山东济宁某中学2024年高二年级上册10月月考数学试卷

济宁市第一中学2024-2025学年度第一学期

高二阶段性测试

数学试卷2024.10

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分

钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡规定的地方.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的

1.已知/（OU）,（1,1,4）,平面夕的法向量为（2J,6）,若ABHa,则/=（）

A.-10B.3C.4D.5

2.如图，G是zUBC的重心，OA=a,OB=bfOC=c,则。4二)

1-2-2-2一2一1一

A.—a+—b+—cB.—bT—C

333333

-2-2T2-

C.—ClH—bH—CD.匕+匕+匕

333333

3.已知向量a=(2,-1,2),3=(-4,2,x),a//b>则\a卜+b+\可=()

A.3B.9C.27D.81

17

4.已知事件4,8是互斥事件，尸（/）=：，P（B）=-,则P（/U8）=()

6'73

142

A.—B.-D.

1893

5.已知点。在确定的平面内，。是平面力5C外任意一点，若正实数无，》满足

__»__»__»__»2x+y

OD=xOA+2yOB-OC,则——^的最小值为()

xy

5

A.-BC.2D.4

2-i

试卷第1页，共4页

6.已知1=（2,—1,3）,6=（-1,4,-2）,c=（7,5,2）,若鼠很,万三向量不能构成空间

向量的一组基底，则实数4的值为（）

65

A.0B.5C.9D.一

7

7.已知正三棱柱NBC-44cl的侧面积是两底面积的6退倍，点E为四边形相玛4的中心,

点厂为棱CG的中点，则异面直线3尸与CE所成角的余弦值为（）

D3a

B.叵

13,26

8.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数.用x表示第一次抛掷骰子的点数,

用V表示第二次抛掷骰子的点数，用（X/）表示一次试验的结果.记“x+y=7”为事件A,

“孙=2a-l,eN*）”为事件3,“尤V3”为事件C,贝U（）

A.A与3相互独立B.A与8对立

C.B与C相互独立D.A与C相互独立

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选

对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分

9.下述关于频率与概率的说法中，错误的是（）

A.设有一大批产品，已知其次品率为01，则从中任取100件，必有10件是次品

B.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000,所

估计出的概率也不一定很准确.

C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

D.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是］

10.设空间两个单位向量次=（风〃,0）,砺=（0,〃,力与向量面=（1,1.1）的夹角都等于:，则

cosAAOB=（）

A2+73口1+V3

44

Q2—A/3D1—V3

•4•4

11.如图，在边长为1的正方体ABCD-44GA中，点E为线段的中点，点/为线段BBX

的中点，则（）

试卷第2页，共4页

A.点4到直线用£的距离为好B.直线户G到直线/£的距离为我

35

C•点4到平面/2遂的距离为;D.直线尸G到平面的距离为:

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件4则事件

A出现的频率为.

13.如图，平面4BFE与平面CDE尸夹角为60°,四边形/BFE,CAE/都是边长为2的正

方形，则8,。两点间的距离是.

14.如图所示，在正方体48c中，48=3,M是侧面3CC%'内的动点，满足

AMLBD，若与平面BCC%'所成的角。，贝hand的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）已知空间中三点4（2,0,-2）,80,T,-2）,C（3,0,-4）,^a=AB,b=AC

(1)已知他+码求无的值;

(2)若同=6,且3=2而，求己的坐标.

试卷第3页，共4页

16.(本小题15分)如图，正四面体A8CD(所有棱长均相等)的棱长为1,E,F,G,〃分别

是正四面体48cz＞中各棱的中点，设与二，刀=g，AD^c.

(1)用。，ac表示丽，并求£尸的长；

⑵求而与丽夹角的大小.

17.(本小题15分)已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红

球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.

(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；

(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.

18.(本小题17分)在四棱锥尸中，底面是边长为2的正方形，PC工PD,

PC=PD,。为CD的中点，二面角N-CZXP为直二面角.

P

(1)求证：PB1PD；

⑵求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；

(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.

19.(本小题17分)甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮

32

答对的概率为:，乙每轮答对的概率为不在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮

结果也互不影响.

⑴求两人在两轮比赛中都答对的概率；

(2)求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；

(3)求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.

试卷第4页，共4页

试卷第5页，共4页

高二数学参考答案

1.【答案】A

【详解】因为羽=。,2,3),ABHa,

所以(1,2,3)・(2-6)=0,即2+2/+18=0,解得f=TO.

故选：A.

2.【答案】D

【解析】；G是&48c的重心，OA=a,OB=b,OC=c,

:.OG=OC+W>CG=^CD,

cb=^CA+CB'),CA=OA-OC，CB^OB-OC-

：.OG=OC+--X-(CA+CB\=-OC+-OB+-OA,

32、>333

—■1-1-1-

OG=-a+-b+-c.

333

故选：D.

3.A

【详解】向量Z=(2,-l,2),否=(-4,2,向且

则一;=<=—,解得x=-4,所以彼=(-4,2,-4),

-42xv7

所以)+5=(-2,1,-2),

所以卜+B卜^/(-2)2+12+(-2)2=3.

故选：A.

4.【答案】C

【详解】:P(B)=1-P®P(5)=|,

•.•事件A,B是互斥事件，/.P(AuB)=P(A)+P()11=1.故选：C

S=6+32

5.B

【详解】由42,C,。四点共面，可知尤+2广1=1,即x+2y=2,

由x>0,y>0,^Z=-+-=-(x+2y)(-+M=1(5+工汩

xyyx2v\^yxJ21^yx)

答案第1页，共12页

T"2栏当且仅当BY,即“，|时等号成立，

故选：B

6.D解：因为1=(2,—1,3),3=(—1,4,—2),

所以5与B不共线，又a,b>/三向量不能构成空间向量的一组基底,

所以b,d三向量共面,

2x-j=7

所以存在唯一的实数对(xj),使己=x1+yB,即<—x+4y=5,

3x-2y=2

解得力=?.故选：D

7.【详解】法一：如图所示，取的中点G,连接尸G,EG,

因为点E为四边形的中心，所以EG//CF,S.EG=CF,

所以四边形CFGE为平行四边形，所以尸G//CE,

所以4BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角.

设该三棱柱的底面边长为2,正三棱柱/BC-44G的侧面积是底面积的6g倍，

则3、2714=2*旦22'6后，

14

所以441=6.连接3G,

贝1BG=A/62+12=历，BF=A/22+32=岳，FG=q32=273.

_J_n』八rm，曰/j-，cBF~+FG~—BG~13+12—37J39匚匚z0P

在ABFG中，由余弦定理得cosNBFG=-----------------------=——产——尸=-----,所以异面777

2BFxFG2xJ13x2V313

答案第2页，共12页

直线BF与CE所成角的余弦值为叵，

13

法二：设/C=2,贝U由题得3x2CG=2x乎x22x6g,所以Cq=6.

以N为坐标原点，AC,/4所在直线分别为乃z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则8（百,1,0）,C（0,2,0）,E^-,-,3,尸（0,2,3）,所以丽=卜收1,3）,CE=^-,--,3

\7\

,’…门13

故四亚如工4^

所以异面直线8尸与CE所成角的余弦值为画.

13

法三：设/C=2,贝U由题得3x2Cq=2x乎X2?X65

所以cq=6.

设C4=〃,CB=b>CCj=c,则a_Lc,B_Lc，a，B的夹角为百，

―►1—1—►1—►]-171―

CE=-CA+-CB+-CC=-a-\--b+—c

222}222

4+4+36+2X2X2X1=4A/3,

a+b+c\=^a\b\c\2a-b=

-1一171一1-21-一1一2

—CL---bH---C—c——a-b——b

BF-CE222

所以cos（而，演”[r4二422

卜1一一1一17一1一V13X2A/3

BF-c-b—a+—Z?H——c

2222

9-2-1_^39

一而x2逐一13

答案第3页，共12页

所以异面直线2尸与CE所成角的余弦值为典.

13

故选：B.

8.【答案】D

【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6x6=36个；

其中事件/="x+>=7”包含的样本点有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个;

事件B="肛=2左-l,eN*）”，包含的样本点有：

（1,1）,（3,3）,（5,5）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）,（5,1）,（5,3）共9个,

事件C=“xW3”，包含的样本点有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）共18个,

所以A与B不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故B错误；

因为A与3不能同时发生，所以A与B是互斥事件，则P（A8）=0,

又尸,「网焉］，所以尸（“8户尸（⑷尸（8），

所以A与B不相互独立，故A错误；

事件3C包含的样本点有:（1,1）,（3,3）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）共6个,

因为P（3C）=：w尸（8）尸（C）,所以B与C不相互独立，故C错误.

又事件/C包含的样本点有;（1,6）,（2,5）,（3,4）共3个，

11Q1

所以尸（c）=不，P（A）P（C）=-，贝I］尸（40=芯=不=//）尸（C），

2123012

所以A与C相互独立，故D正确；

故选：D

9.ACD

【详解】对于A:从中任取100件，可能有10件，A错误；

对于B:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确”的表达正确，试验次数越多，频率越

稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，B正确.

答案第4页，共12页

对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C

错误；

3

对于D:做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是

3

不是概率为D错误；

故选:ACD.

10.AC

【详解】••・空间两个单位向量方=(%〃,0),砺=(o,〃,p)与向量诙=0,1,1)的夹角都等于

7T

1

:.ZAOC=ZBOC=^,|OC|=V3,

娓

•,-04-dC=|d3|.|oc|-cosZAOC=

V6

又OA-OC=m+nfm+n=—

2

又04为单位向量•.冽2+〃2=],

V6

m+n

联立~T

m2+n2=1

vOA=,OB=,

2土若

/.cosZAOB=n2=

4

故选：AC.

11.ABD

【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则4(1,0,1),^(1,1,1),尸(1,1g

G(0,1,1),7i(i,o,o).

答案第5页，共12页

44=(o,i,o).

设〃i=4片=(0,1,0),所以4•%=—§,

所以点4到直线BXE的距离为商一(晨斤=1=q,故A正确.

因为左=51,0,£|,月所以五g〃百，

所以ZE〃片C,所以点尸到直线AE的距离即为直线FG到直线AE的距离.

设电=NE=(01,gj,所以％.[=(■,

所以直线FG到直线/E的距离为,3-(好]=叵,故B正确.

Vl10J5

设平面481E的一个法向量为=(xj,z),

n•AB=>+z=0,

又福=(0,1,1),Zg=f-l,0,1L所以<X

一一►1

n,AE——xH—z—0.

2

取z=2,贝ljy=—2,尤=1,所以万=(1,—2,2),

所以"~。=同n七(1’一§2

—►_____I—►—>12

又4/=(0,0,1),所以点4到平面N3也的距离为故C错误.

因为尸G〃/E,尸GU平面』8也，所以尸G〃平面/片石，

答案第6页，共12页

所以尸G到平面ABXE的距离即为点F到平面ABXE的距离.

又平面母的单位法向量％=(；,_找),函=(0,0,3,

所以直线尸G到平面AB.E的距离为|丽•瓦卜；，故D正确.

故选：ABD

12.0.52

【详解】由题意可得反面朝上次数为100-48=52,

52

所以设反面朝上为事件/,则事件/出现的频率为尸(N)=W=0.52.

故答案为：0.52.

13【答案】2亚

【详解】因为四边形/BPE、CDEB都是边长为2的正方形，则/E_LEF,DE1EF,

又平面48FE与平面CDEP夹角为60°,BPZAED=60°，则(或，丽)=60°,

因为丽=诙+或+方=成一刀+刀，由图易知方_L应，ABYED^

所以方EA-ED+AB

/---2-------->2---------2------------------

=7EA+ED+AB-2EA-ED+2EA-AB-2ED-AB

=A/4+4+4-2X2X2XCOS600+0-0=242

即3,。两点间的距离是2VL

故答案为：2VL

14.【答案】O

【解析】如图，以。为原点建立空间直角坐标系，

则4(3,0,0),8(3,3,0),。(0,0,3),

设M(x,3,y)(x,ye[0,3]),

则为7=(x-3,34),丽=(-3-3,3),

因为，

所以西•西=(x_3,3,y)•(-3-3,3)=一3,-3)-9+3y=0,

答案第7页，共12页

所以V=x,则M(x,3,x),

因为48平面BCC'B'>

所以乙4Ms即为AM与平面BCC'B'所成角，即。=/4初5,

AB33

则fn血=产后

所以当尤=5时，tan。取得最大值VL

故答案为：V2.

,1

15.⑴k=M

(2)1=(4,2,-4)或万=(-4,-2,4)

【详解】(1)因为/(2,0,-2),8(1,-1,一2),43,0,-4),a=AB,b=AC,

所以)=(-1,—1,0)3=(1,0,—2),a+kb=(k-l,-l,-2k),...........................3

又，+而)_LB,所以,+布)/=左一1+4左=0,得至IJ4=g..................................6

(2)因为日=2前=(2九2,-24),又同=6,所以"力+储+4分=6,..................10

解得2=2或-2,.........................12

所以E的坐标为1=(4,2,-4)或3=(-4,-2,4).........................................13

16.(1)EF=—a—bH—c,—

―2222

(2)90°

【详解】（1）因为£,尸分别为棱BC，的中点，且次与，AC=b，AD^c-

答案第8页，共12页

可得定=砺+豆+/=；屈_方=/)—方

1―、1—•1—•1-1-1-

=——AB——AC+—AD=——a——b+—c,.............................4

222222

因为正四面体45CQ的棱长为1,则同=忖=同=1，且73=7工=g=；,

=(--d--b+-c]=5+为+*万_号?—13g

1112221444222

1111111111

=—+—+—+—x-----x--------x—=—,........................................9

4442222222

即|而卜字，所以£尸的长为孝.........................10

(2)由题意得丽=0+诟+而=_|■万+25+g皮=_g万+诟+g国一珂

即而_L曲，即而与丽的夹角为90。.........15

【详解】(1)设甲袋中的红球为外外，白球为w,篮球为6,

乙袋中的红球为五,白球沙，篮球为片,当，

则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：

｛%&｝,｛%用｝，｛大旦b阮坊｝，｛叱夫｝,｛叱啊,｛“用用叱与｝，

｛々身在,外在再｝此,$｝,｛6,",｛“印｝,｛6再｝，抄也｝,

故基本事件的总数为16.........................................3

设A为“取到的两球颜色相同”，则A含有的基本事件如下：

｛07?｝,｛4，火｝,｛叱少｝,抄，4｝,｛瓦5｝，...........................................5

共5个基本事件，则尸(/)=1=之...............................7

''4x416

(2)如(1)中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下:

答案第9页，共12页

｛斗，2，尺｝,｛耳，2，叼,｛4,々81｝,｛斗弓,32｝，｛大叫及｝,｛大*少｝，｛大枚可｝，｛大校也｝，

｛大瓦7?｝,｛06"｝,｛小仇巴卜白力也｝，｛r2,b,R｝,｛r2,b,W｝,｛r2,b,Bt｝,｛r2,b,B2｝,

｛2,叫号,｛々,iv"｝,｛2,明巴「上明功｝，｛瓦叱R｝,｛4吗印｝,｛瓦叱4｝,｛瓦忆与｝，

基本事件的总数为24,...............10

设8为“取到至少一个红球”，其对立事件设为C,则C为“没有取到红球”，

C含有的基本事件如下：抄，叫叫，抄，坟用｝,抄,叱不｝,共有3个，.......13

3117

故尸（°）=五=鼠，故尸（2）=1一P（C）=l-£=&.............15

ZH-ooo

18.（1）证明见解析

⑵平

（3）1

【详解】（1）因为尸C=PD,。为CD的中点，

所以PO_LCD.......................1

又因为平面尸CD_L平面/5CD,平面尸CDCl平面/BCD=CD,POu平面尸CD,

所以PO_L平面NBCD............2

因为8=2,PC1PD,PC=PD,所以PO=1.

取/B的中点E,连接OE,则OELCD,

以点O为坐标原点，OD,OE,。尸所在直线分别为x,修z轴，如图建立空间直角坐标系

则。(0,0,0),£>(1,0,0),C(-l,0,0),5(-1,2,0),P(0,0,l),"(1,2,0).

丽=(-P5=(l,0,-l),

因为丽•丽=-1+0+1=0，.............5

答案第10页，共12页

所以.

（2）设平面的一个法向量为布=O，y,z）,

m--ABP=0O,即,(-X--2yx+=z0=0

...................................7

解得x=0,令了=1,贝!]z=2,贝而=（0,1,2）...................................9

设直线PC与平面PAB所成的角为6,

又定=（-1,0,-1）,

囿sm。一los偏定-M•定|（。，1，2》（-1，。，-1）|卜21一9

则sm0-|cos^,pq-嗣同-户"'

所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为巫........10

5

（3）设平面尸05的一个法向量为五二（见仇。），

n-OP=0[c=0

则即彳712

nOB=0[-〃+2b=0

解得c=0,令6=1,则a=2,故为=(2,1,0).14

设平面P