2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二上学期12月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区八一学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x−y+1=0的倾斜角为(

)A.π6 B.π3 C.2π32.已知圆的一条直径的端点分别是A−1,0,B3,−4，则该圆的方程为A.(x+1)2+(y−2)2=8 B.(x−13.两条平行线l1:3x−4y−1=0与l2：6x−8y−7=0A.12 B.35 C.654.在四面体OABC中，AM=MB,ON=2A.12a+23b+125.已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c⋅a=0，且c⋅A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与A.1条 B.2条 C.3条 D.4条7.已知点A−1,0，且点B是圆x2+y2=1上的动点，ABA.y=3x+3或y=−3x−3 B.y=38.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB=AD=8，EF=16，EF到面ABCD的距离为3，则这个羡除的体积是(

)

A.128 B.120 C.112 D.1049.设直线l:3x−4y+m=0，圆C:(x−2)2+y2=8，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP,MQ(P,Q为切点)满足∠PMQ=9A.−18,6 B.−16,4 C.−26,14 D.−6,1410.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BD1,BA.当点P在侧面AA1D1D上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为π2

B.当点P为棱A1B1的中点时，CN//平面BMP

C.当点P∉NC时，满足MP⊥平面NCP的点P共有2个

D.当点二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若直线3a−1x+2y+3=0与直线ax+y+1=0平行，则a=

．12.以点1,1为圆心，且与直线x+y=4相切的圆的方程是

．13.若方程x2+y2+2ax+1=0a∈R表示圆，则14.在三棱锥A−BCD中，AB、AC、AD两两垂直且长度均为6，定长为ll<4的线段MN的一个端点M在棱AB上运动，另一个端点N在△ACD内运动(含边界)，若线段MN的中点P的轨迹的面积为π2，则l的值为

．15.2022年卡塔尔世界杯会徽(如图)近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1−a,0、F2a,0距离之积等于a2a>0的点的轨迹称为双纽线C.已知点Px0

①双纽线C关于原点O中心对称；②双纽线C上满足PF1=PF③−a≤y④PO的最大值为2三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)已知直线l1过点2,4，直线l(1)若l1⊥l(2)若直线l1与x轴和直线l2围成的三角形的面积为4，求直线l17.(本小题12分)已知点P2,0及圆C:(1)设过点P的直线l1与圆C交于M,N两点，当CP⊥l1(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于A,B两点，是否存在实数a，使得过点P2,0的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a18.(本小题12分)在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2,M是AB的中点．(1)求证：CM⊥EM；(2)求平面EMC与平面BCD所成角的余弦值；(3)若点N为DC的中点，求直线MN与平面EMC所成的角的大小．19.(本小题12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l:4x−3y−3=0截得的弦长为2(1)圆C的方程；(2)设P是直线x+y+4=0上动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点坐标．

参考答案1.B

2.D

3.A

4.D

5.B

6.C

7.B

8.A

9.C

10.D

11.3

12.(x−1)13.a>1或a<−1，

14.2

15.①②④

16.(1)直线l2:y=2x的斜率为2，若则直线l1的斜率为−12，直线l(2)点2,4在直线l2当直线l1的斜率为0时，直线l1的方程为此时直线l1与x轴和直线l当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为此时围成三角形的面积为12

当直线l1的斜率存在，且不为零时，设直线l1的方程为令y=0，解得x=2k−4所以12解得k=1，此时直线l1的方程为y−4=1×综上所述，直线l1的方程为x−2=0或x−y+2=0

17.(1)因为圆C:x2+y2−6x+4y+4=0，即因为CP⊥l1，又所以PN=故以MN为直径的圆的方程为x−22(2)由ax−y+1=0x2+y2由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，故Δ=36a−12−36a2则实数a的取值范围是−∞,0，假设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C3,−2必在直线所以l2的斜率kPC=−23−2故不存在实数a，使得过点P2,0的直线l2垂直平分弦

18.(1)证明：∵AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，又EA⊥平面ABC，CM⊂面ABC，∴CM⊥EA，∵EA∩AB=A，EA⊂平面AEM，AB⊂平面AEM，∴CM⊥平面AEM，又EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM；(2)以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，竖直向上为z轴，如图建立坐标系．则M(0,0,0)，C0,2,0，BME=−2,0,1，MC设平面EMC的一个法向量m=则−2x1+z1∴m设平面DBC的一个法向量n=则−2x2+2∴ncosm记平面EMC与平面BCD所成角为θ，则cosθ=所以平面EMC与平面BCD夹角的余值为6(3)M(0,0,0)，C0,2,0，MN=22,2则sinθ=所以直线MN与平面EMC所成的角为π3

19.解：(1)设圆C的圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线l的距离d=|4a−3|5．

由题意可得，d2+(3)2=r2，即(4a−3)225+3=4，解得a=2或a=