，此时，，所以有综上所述，；②由题可知，函数.因为，所以.令，则，.可