2024-2025学年河北省保定市定州二中高二（上）联考数学试卷（12月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省保定市定州二中高二（上）联考数学试卷（12月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.与向量a=(2,0,−2)同向的单位向量为(

)A.(22,0,−22) 2.已知直线ax−2y−1=0与直线ax+(a+1)y+4=0平行，则a=(

)A.1 B.−3 C.0或1 D.0或−33.在数列{an}中，若a1=43，A.−2 B.−1 C.12 D.4.已知圆M：(x−1)2+(y−2)2=2与圆N：A.15 B.17 C.21 D.235.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S10A.12 B.18 C.24 D.326.在三棱柱A1B1C1−ABC中，已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(0,2,0)，且M(2,2,4)为平面AA.3 B.23 C.7.已知抛物线y=x2的焦点为F，P为抛物线上一动点，点Q(3,54)，记P到xA.34 B.54 C.748.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若APA.[−1,1] B.[14,1] C.[1,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若点A(m,4)和点B(−1−m,3)关于直线l：x+ny−3=0对称，则(

)A.m=0 B.m=1 C.n=1 D.n=−110.已知A，B分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P是C上位于第一象限内任意一点，直线PA，PB的斜率分别为k1A.|PA|+|PB|为定值 B.C的渐近线方程为y=±3x

C.k111.已知数列{an}满足an+1an=5an−3an+1−1，a1A.数列{1an−1}是等差数列 B.数列{an}的最大项为a7

C.使得三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在四面体OABC中，空间的一个点M满足OM=−OA+13OB+mOC，若M，A，B13.已知k>33，则关于x的不等式14.设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点.若O为坐标原点，|OP|=|OF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆M的圆心在直线y=3x+1上，且点A(1,2)，B(−1,4)在M上．

(1)求圆M的标准方程；

(2)若倾斜角为π4的直线l经过点C(0,4)，且l与圆M相交于D，E两点，求|DE|．16.(本小题15分)

已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，|AB|=4．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若|AB|=6，求直线l17.(本小题15分)

记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a4=14，S5=30．

(1)证明：数列{Sn18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AD的中点，M是线段PC上一点．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAD．

(2)是否存在点M，使得EM//平面PAB？若存在，求PM的长；若不存在，说明理由．

(3)求平面PAD与平面MAB夹角的余弦值的最大值．19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，总存在一点Q(x′,y′)满足关系式φ：x′=λx,y′=μy(λ>0,μ>0)，则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．

(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ1，使得圆x2+y2=1变换为椭圆9x2+4y2=1．

(2)在同一直角坐标系中，椭圆x216+y2=1经平面直角坐标系中的伸缩变换φ：x′=12xy′=3y得到曲线C．

(i)求曲线C的方程；

(ii)已知A(−2,0)，参考答案1.A

2.D

3.B

4.D

5.C

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.BCD

11.ACD

12.5313.[0,3]

14.22

15.解：(1)由题意设圆心M(a,3a+1,)，又因为点A，B在圆M上，

所以|MA|=|MB|，即(a−1)2+(3a+1−2)2=(a+1)2+(3a+1−4)2，

解得a=1，即M(1,4)，半径r=|AM|=02+22=2，

所以圆M的方程为(x−1)2+(y−4)2=4；

(2)设倾斜角为16.解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，

令x=p2，解得y=±p，

故|AB|=2p=4，解得p=2，

故抛物线C的方程为y2=4x；

(2)由题意可知，直线l的斜率存在，

设直线l的方程为y=k(x−1)，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y=k(x−1)y17.解：(1)证明：等差数列{an}的前n项和为Sn，设公差为d，

由a3+a4=14，S5=30，

可得2a1+5d=14，5a1+10d=30，

解得a1=d=2，

则an=2+2(n−1)=2n，Sn=n2+n，

即有Sn18.(1)证明：连接BD，

因为底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，

所以△ABD是等边三角形，

又E为AD的中点，所以BE⊥AD，

因为PD⊥平面ABCD，且BE⊂平面ABCD，所以PD⊥BE，

又AD∩PD=D，AD、PD⊂平面PAD，所以BE⊥平面PAD，

因为BE⊂平面PBE，

所以平面PBE⊥平面PAD．

(2)解：取BC的中点F，连接DF，则DF⊥BC，DF⊥AD，

因为PD⊥平面ABCD，AD，DF⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DF，

故以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

在Rt△PAD中，∠PAD=60°，AD=2，所以PD=23，

则P(0,0,23)，A(2,0,0)，B(1,3,0)，C(−1,3,0)，E(1,0,0)，

所以AB=(−1,3,0)，AP=(−2,0,23)，PC=(−1,3,−23)，

设平面PAB的法向量为m=(a,b,c)，则AB⋅m=−a+3b=0AP⋅m=−2a+23c=0，

取a=3，则b=c=1，所以m=(3,1,1)，

设PM=λPC=λ(−1,3,−23)，λ∈[0,1]，

则EM=EP+PM=(−1,0,23)+λ(−1,3,−23)=(−1−λ,3λ,23−23λ)，

19.解：(1)将伸缩变换φ1：x′=λ1x,y′=μ1y(λ1>0,μ1>0)代入9(x′)2+4(y′)2=1中，