2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁桂鼎学校高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足z=1−i，则|z|=(

)A.−1 B.1 C.2 D.2.下列命题中真命题的个数是(

)

①∃x∈R，x2≤0；

②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；

③∃x∈{x|x是无理数}，xA.0 B.1 C.2 D.33.已知向量a，b满足|a|=2|b|=2，且b⊥(A.1 B.2 C.2 D.4.某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田(种植环境相同)连续5次的产量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290则下列说法错误的是(

)A.甲种水稻产量的众数为250

B.乙种水稻产量的极差为70

C.甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差5.如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点MA.x24+y2=1

B.x6.已知函数f(x)=2cosx+1，x∈[π6,2π]的图象与直线y=t有两个交点，则t的最大值为A.1 B.2 C.32+17.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AA1=BC=5.M是A.12 B.2 C.13 8.若a+b+c=4，3a+2b−c=0，则ab的最大值为(

)A.16 B.36 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3sin(2x−π4)+1，下列结论中正确的是A.函数f(x)的周期是π B.函数f(x)的图象关于直线x=π8对称

C.函数f(x)的最小值是−2 D.函数f(x)的图象关于点10.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10，且点P位于第一象限，以线段PF为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是(

)A.p=4

B.C的准线方程为y=−2

C.圆Ω的标准方程为(x−6)2+(y−25)2=36

D.若过点(0,25)，且与直线OP(O为坐标原点11.已知函数f(x)=x3−3xA.f(x)的极小值为2

B.f(x)有三个零点

C.点(1,2)是曲线y=f(x)的对称中心

D.直线y=−3x+5是曲线y=f(x)的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a913.某商场在过道上设有两排座位(每排4座)供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有______种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐，则不同的坐法有______种.(用数字作答)14.已知角α终边上一点P(−4,3)，求sin(π−α)cos(3π+α)tanα四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且2b=c+2acosC．

(1)求A；

(2)若a=3，求△ABC16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x−aex，a∈R．

(Ⅰ)若f′(0)=4，求a的值；

(Ⅱ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅲ)若f(x)在x=2时取得极值，求17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PCD是边长为2的正三角形，∠BCD=60°．

(1)求证：PB⊥CD；

(2)若平面PCD⊥平面ABCD，求二面角A−PD−C的余弦值．18.(本小题17分)

某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响.若A元素指标达标的概率为34，B元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．

(1)一个食品经过检测，求AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；

(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及E(ξ)．19.(本小题17分)

已知在正项数列{an}中，a1=2，点An(an,an+1)在双曲线y2−x2=1上.在数列{bn}中，点(bn,参考答案1.C

2.D

3.D

4.D

5.A

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.CD

12.16

13.1680

672

14.−315.解：(1)∵2b=c+2acosC．

∴由正弦定理可得：2sinB=sinC+2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC，

∴可得：sinC=2cosAsinC，

∵C为三角形内角，sinC≠0，解得cosA=12，A∈(0,π)，

∴A=π3．

(2)因为A=π3，a=3，

利用正弦定理得： asinA=csinC=bsinB=332=2，

所以c=2sinC，b=2sinB

所以a+b+c=16.解：(Ⅰ)f(x)=x−aex，定义域为(−∞,+∞)，

f′(x)=ex−(x−a)ex(ex)2=1−x+aex．

∵f′(0)=4，∴1+a=4．

解得a=3．

(Ⅱ)当a=0时，f(x)=xex，f(0)=0，

∴f′(x)=1−xex．

∴f′(0)=1．

因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x．

(Ⅲ)∵f(x)在x=2时取得极值，

∴f′(2)=0，即1−2+a=0，

解得a=1．

当a=1时，f′(x)=2−xex．

令f′(x)>0，即2−x>0，解得x<217.解：(1)证明：如图，取CD中点O，连接BD，OB，OP，

∵底面ABCD为菱形，∠BCD=60°，

∴△BCD是等边三角形，AB/​/CD，

又点O为CD中点，∴OB⊥CD，

∵△PCD是等边三角形，∴OP⊥CD，

又OP∩OB=O，∴CD⊥平面POB，又PB⊂平面POB，

∴PB⊥CD；

(2)∵△PCD是边长为2的正三角形，点O为CD中点，∴OP⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴OP⊥底面ABCD，

∴以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建系如图，

则：A(3,2,0)，D(0,1,0)，P(0,0,3)，

∴DA=(3,1,0)DP=(0,−1,3)，

易知平面PCD的一个法向量为n=(1,0,0)，

设平面PAD的法向量为m=(x,y,z)，

则DA⋅m=3x+y=0DP⋅m=−y+318.解：(1)令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M−是A，B都不达标的事件，

因此P(M)=1−P(M−)=1−14×19=3536，

所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536；

(2)依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为34×89=23，

ξ的所有可能取值为0，1，2，3，