人教版九年级数学上册重点压轴题专练：一元二次方程的应用

专题21.4一元二次方程的应用

♦典例分析

【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位

于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3

斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).

(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？

(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手

工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店

按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格

全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？

【思路点拨】

(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可;

(2)设促销时每袋应降价万元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可.

【解题过程】

解：(1)设总共生产了a袋手工汤圆，

依题意得，鬻+鬻=21

解得a=9000,

经检验a=9000是原方程的解，

答：总共生产了9000袋手工汤圆

(2)设促销时每袋应降价x元，

当刚好10天全部卖完时，

依题意得，225x2x(25-13)+8(25-13-x)(225+gx)=40500

整理得：%2-6%+45=0

△=62-4x45<0,

，方程无解

A10天不能全部卖完

.•.第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为（15-13）[9000-

2X225-8（225+y%）]=12600-600%

依题意得，225x2x（25-13）+8（25-13-％）（225+个X）+12600—600%=40500

解得%1=1,%2=3

•・,要促销

.*.%=3

即促销时每袋应降价3元.

♦学霸必刷

1.（23-24九年级上•广东深圳•阶段练习）五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能

求出这五个整数分别是.

2.（23-24九年级上.四川成都・期末）已知，数轴上从左到右有三点4B,C,它们在数轴上对应的数分别

为a,b,c（a,b,c均不为整数），且6<c-a<7,k<b<k+1（k为正整数）.在点4与点B之间的所

有整数依次记为P1，P2，P3>Pm；在点B与点C之间的所有整数分别记为01，（72,43,1Qn-若P/+P22+

222221

p3++Pm=Q1+q22+<?3++qn>贝Jk的值为.

3.（23-24九年级上.江苏•期中）己知3个连续整数的和是m,它们的平方和是n,且n=：（2m+3）,求这

3个连续整数.

4.（23-24九年级上.山东德州•期中）今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡

蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病.

（1）每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？

（2）如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？

5.（23-24九年级上•河南洛阳•阶段练习）暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心.某单位

开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

6.（22-23九年级上•河南新乡•阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/

件，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种

费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈

利1450元，每件应降价多少元？

7.（22-23九年级上•重庆黎江•期中）温润有度，为爱加温.近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为

人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、8两种型号的暖风机共900台，每台4型号

暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元.

（1）若要使得A、8两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？

（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、8两种型号的暖风机全部售完.该商场在12上旬又购

进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台4型号暖风机的售价比其11月下旬

的售价优惠1a%,A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加［a%,每台B

型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠2。％,B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下

的最低购进量增加。％,4、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了当a%,

求a的值.

8.（22-23八年级下•广东江门•期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克

400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量

可增加40千克.

（1）若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：

①每千克茶叶应降价多少元？

②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

（2）在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由.

9.（22-23八年级下•重庆北倍・期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计

划32小时完成.甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务.

（1）求甲工程队每小时修的路面长度；

（2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，

乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了（爪+25）小时；甲工程队的修路速度比原计划每

小时下降了3小米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值.

10.（22-23九年级上•重庆合川・期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树

枯死.小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种.其中小叶榕每棵680

元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元.

（1）原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？

（2）实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10爪元（mWlO））,且

两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵.物业管理公

司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？

11.（2023・重庆•一模）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米.甲，乙分别从

桥梁两端向中间施工.计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成

本不一样.甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万.

（1）若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的3求甲最多施工多少米.

（2）实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲

每合格完成1米隧道施工成本增加。万元时，则每天可多挖;a米.乙在施工成本不变的情况下，比计划每

6

天少挖米.若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多（7a-12）万元.求。的值.

12.（22-23九年级下•重庆北培•阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表

演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广

场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的a停车场后，再步行

1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍.

（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？

（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比

甲开车的平均速度快机千米/小时（爪＞0）,乙开车时间比甲开车时间少分小小时；乙步行的平均速度比甲步

24

行的平均速度快;根千米/小时，乙步行了;小时后到达目的地，求小的值.

43

13.（23-24九年级上•山东枣庄•期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点

分别从直径的两端点42以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程Z（cm）与时间t（s）满足关

系：l=）2+|t（t20）,乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.

（1）甲运动4s后的路程是多少？

（2）甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？

14.（22-23九年级下•重庆丰都•阶段练习）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A

地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5

分钟到达B地.

（1）求小明、小红的跑步速度；

（2）若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步

开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的

热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多

少分钟.

15.（23-24九年级上•贵州遵义•期中）某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准:

如果人数超过20人，每增加1人、

力口果人数不超过20人\人均旅游费用降低10元，但人均

人均旅游费用为600元J旅游费用不得低于420元。y

（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为一元；

（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数.

16.（23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长

25米），另外三边用长40米的木栏围成.

墙

（1）设4B长为尤米，贝l|8C的长为米；

（2）4B长为多少时，养猪场的面积为150平方米？

（3）养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出4B的长度；若不能，请说明理由.

17.（23-24九年级上•河南洛阳•阶段练习）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱

笆围建一个矩形生态园.如图，墙4F=8m,AE=4m,篱笆长为28m,设CD的长为xm,生态园的一边

由墙4F和一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CDB围成.

墙

B

A

E

CD

(1)BD=m；（用含x的代数式表示）

（2）若生态园的面积为75m2,求x的值;

（3）为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出2m宽的门，此时生态园的面积能否达到110m2?如果能,

请求出生态园的长C。；如果不能，请说明理由.

18.（22-23八年级下•山东济南•期末）如图，在△ABC中，=90。,43=6cm,BC=8cm,点尸从A开始

沿边4B向点B以lcm/s的速度移动，与此同时，点。从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.点P,

。同时出发，当点。运动到点C时，两点停止运动，设运动时间f秒.

（1）填空：BQ=cm,PB=cm；（用含/的代数式表示）；

（2）当t为几秒时，PQ的长度等于4ecm；

（3）是否存在某一时刻才，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的!?如果存在，求出r的值，如果不存在,

请说明理由.

19.（22-23九年级上•广东清远・期中）如图，在△4BC中，NB=90。，AB=11cm,BC=8cm,点尸从点

A出发，以每秒1cm的速度沿48向点2匀速运动，同时点。从点B出发以每秒2cm的速度沿BC向点C匀

速运动，到达点C后返回点8,当有一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒.

（1）当t=l时，直接写出P,。两点间的距离.

（2）是否存在如使得ABPQ是等腰三角形，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

（3）是否存在t,使得ABPQ的面积等于10cm2,若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由.

20.（23-24九年级上.湖北襄阳•阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm,AD=2cm,动点PQ分别从

点A、C同时出发，点尸以2cm/s的速度向终点B移动，点。以lcm/s的速度向点。移动，当有一点到达终

点时，另一点也停止运动.设运动的时间为问：

（1）当t=ls时，四边形BCQP的面积是多少？

（2）当/为何值时，点P和点。的距离是3cm?

（3）当1=s时，以点PQD为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案）

专题21.4一元二次方程的应用

♦典例分析

【典例1】正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗.位

于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3

斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).

(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？

(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕.据统计，每袋手

工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋.汤圆店

按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格

全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？

【思路点拨】

(1)设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可;

(2)设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可.

【解题过程】

解：(1)设总共生产了a袋手工汤圆，

依题意得，鬻+黑=21

解得a=9000,

经检验a=9000是原方程的解，

答：总共生产了9000袋手工汤圆

(2)设促销时每袋应降价x元，

当刚好10天全部卖完时，

依题意得，225x2x(25-13)+8(25-13-x)(225+yx)=40500

整理得：%2一6%+45=0

△=62-4X45<0,

...方程无解

.-.10天不能全部卖完

.•.第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15-13)[9000-

2X225-8(225+六)]=12600-600%

依题意得，225X2X(25-13)+8(25-13-%)(225+~x)+12600-600x=40500

解得%1=1,%2=3

•・,要促销

即促销时每袋应降价3元.

♦学霸必刷

1.(23-24九年级上•广东深圳•阶段练习)五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能

求出这五个整数分别是.

【思路点拨】

设五个连续整数为无，x+l,x+2,x+3,x+4,根据题意列方程求解即可.

【解题过程】

解：将这五个连续整数中的第一个数设为X,

那么其余四个数依次为x+l,x+2,x+3,x+4,

根据题意,得/+(x+I)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.

也就是--8万-20=0.

根据方程/一8%-20=0,

所以x=-2或；c=10.

因此这五个连续整数依次为一2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

故答案为：—2,-1,0,1,2或10,11,12,13,14.

2.(23-24九年级上.四川成都・期末)已知，数轴上从左到右有三点4,B,C,它们在数轴上对应的数分别

为a,b,c(a,b,c均不为整数)，且6<c-a<7,k<b<k+1(k为正整数).在点4与点B之间的所

有整数依次记为P1，P2，P3……，Pm；在点B与点c之间的所有整数分别记为位,02,03,……,qn-若pj+pz?+

P32+…+Pm2=<?12+<?22+Q32+……+q/，则k的值为-

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程的应用，数轴上两点距离；根据题意得出AC之间共有6个或7个整数，进而可得税2

3,设力C之间的数分别为x—2,x—1,久，%+1,%+2,%+3,%+4,根据题意列出一元二次方程，解方程，

得出整数解，进而即可求解.

【解题过程】

解：6<c—a<7,

...AC之间共有6个或7个整数，

2222222

V6个连续的整数满足p/+p2+p3+...+Pm=Ql+Q2+<?3+...+qn

m>3,

当m=3时，AC间有7个整数，则48之间的3个整数设为％-2,%-1,%,民C之间的4个整数为久++

2,%+3,%+4,

(x-2)2+(x—I)2+X2=(%+I)2+(%+2)2+(%+3)2+(%+4)2,

解得：x=-25或第=—1

当ZC上有6个整数，(％-2尸+(x-I)2+/=(%+i)2+(%+2)2+(%+3)2,无整数解；

当租=4时，AC间有7个整数，则48之间的4个整数设为％-2,%-1,居%+1,8,C之间的3个整数为久+

2,%+3,%+4,

(x-2)2+(x—I)2+/+(%+1)2=(%+2)2+(%+3)2+(%+4)2,

解得：x=23或X=-1,

当租=4,ZC间有6个整数，则48之间的4个整数设为％-2,%-1,%,%+1,8,C之间的2个整数为％+2,久+

3,

(%—2)2+(%—I)2+%2+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,无整数解；

当租=5时，则48之间的5个整数设为久—2,%-1,居%+1,%+2,昆。之间的2个整数为汽+3,%+4,

(%—2)2+(%-I)2+%2+(%+I)2=(%+2)2+(%+3)2,无整数解

或(％—2)2+(%—I)2+%2+(%+I)2+(%+2)2=(%+3)2+(%+4)2,无整数解

当m=6时,则4B之间的5个整数设为久—2,x—l,x,x+l,x+2,%+3,B,C之间的2个整数为X+4,

(%—2)2+(%—I)2+%2+(%+I)2+(%+2)2+(%+3)2=(%+4)2,无解，

综上所述，x=一25或%=23或%=-1,

则一25<b<一24或24<b<25或0Vb<1,

：.k=-25,k=24或k=0

••”是正整数，

：.k=24

故答案为:24.

3.(23-24九年级上•江苏•期中)己知3个连续整数的和是它们的平方和是n,且n=((2m+3),求这

3个连续整数.

【思路点拨】

本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可.

【解题过程】

解：设这3个连续整数为％,%+1,x+2,

由题意可得，%+%+1+%+2=3%+3=7?1,

/+(%+I)2+(%+2)2=3x2+6%+5=n,

又知n=1(2m+3),

即3x2+6%+5=((6%+9),

解得％=4或—：(舍去)，

故％=4,

久+1=5,久+2=6.

故这3个连续整数为4,5,6.

4.(23-24九年级上•山东德州•期中)今年4月，多国禽流感大暴发，大量蛋鸡被扑杀，导致世界级的“鸡

蛋荒”，若某国有一只蛋鸡患有禽流感，经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病.

(1)每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了几只健康的蛋鸡？

(2)如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会不会超过500只？

【思路点拨】

本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程和算

式求解是解题的关键.

(1)设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了尤只健康的蛋鸡，则第一轮中有x只健康的蛋鸡被传染，第二

轮中有x(l+x)只健康的蛋鸡被传染，根据经过两轮感染后共有64只蛋鸡患病列出方程求解即可；

(2)根据(1)所求求出三轮传染后，患病的蛋鸡的数量即可得到答案.

【解题过程】

(1)解：设每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了犬只健康的蛋鸡，则第一轮中有犬只健康的蛋鸡被传染，

第二轮中有X(1+0只健康的蛋鸡被传染，

根据题意得：1+x+%(1+x)=64,

整理得：(1+%)2=64,

解得：Xi=7,x2=-9(不符合题意，舍去)，

答：每轮传染中平均每只患病蛋鸡传染了7只健康的蛋鸡；

(2)解：64+64X7

=644-448

=512(只)，

V512>500,

,如果不及时控制，那么三轮传染后，患病的蛋鸡会超过500只.

5.(23-24九年级上•河南洛阳•阶段练习)暑假期间，河北涿州的洪涝灾害，牵动着全国人民的心.某单位

开展了“驰援涿州，我们在路上”赈灾捐款活动，第一天收到捐款8000元，第三天收到捐款11520元.

(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

【思路点拨】

本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握题意是解题的关键.

(1)设捐款增长率为久，根据题意列出方程进行求解即可；

(2)根据增长率进行计算即可.

【解题过程】

(1)解：设捐款增长率为由题意得：8000(1+x)2=11520,

(1+比)2=||，

1+x=±|,

X—-1,

~5

x1=X2=-y(不合题意‘舍去)’

|=20%.即捐款增长率为20%.

(2)解：11520x(1+=11520x|=13824(元)

即第四天该单位能收到13824元捐款.

6.（22-23九年级上•河南新乡•阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/

件，并且两次降价的百分率相同.

（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种

费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈

利1450元，每件应降价多少元？

【思路点拨】

（1）设该种商品每次降价的百分率为x,根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的

一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）每件商品的盈利x（原来的销售量+增加的销售量）-150=1450,为了减少库存，计算得到的降价多

的数量即可.

【解题过程】

（1）解：设该种商品每次降价的百分率为尤，

依题意,得：200（1-%）2=162,

解得：%1=0.1=10%,%2=1.9（不合题意，舍去）；

答：该种商品每次降价的百分率为10%.

（2）解：设每件商品应降价x元，根据题意，得：

（200-156-x）（20+5x）-150=1450,

解方程得了i-4,x2—36,

•••在降价幅度不超过10元的情况下，

.".X=36不合题意舍去，

答：每件商品应降价4元.

7.（22-23九年级上•重庆泰江•期中）温润有度，为爱加温.近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为

人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、8两种型号的暖风机共900台，每台4型号

暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元.

（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？

（2）由于质量超群、品质卓越，11月下旬购进的A、8两种型号的暖风机全部售完.该商场在12上旬又购

进了A、8两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台4型号暖风机的售价比其11月下旬

的售价优惠1a%,A型号暖风机12月上旬的销售量比其在(1)问条件下的最高购进量增加［a%,每台B

型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠三。％，8型号暖风机12月上旬的销售量比其在(1)问条件下

的最低购进量增加a%,4、B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比(1)问中最低销售额增加了^a%,

求a的值.

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，

正确列出一元一次不等式；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程.

(1)设购进x台4型号暖风机，则购进(900-％)台B型号暖风机，根据总价=单价X数量结合销售额不低于

69万元，即可得出关于久的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；

(2)根据总价=单价x数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解题过程】

(1)解：设购进万台4型号暖风机，则购进(900-%)台B型号暖风机，

依题意，得：600%+900(900-%)>690000,

解得：x<400.

答：至多购进400台4型号暖风机.

(2)依题意，得：600(1--a%)x400(1+-a%)+900(1--a%)x(900-400)(1+a%)=690000(1+

245

器a%)，

整理，得：150a-12a2=0,

解得：=12.5,a2=0(不合题意，舍去).

答：a的值为12.5.

8.(22-23八年级下.广东江门.期末)我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克

400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量

可增加40千克.

(1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：

①每千克茶叶应降价多少元？

②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

(2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由.

【思路点拨】

(1)①设每千克茶叶应降价尤元，利用销售量x每件利润=41600元列出方程求解即可；②为了让利于顾

客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折.

(2)设每千克茶叶应降价y元，列方程整理后为y2—110y+4500=0,代入根的判别式得A<0,方程无

解，故不能达到要求.

【解题过程】

(1)解：①设每千克茶叶应降价x元.根据题意，得：

(400-%-240)(200+2x40)=41600.

角军得：/=30/x2=80.

答：每千克茶叶应降价30元或80元.

②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元.

此时，售价为：400-80=320元，—X10=8.

400

答：该店应按原售价的八折出售.

(2)解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下：

设每千克茶叶应降价y元.根据题意，得：

(400-%-240)(200+2x40)=50000,

整理得：y2-110y+4500=0,

VA=(-110)2-4xlx4500=-5900<0,

二原方程没有实数根，

即该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元.

9.(22-23八年级下•重庆北倍•期中)甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计

划32小时完成.甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务.

(1)求甲工程队每小时修的路面长度；

(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，

乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了⑺+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每

小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值.

【思路点拨】

(1)设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2x+30)米，根据题意列出方程求解

即可;

(2)根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可.

【解题过程】

(1)解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2久+30)米，

根据题意得，32%+32(2比+30)=4800,

解得：x=40,

贝U2x+30=110,

...甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；

(2)解：根据题意得，

40(32+m+25)+(110-3m)(32+m)=4800+1000,

整理得，m2—18m—0,

解得：(舍去)，

m1=18,m2=0

：.m的值为18.

10.(22-23九年级上•重庆合川・期末)2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树

枯死.小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种.其中小叶榕每棵680

元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元.

(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？

(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m元(mW10)),且

两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵.物业管理公

司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？

【思路点拨】

(1)设原计划购买小叶榕x棵，则购买香樟50-万棵，根据题意列出方程680x+1000(50-x)=38800即

可得出答案.

(2)根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680-10m)元每棵，(1000-10m)元每棵,

再列出实际购买棵树的表达式，得到(680-10m)X(35+2m)+(1000-10m)X(15+m)=42400方程

式求出满足条件m的值，即可得出答案.

【解题过程】

(1)设原计划购买小叶榕万棵，则购买香樟50-X棵，

根据题意，可得680x+1000(50—x)=38800,

解得，%=35.

答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵.

(2)根据题意，可得(680-10m)x(35+2m)+(1000-10m)x(15+zn)=42400,

整理得，30m2-1860m+3600=0,

解得：m1-2,m2—60,

"."m<10,m=2,

购买了39棵小叶榕，17棵香樟，

答：物业管理公司实际购买两种树共56棵.

11.(2023・重庆•一模)甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米.甲，乙分别从

桥梁两端向中间施工.计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成

本不一样.甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万.

(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的3求甲最多施工多少米.

(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲

每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖;a米.乙在施工成本不变的情况下，比计划每

天少挖米.若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7a-12)万元.求a的值.

【思路点拨】

(1)设甲工程队施工x米，则乙工程队施工(5000-x)米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成

本的|,即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；

(2)根据总成本=每米施工成本x每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加。万元时，则每

天可多挖;a米.乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于。的一元二次方程，解

之即可得出结论.

【解题过程】

(1)解：设甲工程队施工X米，则乙工程队施工(5000-X)米，

依题意，得：12(5000-x)>|xl0x,

解得：立2500,

答：甲最多施工2500米.

(2)依题意，得：(10+a)(5+：a)+12(5-：a)=12x5+10x5+(7a-12),

整理，得：a2-18a+72=0,

解得：的=12,a2=6,

当的=12时，总成本为：12x5+10x5+7x12-12=182（万元），

V182>150,

=12不符合题意舍去；

当a2=6时，总成本为：12X5+10X5+7X6-12=140（万元），

V140<150,

a2=6符合题意；

答：。的值为6.

12.（22-23九年级下•重庆北倍•阶段练习）1月21日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表

演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广

场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家50千米的力停车场后，再步行

1千米到达目的地，共花了1.5小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的25倍.

（1）求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？

（2）乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米，此期间，已知乙开车的平均速度比

甲开车的平均速度快机千米/小时（巾>0）,乙开车时间比甲开车时间少白小小时；乙步行的平均速度比甲步

24

行的平均速度快;小千米/小时，乙步行了;小时后到达目的地，求小的值.

43

【思路点拨】

（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，根据甲先将车开到距离自

己家50千米的4停车场后，再步行1千米到达目的地，共花了1.5小时.列出分式方程，解方程即可；

（2）根据乙先将车开到B停车场后，再步行前往目的地，总路程为46千米.列出一元二次方程，解之取其

正值即可.

本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和

一元二次方程.

【解题过程】

（1）设甲步行的平均速度是x千米/小时，则甲开车的平均速度是25x千米/小时，

由题意得：-^+-=1.5,

25xx

解得：％=2,

经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，

/.25%=25X2=50,

答：甲开车的平均速度是50千米/小时，步行的平均速度是2千米/小时；

(2)由(1)可知，甲开车的时间为50+50=1小时)，则乙开车的时间为(1—(小)小时，

由题意可知，乙开车的速度为(50+巾)千米/小时，乙步行的速度为(2+千米/小时，

由题意得：(50+771)(1——nt)+§(2+—nt)-46,

整理得：m2+24m—112=0,

解得：m1=4,m2=-24(不符合题意，舍去)，

答：小的值为4.

13.(23-24九年级上•山东枣庄•期中)小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点

分别从直径的两端点A、8以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程Z(cm)与时间t(s)满足关

系：I=]2+|t(t20),乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm.

(1)甲运动4s后的路程是多少？

(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程的应用.根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键.

(1)将t=4代入，计算求解即可；

(2)由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，贝咛产+|t+4t=5x21,计算求出

满足要求的解即可.

【解题过程】

(1)解：当t=4时，/=ix42+|x4=8+6=14,

答：甲运动4s后的路程是14cm；

(2)解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆,

.\|t2+|t+4t=5x21,整理得，t2+11-210=0,

A(t-10)(t+21)=0,

解得，t-10或t=-21(舍去).

答：它们运动了10秒.

14.(22-23九年级下•重庆丰都•阶段练习)周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A

地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5

分钟到达B地.

(1)求小明、小红的跑步速度；

(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息)，据了解，在他从跑步

开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的

热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多

少分钟.

【思路点拨】

(1)分别设小红和小明的速度，根据等量关系(小明比小红早5分钟到达B地)列出等量关系式，按照分

式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解.

(2)先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最

后求解.

【解题过程】

(1)解：设小红的速度为xm/min,则小明的速度为1.2xm/min,

依据题意列方程得，巴竺12000

X1.2X

・・・12000X1.2-12000=5X1.2%,

.・.x=400,

经检验，％=400是原式方程的解.

1.2x400=480m/min.

・,・小红的速度为400m/min,小明的速度为480m/min.

故答案为：480m/min；400m/min.

(2)解：•.・小明的速度为480m/min,

・•・小明从A地道B地需要的时间为：12000+480=25min.

•・・小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里,

・•・30—25=5min.

设B地到C地的距离为%m,依据题意列方程得,

（%-480x5）

30x10+=2300

；・300+（急-5）x（1。+急-5）=23。。,

・••（5）x（急+5）=2000,

一―25=2000,

/.—=2025,

\48O7

・,・%=21600或％=-21600(舍去).

••.A地到C地所需要时间为：216。。+12。。。=

48070min

故答案为：70min.

15.(23-24九年级上.贵州遵义•期中)某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准:

如果人数超过20人，每增加14

人均旅游费用降低10元，但人均

如果人数不超过20人,

旅游费用不得低于420元。y

人均旅游费用为600元

(1)若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为一元；

(2)若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数.

【思路点拨】

本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：

(1)利用总费用=人均旅游费x参加本次旅游的人数，即可求出结论；

(2)设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，求出人数为20人时所需总费用及人均旅游费为420元时

的人数，由12000元小于15000元及人均旅游费为420元时的人数不为整数，可得出x>20且人均费用不

能为420元，利用总费用=人均旅游费x参加本次旅游的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符

合题意的值，即可得出结论.

【解题过程】

(1)解：根据题意得：[600-10x(25-20)]x25

=(600-10x5)x25

=(600-50)x25

=550X25

=13750(元)，

若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为13750元.

故答案为：13750；

(2)解：设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，

V600X20=12000(元),12000<15000,150004-420=35...300,

>20且人均费用不能为420元.

根据题意得：比[600-10x(%-20)]=15000,

整理得：%2-80%+1500=0,

解得：%i=30,x2=50,

当x=30时，600-10(x-20)=600-10x(30-20)=500>420,符合题意；

当尤=50时，600-10(%-20)=600-10x(50-20)=300<420,不符合题意，舍去.

答：乙单位参加本次旅游的员工人数为30人.

16.(23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习)致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙(墙长

25米)，另外三边用长40米的木栏围成.

墙

〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

AD

BC

(1)设4B长为x米，贝U8C的长为米；

(2)4B长为多少时，养猪场的面积为150平方米？

(3)养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由.

【思路点拨】

此题考查了一元二次方程的应用和一元二次方程根据的判别式，理解题意，正确列出方程是解题的关键.

(1)根据BC=木栏长—(4B+CD)求解即可；

(2)结合(1)可求出养猪场的面积为x