山东省百师联考2024-2025学年高三年级上册期中考试数学试题（含解析）

2024—2025学年高三期中考试

数学试题

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.集合2={1,2,3,4,5,6},5={xeN|2xeZ},则0/=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

2.'飞也。=也"是“，=二”的()

23

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.设向量2=(2,2),3=(—2,6),c=(4,2),且则力=()

A.3B.2C.-2D.-3

4.己知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为6兀，则该圆锥的内切球体积为()

A.4兀B.—C.47371D.A/3TI

3

5.函数/(X)=Zsin(ox+0)(2>0,0>0,阚<])的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平

移5个单位长度得到函数g(x)的图象.若对任意的xeR都有g(x)+g(-x)=0,则图中a的值为

()

V6-V2

C.-V2

2

6.已知函数/(x)=<若方程/(x)=0恰有2个不相等的实数解，则a的取值范围

ln(l-x),0<x<1,

A.(-8,0]C.D.[0,+coj

7.已知函数/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，且当xe(O,l］时,/(x)=log4x,则/

8.在平面直角坐标系内，方程/+/—孙=i对应的曲线为椭圆，则该椭圆的焦距为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知方程必+2》+4=0的两个复数根为马，z2,则下列说法正确的有()

z平2D2

A.Z]+z2——2B.%=2C.=4-kil=

10.设函数/(x)=-x?+ax—1,则

A.当。=-1时，/(x)的极大值大于0B.当口2§时，/(x)无极值点

C,3aeR,使/(x)在R上是减函数D.VaeR,曲线y=/(x)的对称中心的横坐标为定值

n.己知曲线C上的动点尸(x,y)到点E(1,0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，贝U

A.曲线C的轨迹方程为/=4x

B.若7(4,2),M为曲线。上的动点，则MT|+W刊的最小值为5

C.过点N(-1,0),恰有2条直线与曲线C有且只有一个公共点

D.圆/+/=5与曲线。交于z,8两点，与直线x=-l交于E,G两点，则B,E,G四点围

成的四边形的周长为12

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S“为等差数列｛4｝的前"项和，若%+%=7，3%+生=5,则g=.

13.曲线y=2x—lnx在点(1,2)处的切线与抛物线y=a/—"+2相切，则a=.

22

14.已知双曲线C：=―勺=1（a>0,b>0）与平行于无轴的动直线交于2,8两点，点/在点8

ab

左侧，双曲线C的左焦点为。且当4FL48时，|4F|=|48|,则双曲线的离心率是；当直线

运动时，延长AF至点尸使|4F|=|£P],连接2尸交x轴于点Q,则黑的值是.（第一空2分,

第二空3分）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）在△45C中，内角Z,B,C的对边分别是a,b,c,且满足asinB=

（1）求角/；

（2）若a=2,求△/BC周长的取值范围.

16.（15分）已知函数/（x）=xlnx-ax2+1.

（1）若/（x）在（0,+oo）上单调递减，求实数a的取值范围；

（2）若a<0,证明：/（%）>0.

17.（15分）如图，在四棱锥尸—4BCZ）中，底面4BCD是菱形，E,歹分别为48,尸。的中点，

尸NJ_平面48C。，且尸2=45=2.

（1）证明：ZE〃平面PCE；

JT

（2）若尸。与平面45C。所成的角是一，求二面角尸—4C—。的余弦值.

6

22

18.（17分）如图，已知椭圆C：\+A=l（〃>b>0）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别

ab

为2（G+J5）和2（G—血），斜率为-g的直线/与椭圆C相交于异于点尸（3,1）的/,N两点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）若=求直线/的方程；

（3）当直线PM,PN均不与无轴垂直时，设直线的斜率为左1，直线尸N的斜率为左2,求证：k-2

为定值.

19.（17分）若有穷数列｛%｝（"eN*且〃之3）满足旧一％+J＜旧+]-4+2I（才=1,2,…，〃一2）,则称

｛%｝为M数列.

（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由.

①1,2,4,3；②4,2,8,1.

（2）已知河数列｛4｝中各项互不相等，令超=|%，-%J（机=1,2,…，〃-1）,求证：数列｛4｝是等差

数列的充分必要条件是数列抄,“｝是常数列.

（3）已知V数列｛4｝是加（加eN*且加上3）个连续正整数1,2,…，阳的一个排列，若

m-\

WJ%-纵+J=机+2,求加的所有取值.

k=\

2024—2025学年高三期中考试

数学参考答案及评分意见

1.D【解析】因为Z={1,2,3,4,5,6},5={xeN|2xeZ},所以8={1,2,3},={4,5,6}.故选

2.C【解析】当sin，=在时，0=-+2kTi,左eZ或。=3+2E,左eZ,推不出6=巴;

2333

当。=巴时，必有sin，=里，故"sin8=W■”是“。=巴”的必要不充分条件，故选C.

3223

3.A【解析】因为)=(2,2),3=(-2,6),工=(4,2),所以Z-4=(2+24,2—64)；

因为仅—所以仅一点)•】=8(1+2)+4(1—32)=12—44=0,解得4=3.故选A.

4.B【解析】设圆锥的底面半径为「，则兀J-2厂=6兀，所以r=百.

设圆锥的内切球半径为A,又圆锥的轴截面为等边三角形，

所以氏=26x立x」=l,则内切球的体积匕=d兀火3=如故选B.

2333

5.A【解析】由/(x)3x=2,得2=2.

/(x)的图象上的所有点向左平移5个单位长度后得g(x)的图象，

由题意知g(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数/(x)的图象过点［.,0

7

77TTTT_7TT

=兀故。=

设了⑴的最小正周期为7,则F1r］，所以7=石，2.

又30+0=2而，左EZ,且冏<］,可得0二-弓,

所以/(%)=已

2sin12x-a=/(0)=2sin-1.故选A.

6.C【解析】当xVO时，/(X)=X2+4X,由二次函数的性质可知/(x)在(―叫—2)上单调递减，在

(―2,0］上单调递增.令g(x)=f+4x,贝应⑴=2x+4,所以g<0)=4.

当0<x<l时，/(x)=ln(l-x),—<0,/(%)在(0,1)上单调递减.

x—1

令〃(x)=ln(l-x),则/(0)=-1.作出尸/(x)的大致图象,如图所示.方程/(x)—ax=0恰有2个不

相等的实数解，也就是/(X)的图象与直线恰有两个公共点.

由图易知所求a的取值范围是［-1,4).故选C.

7.C【解析】因为函数/(x+2)为偶函数，所以/(x+2)=/(-x+2),

即函数/(x)的图象关于直线x=2对称；因为函数/(2x+l)为奇函数,

所以/(2x+l)+/(-2x+l)=0,即函数/(%)的图象关于点(1,0)中心对称.

又当xe(0,1］时，f(x)=log4x,

8.C【解析】因为/+/—初=i,将点的坐标代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于原

点对称；将点(以力和(-％-力的坐标分别代入方程，原方程保持不变，所以椭圆关于直线y=x和

y=-x对称.

设直线y=x与椭圆交于2,8两点,

y=x,X=1,》=-1'所以恒回二2/；

则22解得或V

X+v-xy=i,U=i,

设直线y=-x与椭圆交于C,。两点,

V3

X-,x=----

片一：解得3

则T或＜

X+v-xy=l,V3V3

所以|。)|=乎.由椭圆性质可知，2a=|48|=2/，2b=\CD\=^y-

所以a=&,b=—,则c=Jq2_/二空,故焦距为迪.故选c.

333

9.ACD【解析】方程必+2》+4=0的两个复数根为z-z2,

由一元二次方程根与系数的关系得2]+Z2=-2,Z/2=4,A,C正确；

_9+p-

B选项，d+2x+4=0的两个复数根为一二^=-1土底,

2

若Z]=_l+V§i,z2=—1—V3i,

则z；=(—1+启『=1—2百i+3i?=—2—2百iwz2,B错误；

D选项，由B选项知，4=-1+J5i或-1一百1,均有H=J1+3=2,D正确.故选ACD.

32

10.BD【解析】对于A,当Q=—1时，/(x)=x-x-x-l,求导得/'(x)=3——2x—1,

令/'(%)=0得x=—g或x=l,由/'(x)>0,得或x>l,

由/'(x)<0,得一;<X<1,于是/(x)在，00,—(1,+8)上单调递增，

在上单调递减，/(X)在x=-；处取得极大值，

极大值为—|=--------1---1<0,A错误；

I3J2793

对于B,7,(x)=3x2-2x+a,当aN；时，A=4-12a<0,即/'(x"0恒成立，

函数/(x)在R上单调递增，/(x)无极值点，B正确；

对于C,要使/(x)在R上是减函数，则/'(#=3/—2x+aW0恒成立，

而不等式3必一2x+a<0的解集不可能为R,C错误;

对于D,由/+/(%)=

29

得曲线>=/(x)的对称中心的坐标为、正确.故选

27J,DBD.

11.ABD【解析】对于A,依题意，曲线C是以尸(1,0)为焦点,

直线x=-l为准线的抛物线，方程为J?=4x,A正确;

对于B,如图，过点T作直线x=-l的垂线，交直线x=-l于£,交抛物线于2.

令点M到直线x=-l的距离为d,则必=d,\MT\+\MF\=\MT\+d>\TE\,

当且仅当点河与点z重合时取等号，因此的最小值为|督|=5,B正确;

对于C,显然过点N(-1,O)与曲线C有且只有一个公共点的直线的斜率存在，

设其方程为>=左(》+1),由+消去工得如2—4>+4左=0,

y=4x,

当左=0时，直线y=0与抛物线仅有一个公共点，

当左70时，由A=16—16左2=0,解得左=±1,显然直线y=x+l,y=—x—1均与抛物线仅有一个公

共点，因此过点N(-1,0)与曲线。有且只有一个公共点的直线有3条，C错误；

对于D,直线x=—1交圆/+了2=5于点£(_i,2),G(-l,-2),

由匕y=4x,,得,(x=1,或、｛x=1,从而2(/1,2)、,5(/1,-2)、,

x+v=5,[y=2,〔y=一2,

所以四边形4BGE是矩形，其周长为2x(2+4)=12,D正确.故选ABD.

12.8【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,

12q+5d=7,,[Q=一4,

因为r%+%=7,3a2+%=5,即〈解得〈

一[4。]+7<7=5,[d=3,

Q2Q2C

则S9=9%+用x一xd=9x(—4)+苛xx3=72,所以亍=8.故答案为8.

13.1【解析】设/(x)=2x—lnx,则/''(X)=2—L则/'(1)=1,

X

所以曲线y=2x—Inx在点(1,2)处的切线方程为y—2=x—1,即y=x+l.

y=x+1.,,9z、

由｛2消去y,得QX?—(Q+1)X+1=0,

y—cix—ux+2,

由八=[—(a+l)]2—4a=0,得a=l.故答案为1.

14.V2+1V2-1【解析】当4FL48时，设幺(一。,%)，

22/412

则彳-*1,解得­=勺.又|4司二|第,所以幺=2c,

abaa

又〃=°2—/,所以02—/=24，两边同时除以口2,得e2—2e—1=0,

解得6=1+应或e=l-后(舍).

如图，因为△尸0Es△尸4B,所以——1；।,

|FP|BP=|\AF\+\BF\

设A(x,y),则B(-x,y),\AB\=|2X|,\AF\=^(x+cf+y12,\BF\=^(-X+C)2+J2

所借

2a_a

2cc

又£=i+3,所以2=7^=血—i.

acV2+1

15.解：(1)由Qsin3=Z>cos[4-.J及正弦定理得sin4sinB=sinBcos[4-己

..fV31)百.1

故sin/sinB=sin5——cos/+—sin/=——sin5cos4+—sinBsin/,

(22J22

173

所以一sin4sin5=——sinBcosA.

22

因为8G(0,7i),sin5w0,

所以一sin4-----cos/=sinA--=0,

22I3)

因为Ze(O㈤，所以幺=1.

jr

(2)由(1)可知，A=—,由余弦定理，^b1+c2-a2-be,

3

又。=2,所以〃+。2=儿+4.

由基本不等式得：b'+c2>2bc,^bc+4>2bc,

所以6c<4,当且仅当b=c=2时，等号成立.

又0+c『=/+。2+2儿=3儿+4«16,

即0<b+c<4,又6+C>Q=2,所以2<b+c<4,

所以4<a+b+c<6,

即△ABC周长的取值范围是(4,6].

16.(1)解：/(x)=x\nx-ax2+1,x>0,则/''(x)=lnx+1—2ax.

因为/(x)在(0,+oo)上单调递减，所以/'(x)=lnx+l-2axW0在(0,+oo)上恒成立,

即。2里『在(0,+oo)上恒成立.

构造函数g(x)」n；+l(x>0),

一,2x—2(lnx+l)।

则g<x)=B----------j---------=二^，令g'(x)=0,解得x=l.

当xe(O,l)时，gz(x)>0；当xe(l,+oo)时，g<x)<0,

所以g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+8)上单调递减，

所以当X=1时，g(x)取得极大值，也是最大值，即g(x)max=g(l)=j

所以即a的取值范围为—,+co|.

22J

(2)证明：方法一：由题意得/("=》111%一6«2+1的定义域为(0,+00),

当a<0时，要证/(x)>0,即证xlnx-ax?+1〉0,等价于证明lnx-ax+—〉0.

构造函数/z(x)=lnx-ax+工(x>0),即证〃(x%

JC

因为〃'(x)=,_q_4="X:4~,令T(x)=-ax2+x-l,

因为函数T(x)图象的对称轴为直线％=《<°，所以T(x)在(0,+8)上单调递增，

且7(0)=-1<0,T(l)=—a>0,所以存在％L(0,1),

使得7(%)=-办;+3-1=0,所以当xe(O,Xo)时，T(x)<0,/(x)<0；

当%£(%0，+8)时，T(x)>0,〃'(％)>0,

所以〃(X)在(0,%)上单调递减，在(%,+8)上单调递增,

所以当x=/时，〃(x)取得极小值，也是最小值，

即/z(x)min=M%)=+,(0<Xo<1).

xo

12

又因为—ax；+%o—1=0,得—ax。=----19所以/z(%)=In/H-----1(0<XQ<1).

%%

令夕(%)=lnx+2-l,x>0,则//(%)=!一二=±^<0在(0,1)上恒成立，

JCXXJC

所以夕(x)在(0,1)上单调递减，所以当xe(O,l)时，夕(力〉P(1)=1,

所以力国)>0,即〃(x)1nm>0,所以/(x)>0.

方法二：将/(x)看作以a为变量的函数0(4)=-/.o+工也》+1,其中X40,+8),

因为-必<(),所以°⑷关于a单调递减.

要证当a<0时，/(x)>0,即证当a<0时，0(a)>0,

只需证当a=0时，^(0)=xtax+l>0.

令机(x)=xlnx+l,则加'(x)=lnx+1,令m'(x)=0,解得x=L

e

当无变化时，m'(x),%(x)的变化情况如下表：

X2

e

mr(x)—0+

m(X)单调递减单调递增

所以加m

(\x)/mi.n=+l>0.

综上，a<0/(x)=^(a)>^(O)=m(x)>m^-j>O,即/(x)>0.

17.(1)证明：如图，设PC的中点为〃，连接切，EH,则EA7/C。且切=」CD.

2

所以FH//AE,FH=AE,

所以四边形4瓦印为平行四边形，则4F〃如.

又因为u平面PCE,AF<z平面PCE,所以AFH平面PCE.

(2)解：如图，取8c的中点G,连接NG,取2。的中点连接PM,CM,

则9〃尸幺且桢=工尸幺，又PA=2,所以何1=1.

2

因为尸2,平面45c。，所以q平面48CD,

7T

故EC与平面48c。所成的角为NECW,所以

6

FMr-

所以在RtaRCM中，CM=------=V3.

71

tan—

6

又由菱形性质可得NG=CM,所以NG2+8G2=4g2,所以ZGLBC.

所以ZGL4D,所以ZG,AD,4P两两垂直.10分

以点N为坐标原点，直线NG,AD,4P分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为尸4=48=2,

所以4（0,0,0）,5（V3,-l,0）,C（V3,l,0）,£）（0,2,0）,F（0,1,1）,尸（0,0,2）,

所以N=CF=（-V3,0,l）,AP=（0,0,2）.

由PN，平面ABCD得平面ACD的一个法向量为«=（0,0,1）.

设平面E4c的一个法向量为阳=(x,y,2),

m_LAF,m-AF=y+z=0,

则《故＜

m1CF,m・CF=-y/3x+z=0.

取x=A/3，则y=—3,z=3,

所以蔡=(G,-3,3)为平面FAC的一个法向量.

设二面角E-ZC-。的平面角为。，由图可得。为锐角,

/——、m-n721

所以cos。=cos(m,n)=一—=---,

'/疝〃7

所以二面角E-NC-。的余弦值为q.

7

124

(2)解：设直线/的方程为y=—；x+a,

河(西,必)，N(x2,y2).

1

y=--x+m,

由＜,：消去y,整理得4/_6机x+9机2—36=0.

xy1

—।----=1,

1124

/2A\n4A/34A/3

由A=(-6m)2-11444(m2-4)>0,得------<m<------，

33

2

n.3m9m-36

贝UX]+%2=2，X^2----------

14•X]+%)~—4%]%2=~~~,J16-3切2=J10,

解得加=2或加=一2.10分

当阳=2时，直线/的方程为y=—；x+2,此时直线/过点尸（3,1）；

当刃=—2时，直线/的方程为y=——2,满足题目条件.

所以直线/的方程为y=——2.

（3）证明：因为直线PM,PN均不与x轴垂直，

所以直线/：y=—；x+机不经过点（3,—1）和（3,1）,则用H0且加H2,

x2+m-1

由（2）可知，人色二1T--=

(%1-3)(%-3)

%]-3%-32

2

-x1x2-3(m-l)(x1+x2)+(m-l)

xrx2-3(匹+%)+9