2024-2025学年辽宁省沈阳二十中高三（上）第三次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省沈阳二十中高三（上）第三次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z1、z2满足z1+z2=A.22 B.1 C.22.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，A.−12 B.−23 C.3.在半径为2的圆C上任取三个不同的点A，B，P，且|AB|=22，则PA⋅PBA.2+2 B.2+22 C.4.已知正四棱台下底面边长为42，若内切球的体积为323πA.49π B.56π C.65π D.130π5.已知数列{an}的前n项和为Sn，anA.45×(48−1) B.456.当n∈N时，将三项式(x2+x+1)n展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

(x2+x+1)0=1

(x2+x+1)1=x2+x+1

(A.1 B.−1 C.2 D.−27.已知f(x)=memx−lnx(m≥0)，若f(x)有两个零点，则实数m的取值范围为A.(0,1e) B.(0,1e28.已知a>e2，b>0，c>0，当x>0时，(exx−A.e327 B.127 C.e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c则下列说法正确的是(

)A.AC⋅CB>0，则△ABC是锐角三角形

B.若cos2A+cos2B−cos2C=1，则△ABC是直角三角形

10.若实数x，y满足x2−4xy+y2A.|x−y|≥2 B.|x−y|≤12 C.x2+y11.如图，在直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且AB=AA1=2，∠BAD=60°，M为线段D1C1A.若μ=1时，三棱锥P−DBC的体积为定值

B.若λ=12时，有且仅有一个点P，使得PD⊥PB1

C.若λ+μ=12，则|PN|+|PC|的最小值为3

D.若λ=0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若命题“∃x∈R，都有mx2−2mx−4>0”是假命题，则实数m13.曲线y=lnx与曲线y=12ex14.已知函数f(x)=2x−3x−2−ex，g(x)=2x−3x−2−lnx的零点分别为x1，x2，且x1>2，x2>2，则x1−1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知Sn=an+1−1．

(1)求{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1.N，M分别是线段B1C1和线段DD1上的动点，且C1N=λC117.(本小题15分)

某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．

(1)求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；

(2)记参加活动的女教师人数为X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y，求Y的期望E(Y)．18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=3tanC．

(Ⅰ)若C=π4，b=tanB，求△ABC的面积S；

(Ⅱ)求证：2a2−2c2=b2；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ln(1−ax)+12x2(a≠0)．

(1)证明：当a=1时，f(x)只有1个零点；

(2)当a<0时，讨论f(x)的单调性；

(3)若a=−1，设参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.A

6.A

7.A

8.A

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.[−4,0]

13.2x−214.2

6

15.解：(1)当n≥2时，an=Sn−Sn−1=(an+1−1)−(an−1)=an+1−an，

∴an+1=2an(n≥2)，

∴等比数列{an}的公比q=2．

当n=1时，由Sn=an+1−1得a1=16.解：(1)证明：因为A1A⊥平面ABCD，AD，AB⊂平面ABCD，

所以A1A⊥AD，A1A⊥AB，又AD⊥AB，

所以AB，AD，AA1两两垂直，

以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图，

因为AB=AA1=2，AD=DC=1，

则D1(0,1,2)，C1(1,1,2)，B1(2,0,2)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，

所以C1B1=(1,−1,0)，

因为C1N=λC1B1=λ(1,−1,0)，

所以N(λ+1,−λ+1,2)，

所以D1N=(λ+1,−λ,0)，

又CB1=(1,−1,2)，DD1=(0,0,2)，DM=λDD1=λ(0,0,2)，

所以M(0,1,2λ)，CM=(−1,0,2λ)，

设平面CB1M的法向量为n=(x,y,z)，

所以n⋅CM=x−y+2z=0n⋅CB1=−x+2λz=0，

令z=1，则n=(2λ,2λ+2,1)17.解：(1)设“有女教师参加活动”为事件A，“恰有一名女教师参加活动”为事件B，

则P(AB)=C41C21C62=815，P(A)=C41C21+C22C6X012P281E(X)=0×25+1×815+2×115=23．

(3)设一名女教师参加活动可获得分数为X1，一名男教师参加活动可获得分数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(X1)=3×18.解：(Ⅰ)由题意，tanA=3tanC=3tanπ4=3，

则sinA=31010,tanB=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC=−3+11−3×1=2，

则sinB=255，所以b=tanB=2,a=bsinAsinB=2×31010255=322，

所以△ABC的面积S=12absinC=12×19.解：(1)证明：当a=1时，f(x)=ln(1−x)+12x2，函数定义域为(−∞,1)，

可得f′(x)=1x−1+x=x2−x+1x−1=(x−12)2+34x−1>0恒成立，

所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，

又f(0)=0，

根据零点唯一性定理可知，f(x)只有1个零点为0；

(2)因为a<0，

所以函数f(x)的定义域为(1a,+∞)，

可得f′(x)=aax−1+x=ax2−x+aax−1，

因为a<0，

当Δ=1−4a2≤0，即a≤−12时，ax2−x+a≤0恒成立，

则f′(x)≤0，

所以函数