三角形面积最值问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

专题05三角形面积最值问题

一、知识导航

求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角

函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法.

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知4(1,1)、8(7,3)、C(4,7),求AABC的面积.

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样:

构造矩形ADEF,用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC面积.

这是在“补”，同样可以采用“割”：

}

^ABC=S^CD+StfiCD=^CD-AE+iCD.BF=^CD（AE+BF）

此处AE+AF即为A、8两点之间的水平距离.

由题意得：AE+BF=6.

下求CD:

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根据4、2两点坐标求得直线AB解析式为：y=-x+-

-33

由点C坐标（4,7）可得。点横坐标为4,

将4代入直线解析式得。点纵坐标为2,

故。点坐标为（4,2）,CD=5,

【方法总结】

作以下定义：

A、8两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C作无轴的垂线与AB交点为D,线段C。即为A8边的“铅垂高”.

,团1衿„水平宽x铅垂高

如图可行：S“BC=-------------------------

八y

c

【解题步骤】

（1）求A、5两点水平距离，即水平宽;

(2)过点C作x轴垂线与AB交于点。，可得点。横坐标同点C;

(3)求直线A3解析式并代入点。横坐标，得点。纵坐标；

(4)根据C、。坐标求得铅垂高；

(5)利用公式求得三角形面积.

【思考】如果第3个点的位置不像上图一般在两定点之间，如何求面积？

铅垂法其实就是在割补，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高！因

此，动点若不在两定点之间，方法类似：

【铅垂法大全】

(1)取A8作水平宽，过点C作铅垂高CO.

(2)取AC作水平宽，过点5作5。轴交直线AC于点。，即对应的铅垂高,

q=qq=水平宽x铅垂高

^AABC~^AABD-、ABCD-Z

(3)取BC作水平宽，过点A作铅垂高AD

甚至，还可以横竖互换，在竖直方向作水平宽，在水平方向作铅垂高.

(4)取8C作水平宽，过点A作铅垂高AO.

ky

C

水

平

宽

//-—、

A铅蠡#

0

(5)取AC作水平宽，过点3作铅垂高跳).

p

C

水

平

宽

A

(6)取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD.

二、典例精析

例一、

如图，已知抛物线、=依2+法+5经过A(-5,0),3(T,-3)两点，与x轴的另一个交点为C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点3、C不重合)，设点P的横坐标为m.当点P在直线BC的下方运

动时，求APBC的面积的最大值.

【分析】

(1)y=x2+6x+5,

(2)取BC两点之间的水平距离为水平宽，过点P作PQJ_尤轴交直线BC于点。，则P。即为铅垂高.

根据2、C两点坐标得8、C水平距离为4,

根据2、C两点坐标得直线8C解析式：y=x+l,

设尸点坐标为(〃2,源+6加+5),则点。(771,771+1),

得PQ=r庐5机-4,

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大.

527

当-一时，△BCP面积最大，最大值为一.

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【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高.

例二、

在平面直角坐标系中，将二次函数〉=办2(。＞0)的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如

图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点3的左侧)，04=1,经过点A的一次函数

y=Ax+6(左70)的图像与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为£),AA皮)的面积为5.

(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点石在一次函数的图像下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标.

【分析】

13

(1)抛物线解析式：y=-^2-x--;

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一次函数解析式：丫=：%+；.

(2)显然，当AACE面积最大时，点E并不在AC之间.

已知A(-1,0)、c[o，g],

设点E坐标为[加,；加2-加-|[,过点E作EFLx轴交直线于f点,

F点横坐标为m,代入一次函数解析式得(租,gm+g)

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可得EF=--nr+-m+2

22

考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大.

既然都是固定的算法，那就可以总结一点小小的结论了，

对坐标系中已知三点A(X1,yJ、B(%，%)、,

按铅垂法思路，可得：

S^ABC—%%一三%一尤必|

如果能记住也不要直接用，可以当做是检验的方法咯.

【总结】铅垂法是求三角形面积的一种常用方法，尤其适用于二次函数大题中的三角形面积最值问题，弄

明白方法原理，熟练方法步骤，加以练习，面积最值问题轻轻松松.

三、中考真题演练

1.(2023・辽宁阜新•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-V+6x-c的图象与x轴交于点

4(-3,0)和点3(1,0),与y轴交于点C.

图1图2

⑴求这个二次函数的表达式.

⑵如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动

点，求△MCD面积的最大值.

2.(2023.湖南娄底•中考真题)如图,抛物线y=d+陵+c过点4(-1,0)、点3(5,0),交y轴于点C.

(1)求6,c的值.

⑵点P(Xo，%)(O<与<5)是抛物线上的动点

①当不取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值；

3.(2023•黑龙江牡丹江•中考真题)如图，抛物线、=/+云+。与无轴交于点A(TO),3(4,0),与y轴交

于点C.

(1)求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；

(2)求ABCP的面积.

卜(bA/7/~*__

注：抛物线丫=办?+法+。(。20)的对称轴是直线％=-热，顶点坐标是卜工,

4.（2023•山东青岛・中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,应＞相交于点O,AB=10cm,

BD=4布cm.动点尸从点A出发，沿A3方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点0从点A出发，沿AD

方向匀速运动，速度为2cm/s.以AP，AQ为邻边的平行四边形APMQ的边尸”与AC交于点£.设运动时

（2）连接班.设△尸£B的面积为S（cn?）,求S与，的函数关系式和S的最大值;

5.（2023・湖南张家界•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=af+6x+c的图象与x轴交

于点A（-2,0）和点3（6,0）两点，与y轴交于点C（0,6）.点。为线段5c上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

（3）如图2,过动点。作D尸〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PAPB,记^/^。与△PBD的面积和

为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

6.（2023•山东聊城•中考真题）如图①，抛物线＞=62+"-9与x轴交于点A（-3,0）,3（6,0）,与y轴交于

图①图②

⑴求抛物线的表达式；

（3）如图②，当点P（机,0）从点A出发沿x轴向点8运动时（点尸与点A,8不重合），自点P分别作PE〃3C,

交AC于点E,作PDLBC,垂足为点。.当相为何值时，VPED面积最大，并求出最大值.

7.（2023•湖北荆州•中考真题）已知：丁关于x的函数丁=（。-2）尤2+（a+l）x+b.

⑴若函数的图象与半桥轴有两个公共点，且。=46,则。的值是；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点4（-2,0）,5（4,0）,并与动直线/:x=m（0＜根＜4）交

于点P,连接24,PB,PC,BC,其中R4交V轴于点。，交BC于点E.设△P3E的面积为S1,ACDE

的面积为工.

①当点尸为抛物线顶点时，求APBC的面积;

②探究直线/在运动过程中，国