人教版九年级数学上册重点压轴题专练：投球问题一一二次函数的应用

专题22.6投球问题一一二次函数的应用

♦典例分析

【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学

模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点

4(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6),落在x轴上的点C处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)某市男子实心球的得分标准如表:

得分10095908580767066605040302010

掷远(米)12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2

请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；

(3)若抛物线经过”(爪,月)，N(m+2,y2)两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H(包括M,N两点)，

图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为义，求小的值.

【思路点拨】

(1)易得抛物线的顶点坐标为8(4,3.6),用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把4(0,2)的坐标代入可得二

次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式；

(2)取函数值为0,看球落地时久的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给表

格可判断应得分数；

2

(3)根据题意得出月=—O,lm?+O.8TM+2,y2=—0.1m+0.4m+3.2,进而根据m的范围，分四种情况

讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【解题过程】

(1)解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6),

设该抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.6(aW0),

,・,抛物线经过点A(0,2),

・•・a(0-4)2+3.6=2,

•••a=—0.1,

・,•该抛物线的解析式为：y=-0.1(%-4)2+3.6=-0.1%2+0.8%+2；

(2)解：当y=0时，—0.1(%-4尸+3.6=0,

解得：%】=10,x2=-2,

•・•点C在无轴的正半轴，

%2=—2舍去，

X]=10,即小强在这次训练中的成绩为10米，

•・•9.6<10<11.2,

・・・小强的得分是90分；

(3)解：•・,抛物线经过两点N(m+2,y2)f

2

•••yr=-0.1m+0.8m+2,

2

y2——0.1m+0.4m+3.2,

由题意可知，图象”上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为£

・•.有以下四种情况：

即：(―dim?+o.4m+3.2)—(—0.1m2+0.8m+2)=|,

解得：m=2.5,

这与04THV2相矛盾，故舍去;

解得：m=4+四或m=4—V2,

・・,zn=4+&与24zn<3相矛盾，故舍去,

.・.771=4—V2;

解得：m=2+&或m=2—V2,

,・,租=2一2与34mV4相矛盾，故舍去，

m=2+V2；

④如图，当加之4时，y的值随工的值的增大而减小,

依题意，yi-y2=->

即：(―O.lni?+o.8m+2)—(—0.1m2+0.4m+3.2)=

解得：m=3.5,

这与m24相矛盾，故舍去；

综上所述：m=4-&或m=2+四.

♦学霸必刷

1.（24-25九年级上•全国・单元测试）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物

线y=4%-1%2刻画，斜坡可以用直线y=刻画.下列结论错误的是（）

A.小球洛地点与点0的水平距禺为7m

B.当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点。的水平距离为3m

C.小球与点。的水平距离超过4m时呈下降趋势

D.小球与斜坡的距离的最大值为mm

2.（2024•辽宁鞍山.二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在2

处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一

次着地前抛物线的解析式为y=a（x-27+2,弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大

高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m,高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，若

要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（）

A.7B.9C.10D.8

3.（23-24九年级上•河北邢台・期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离,

当弹跳球以某种特定的角度从点P（O,1）处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线3其最高点的坐标为（4,5）.弹

跳球落到斜面上的点力处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线//,且开口大小和方向均与L相同，但最大高

度只是抛物线L最大高度的|.

（1）抛物线L的解析式为;

（2）若点4与点P的高度相同，且点4在抛物线17的对称轴的右侧，则抛物线〃的对称轴为直线

4.（23-24九年级上.浙江湖州.期末）如图，乒乓球桌桌面是长AB=2.7m,宽4。=1.5m的矩形，E,F分

别是力B和CD的中点，在E,9处设置高HE=0.15m的拦网.一次运动员在4D端发球，在P点击打乒乓球后

经过桌面。点反弹后的运行路径近似二次项系数a=的抛物线的一部分.已知本次发球反弹点。在到桌

面底边4。的距离为0.1m,到桌面侧边48的距离为0.1m处.若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC）,此时

球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m,则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为m；若乒

乓球运行轨迹不变，飞行方向从。点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离8c为0.2m的Q点处，此时QC的长度

为m.

5.(2024・贵州贵阳•一模)小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线,

以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y(m)

与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=—+%+以

8

(1)求C的值；

(2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度；

(3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，己知小亮跳起后，手离地面的最大高度为=

2.8m,则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离.

6.（2024・湖北武汉•模拟预测）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强.海豚表演是

武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路

线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点。为原点，以。与海豚落水点所在的

直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系.海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳

点。的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=a/+2%,海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运

动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m,离水面高度为4.5m的小球.

图1图2

（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?

（2）求当海豚离水面的高度是半m时，距起跳点。的水平距离是多少m?

（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m,高DE=4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过

泡沫箱（不碰到），求点0横坐标〃的取值范围.

7.（23-24九年级上.湖北武汉.阶段练习）为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球

机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离

球网水平距离3m的点。处，球从点。正上方1.15m的4处发出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满

足关系式y=a（x-4）2+h.小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离3m（如图所示）,在头顶0.6m至

0.8m处称为有效击球高度.（球网高度不影响有效击球）

（1）若h=2.75,

①求y与久的函数关系式（不要求写出自变量》的取值范围）；

②如果小明的身高为1.65m,试判断他能否在原地有效击球？

（2）如果小明的身高为1.75m,并且能在原地有效击球，直接写出a的取值范围.

8.（23-24九年级上•河北秦皇岛•期末）在平面直角坐标系中，从原点0向右上方沿抛物线L发出一个小球

P,当小球尸达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2.

x

（1）求抛物线工的函数解析式；

（2）求小球P在无轴上的落点坐标；

（3）在无轴上的线段4B处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知。4=3,且每个回收

箱的宽、高分别是0.5、0.3,当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数.

9.（2024.河南漠河.二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕.中国女排在决赛

中以3:0击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠.爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：

排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探

究.

经实地测量可知，排球场地长为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.建立如图所示的平面直角坐标系，

4为击球点.记排球运动过程中距地面的竖直高度为y（单位：m）,距击球点的水平距离为x（单位：m）.

斗

球网

4，

9m'9iii>1x

左边界右边界

小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表:

水平距离x/m04681112

竖直高度y/m2.002.712.802.712.242.00

（1）根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离》近似满足的函数关系式.

（2）通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由.

（3）小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点。处上方击球,

既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度九（单位：m）的取值范围是多

少？

10.（2024・湖北武汉•模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为2.8m,中间处球网的高度为1.5dm.现有一

台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第

二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响

球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球.乒乓球大小忽略不计.如图，当发球器放在球

台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）

的相关数据，如下表所示:

x(dm)02468101214

y(dm)3.362.521.680.8401.402.403

（1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围）

（2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；

（3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm?

11.（23-24九年级上•河北唐山•阶段练习）在嘉嘉的一次投篮中，球出手时离地面高2米,与篮圈中心的

水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心

（2）若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求嘉嘉朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮才能将

篮球投入篮圈中？

（3）若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求嘉嘉出手的

高度需要增加多少米才能将篮球投入篮圈中？

（4）若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮圈的坐标为（6,3.44）,球场上方有一组高6米的电线,

要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮圈中，直接写出二次函数解析式中。的取值范围.

12.(2024.贵州贵阳.一模)如图是身高为1.75m的小明在距篮筐4m处跳起投篮的路线示意图，篮球运行轨

迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方0.25m的A处出手，在距离篮筐水平距离为1.5m处达到

最大高度3.5m,最终投入篮筐所在的B内.以小明起跳点。为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；

(2)当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸至U2.7m,则小

刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？

(3)当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同.若他想投中篮筐，则应该向前

走多远？(投篮时，球从下方穿过篮筐无效)

13.（2024・浙江•模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动.学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，篮

球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究：

如图，篮框距离地面3m,某同学身高2m,站在距离篮球架L=4m处，从靠近头部的。点将球正对篮框投

出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线C.不计篮框和球

的大小、篮板厚度等.

（1）求抛物线C的表达式；

（2）研究发现，当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框.若该同学正对篮框，改用

跳投的方式，出手点。位置升高了0.5m,要能保证进球，求乙的取值范围.（计算结果保留小数点后一位）

14.(2024•贵州黔西•一模)如图，一小球M从斜坡04上的。点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分,

斜坡可以用一次函数y=表示，若小球到达的最高点的坐标为(4,8),解答下列问题：

(1)求抛物线的表达式；

(2)求小球M在飞行的过程中离斜坡04的最大高度(垂直于地面)；

(3)将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线y=a(x-%+k(a丰0),当平移后的抛物线与直线。4

仅有一个交点，且交点在线段04上时，%的取值范围是

15.（2024.河南周口•模拟预测）如图，排球运动场的长为18m,球网在场地中央，高度为2.24m,排球在

空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.小乐在场地左侧边界处（距球网7m）练习发球，某次发球，

击球点的高度为2m,当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m.小乐同学建立了如图所示的平面

直角坐标系（1个单位长度表示1m）.

r球网

不

2.5m2.24m

!—1---------------------------------------►

Ox

（1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）.

（2）通过计算判断此球是否能够过网.若能过网，请进一步判断是否会出界.

（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网的

距离d的取值范围.（结果保留根号）

16.（2024.河南濮阳・二模）濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术.起源于春秋，兴盛于明清，发展于

现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图（1）,“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，

极具观赏性，深受观众好评.

如图（2）,演员从浪桥的旋转木梯点尸处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台4B

上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分.下面有一张平行于地面的保护网MN,以保护表演的演员安全.建

立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为（0,8）,OC=11,5m,CE=2m,EF=|&m,乙FEC=135°,

AB=lm.

图⑴图⑵

（1）当抛物线过点B,且与y轴交于点H（0,6）时，求出抛物线的表达式;

（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为（8,习，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段MN）的

长度至少为多少米;

（3）设该抛物线的关系式为y=a/—8a无+c,抛射点尸不变，为保证演员表演时落在平台48上，请直

接写出a的取值范围.

17.(2024.河北邯郸•模拟预测)将小球(看作一点)以速度%(m/s)竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐

减少直至0,此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数解析式为y=at2+

Vit(a丰0),若上升的初始速度%=8m/s,且当t=1时，小球达到最大高度.

(1)求小球上升的高度y与时间t的函数关系式(不必写范围)，并写出小球上升的最大高度；

(2)向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为发现小球运动的路线为一抛物

线，其相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数关系式与(1)中的解析式相同.在如图所示的平面直角

坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离.

①若=4m/s,当±=凯寸，小球的坐标为，小球上升的最高点坐标为；

②在①的条件下求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离比之间的函数关系式；

③在小球的正前方的墙上有一高1m的小窗户PQ,其上沿P的坐标为(4,3),若小球恰好能从窗户中穿过(不

包括恰好击中点P,Q,墙厚度不计)，请直接写出小球的水平速度外的取值范围.

18.（2024•山西•模拟预测）学科实践

问题情境：

某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在

校园科技节主题活动当天进行投石试验展示.

试验步骤：

第一步：如图，在操场上放置一块截面为A。。。的木板，该木板的水平宽度（。。=5米，竖直高度CD=0.5

米，将投石机固定在点。处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；

第二步：利用投石机将石块（石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落

地，其中点A到地面的高度04=0.3米，测得BC=0.7米.

试验数据：

科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点尸时离地面的高度PE为1.5米,

飞行的水平距离。E为4米.

问题解决：

已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以。为原点，OG所在直线为无轴，。4所在直线为y轴，建立平面

直角坐标系.

（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；

（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；

拓展应用：

（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆

用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？

专题22.6投球问题——二次函数的应用

♦典例分析

【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学

模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从y轴上的点

4(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6),落在x轴上的点C处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)某市男子实心球的得分标准如表:

得分10095908580767066605040302010

掷远(米)12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2

请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分;

(3)若抛物线经过〃(爪,乃)，可(爪+2,%)两点，抛物线在M,N之间的部分为图象H(包括N两点)，

图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为点求小的值.

【思路点拨】

(1)易得抛物线的顶点坐标为8(4,3.6),用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把4(0,2)的坐标代入可得二

次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式；

(2)取函数值为0,看球落地时光的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给表

格可判断应得分数；

2

(3)根据题意得出力=—0.1n?2+o.8?n+2,y2——0.1m+0.4m+3.2,进而根据zn的范围，分四种情况

讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解.

【解题过程】

(1)解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6),

设该抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.6(a丰0),

•••抛物线经过点力(0,2),

•••a(0-4)2+3.6=2,

a--0.1,

・,・该抛物线的解析式为：y=—0.1(%-4)2+3.6=-O.lx2+0.8%+2；

(2)解：当y=0时，—0.1(%—4)2+3.6=0,

解得：%】=10,x2=-2,

・・・点C在%轴的正半轴,

%2=一2舍去，

・•.X]=10,即小强在这次训练中的成绩为10米，

•・•9.6<10<11.2,

・•・小强的得分是90分；

(3)解：•・,抛物线经过两点N(m+2,y2)f

2

•••yr——0.1m+0.8m+2,

2

y2——0.1m+0.4m+3.2,

由题意可知，图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为g

・•.有以下四种情况：

即：(-0.1m2+0.4m+3.2)-(-0.1m2+0.8m+2)=",

解得：m=2.5,

这与THV2相矛盾，故舍去;

解得：m=4+四或m=4—V2,

・・,zn=4+&与24zn<3相矛盾，故舍去,

.・.771=4—V2;

解得：m=2+&或m=2—V2,

,・,租=2一2与34mV4相矛盾，故舍去，

m=2+V2；

④如图，当加之4时，y的值随工的值的增大而减小,

依题意，yi-y2=『

即：（一O.lzn?+o.8m+2）—（—0.1m2+0.4m+3.2）=

解得：m=3.5,

这与根之4相矛盾，故舍去；

综上所述：m=4-四或zn=2+V2.

♦学霸必刷

1.（24-25九年级上•全国・单元测试）如图，将一个小球从斜坡的点。处抛出，小球的抛出路线可以用抛物

线y=4x-]/刻画，斜坡可以用直线y=之久刻画.下列结论错误的是（）

A.小球洛地点与点0的水平距禺为7m

B.当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点。的水平距离为3m

C.小球与点0的水平距离超过4m时呈下降趋势

D.小球与斜坡的距离的最大值为

【思路点拨】

本题考查了二次函数的性质，令4%—=:久，解得%1=0,%2=7,即可判断A；把y=7.5代入y=4%—

得4%一]久2=7.5,求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点/的坐标为

（见4。一评），作ZB_L%轴交直线y=1%于则表示出结合二次函数的性质即可判断D,

熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.

【解题过程】

解：令4%一工%2=工％,解得久1=0,%2=7,

.••小球落地点与点O的水平距离为7m,故A正确，不符合题意;

把y=7.5代入y=4x--x2W4x--%2=7.5,

解得：=3,&=5,

・•・当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点。的水平距离为3m或5m,故B错误，符合题意;

Vy=4x—|x2=—1(x—4)2+8,

・・・抛物线的对称轴为直线％=4,

0,

2

当％>4时，y随工的增大而减小，

二小球与点。的水平距离超过4m时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；

设抛物线上一点4的坐标为(a,4a-fa?),

作ABlx轴交直线y=3x于B,则

8y/m

7

6

5

4

3

2

1

o

12345678^/m；

...111,71249

・・AnB=4a—7CL—CL=—7CLH—CL=—7

22222+丁

1

—2<0,

...当a=：时，4B有最大值，最大值为日,

小球与斜坡的距离的最大值为?m,故D正确，不符合题意;

8

故选：B.

2.(2024•辽宁鞍山.二模)如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在2

处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一

次着地前抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大

高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m,高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，若

要弹力球从B点弹起后落入筐内，则几的值可以是()

【思路点拨】

本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题

的关键，根据点力的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点8的坐标，再根据2处着地后弹起的

最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物

线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为0.5m,可求出当弹力球恰好砸中筐的最左

端、最右端时，n的值，进而得到n的取值范围，从而得到答案.

【解题过程】

解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=a(x-2尸+2,且过点力(0,1),代入解析式中得:

1=a(0-2/+2,

•*.CL=，

4

解析式为：y=—((%—2)2+2,

当尤=2时，y的最大值为2,

令y=0,则一：(X-2)2+2=0,

解得：%!=2+2&或%2=2-2&(舍去)，

.*.B(2+2V2,0),

­：B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，

,其最大高度为：2x：=l(m),

•.•弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，

设处着地后弹起的抛物线解析式为：y^-^x-hY+1,

将点B(2+2/,0)代入该解析式得：0=-：(2+2/-/1)2+1,

解得：h=2V2+4或九=2企(舍去)，

.♦•该抛物线的解析式为：y=-J(x-2V2-4)2+l,

二对称轴为：%=2V2+4,

:点B的坐标为(2+2或，0),则点C的坐标为(2a+6,0),

:圆柱形的高为0.5m,

当y=0.5时，则一式％-2夜-4)2+1=08,

解得：久=4+3&或x=4+V^(舍去)，

/.当弹力球恰好砸中筐的最左端时，n=4+3V2,

:筐的底面半径为0.5m,直径为1m,,

当弹力球恰好砸中筐的最右端时，几=4+3应—1=3+3V2,

3+3A/2<n<4+3V2,

选项B,n=8满足，

故选：D.

3.(23-24九年级上•河北邢台・期中)如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离,

当弹跳球以某种特定的角度从点P(0,l)处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线3其最高点的坐标为(4,5).弹

跳球落到斜面上的点4处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线U,且开口大小和方向均与L相同，但最大高

度只是抛物线L最大高度的|.

(2)若点4与点P的高度相同，且点4在抛物线17的对称轴的右侧，则抛物线//的对称轴为直线.

【思路点拨】

(1)设抛物线L的解析式为y=a(x—九1)2+灯(a40),由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5),抛物线

经过点P(0,l),待定系数法求解析式即可求解.

(2)设抛物线U的解析式为y=爪(％-八2)2+6，由对称性可得点4(8,1),由抛物线U,且开口大小和方向

均与L相同，但最大高度只是抛物线Z最大高度的|，可得m=-[,fc2=|x5=2,则y=-；0-％2)2+2,

将点力(8,1)代入y=h2y+2,即可求解.

【解题过程】

解：设抛物线L的解析式为y=a(x—/ij2+七(a40).

由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5),

y=a(x-4)2+5(a*0).

••,该抛物线经过点P(0,l),

.­-1=a(0-4)2+5

解之，得a=-

4

11

y=——(X—4)2+5=--%2+2%+1

4k74

故答案为：y=-J/+2%+l；

4

2

(2)设抛物线Z/的解析式为y=m(x-ft2)+k2

若点4与点P的高度相同，

则点力与点P关于直线x=4对称，

二点力(8,1),

••.抛物线L的解析式为y=-4/+5,

•••最高点的高度为5,

•••抛物线L',且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的|,

则m七=2x5=2,

45

=~2(x-电)2+2,

将点4(8,1)代入可得1=—(8—九2)2+2,

解得：电=10或6,

V/i2<8,

h2=6

即抛物线V的对称轴为直线久=6,

故答案为：x=6.

4.(23-24九年级上.浙江湖州.期末)如图，乒乓球桌桌面是长ZB=2.7m,宽AD=1.5m的矩形，E,F分

别是48和CD的中点，在E,F处设置高HE=0.15m的拦网.一次运动员在40端发球，在P点击打乒乓球后

经过桌面。点反弹后的运行路径近似二次项系数a=-?的抛物线的一部分.已知本次发球反弹点。在到桌

面底边4。的距离为0.1m,到桌面侧边48的距离为0.1m处.若乒乓球沿着正前方飞行(垂直于BC),此时

球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m,则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为m；若乒

乓球运行轨迹不变，飞行方向从。点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离BC为0.2m的Q点处，此时QC的长度

为m.

①如图，以点。为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得/(1.25,0.25),利用待定系数法求出抛物线解析

式，再求出点Q横坐标即可求解；

②由题意可得Q(2.4,0),由y。=yQ=0得到点。和点Q关于抛物线的对称轴对称，即Q点距力B也是0.1m,BJ=

0.1m,进而得到C/=BC—B/=1.4m,由勾股定理即可求出QC的长；

本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二

次函数解析式是解题的关键.

【解题过程】

解：①如图，以点。为原点建立平面直角坐标系，

Xj=1.35—0.1=1.25,yi=0.15+0.1=0.25,

设抛物线的解析式为y=+法+的把(0,0),(1.25,0.25)代入得,

(0=0+0+c

10.25=--x1.252+1.25b+c'

I27

解得F=s,

lc=0

.♦•抛物线的解析式为y=-/一+叠x,

把y<?=o代入得，一熬久=°，

解得%1=0(不合，舍去)，％2=£，

・13

•，XQ—三，

.••落点Q到拦网EF的距离为£一1.25=1.35m,

故答案为：1.35；

②由题意可得，xQ=2.7-0.1-0.2=2.4,

•••Q(2.4,0),

"-"yo=y(?=o>

，点。和点Q关于抛物线的对称轴对称，

；.Q点距2B也是0.1m,

:・QJ=0.2m,BJ=0.1m,

・•・CJ=BC-BJ=1.5-0.1=1.4m,

CQ=jQ/2+c/2=Vo.22+1.42=V2m,

故答案为：V2.

5.(2024・贵州贵阳•一模)小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线,

以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y(m)

与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-+%+如

8

(1)求C的值；

(2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度；

(3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，己知小亮跳起后，手离地面的最大高度为=

2.8m,则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离.

【思路点拨】

本题考查了二次函数的实际应用.

(1)将点尸的坐标代入y=—J/+x+c,即可求出c的值；

8

(2)先得出该抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可解答；

(3)求出y=2.8时x的值，结合“在下落过程中接住球”，即可解答.

【解题过程】

(1)解：由题意得点尸的坐标为(0,1.8),

将P(0,1,8)代入y=--%2+x+c得c=1.8.

8

(2)解：由(1)知c=1.8,

y=-^x2+x+1.8=—^(x—4)2+3.8,

.•.当x=4时，y有最大值3.8,

...篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.8m.

(3)解：当y=2.8时，2.8=—工/+%+1.8,

8

解得：勺=4+2V2,X2=4-2V2,

V4-2V2<4<4+2V2,且在下落过程中接球，

x=4+2V2,

在球下落过程中小亮离小明的距离至少（4+2/）米才能顺利接住球.

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强.海豚表演是

武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一.在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路

线可以近似看成抛物线的一部分.如图，在某次训练中以海豚起跳点。为原点，以O与海豚落水点所在的

直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系.海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳

点。的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=a/+2x,海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运

动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m,离水面高度为4.5m的小球.

图1图2

（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?

（2）求当海豚离水面的高度是日m时，距起跳点。的水平距离是多少m?

（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m,高OE=4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过

泡沫箱（不碰到），求点。横坐标”的取值范围.

【思路点拨】

本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键.

（1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可；

（2）令?=募，解一元二次方程方程即可；

（3）令y=4,解出久的值，然后借助图象解题即可.

【解题过程】

（1）由抛物线丫=+2%,过点（3,4.5）,

得4.5=9。+2X3

•••y=--%2+2x

6

1

=--(%2—12%+36)+6

6

1°

=—7(x—6)2+6

6

・•・海豚此次训练中离水面的最大高度是6m.

(2)依题意得：y=-工(％-6)2+6=至

63

解得%1=8,亚=4

答：海豚距起跳点0的水平距离是8m或4m.

(3)若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点尸或点E在抛物线上，

令y=4,贝！J—三工2+2%=4,

6

解得X1=6-2V3,X2=6+2V3,

当点F在抛物线上时，D点的横坐标w为12-2班.

当点£在抛物线上时，。点的横坐标"为6+2次.

n的取值范围是12-2V3<n<6+2遍.

7.(23-24九年级上•湖北武汉•阶段练习)为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球

机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离

球网水平距离3m的点。处，球从点。正上方1.15m的4处发出，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满

足关系式y=a(久-4)2+%.小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离3m(如图所示)，在头顶0.6m至

0.8m处称为有效击球高度.(球网高度不影响有效击球)

(1)若h=2.75,

①求y与久的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

②如果小明的身高为1.65m,试判断他能否在原地有效击球？

(2)如果小明的身高为1.75m,并且能在原地有效击球，直接写出a的取值范围.

【思路点拨】

本题考查了二次函数的应用；

(1)①利用待定系数法求解即可；②令x=6,求出有效击球点的高度即可求解；

(2)由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35WyW2.55,将点(6,2.35)、(6,2.55)分别代入解

析式求出a的值，即可得出取值范围；

熟练运用二次函数的性质解决实际问题是关键.

【解题过程】

(1)解：①当％=2.75时，y=a(x—4)2+2.75,

•••它过(0,1.15),

1.15=a(0—4产+2.75,

i

a=—R，

y=一久—4产+2.75；

②他能在原地有效击球；理由如下：

由⑴可知，y=—2(x—铲+2.75,

令x=6得y=—2(6—4/+2.75,

解得：y=2.35

2,35—1.65=0.7m,

•••0.6m<0.7m<0.8m

•••能在原地有效击球;

(2)由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35WyW2.55,

当抛物线y=a(x-4)2+八过点(0,1.15)和点(6,2.35)时

1.15=a(0一4>+八1

解得:CL——，

2.35=a(6—铲+八10

当抛物线y=a(x-4)2+八过点(0,1.15)和点(6,2.55)时

1.15=a(0-4>+八7

2.55=a(6—4尸+八野传，CL——60’

--7<,a<,---1

6010

a的取值范围：—<a<—

6010

8.(23-24九年级上•河北秦皇岛•期末)在平面直角坐标系中，从原点0向右上方沿抛物线L发出一个小球

P,当小球尸达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2.

尸；I

/•:;

/II

L/：!

/II

/II

/H

/I>I

/I•I

___/_________________一'0.3

Ox

,0.51

(1)求抛物线2的函数解析式；

(2)求小球尸在无轴上的落点坐标；

(3)在无轴上的线段4B处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知。4=3,且每个回收

箱的宽、高分别是0.5、0.3,当小球尸恰好能落入回收箱内(不含边缘)时，求竖直摆放的回收箱的个数.

【思路点拨】

本题考查了二次函数的应用.

(1)由题意知，抛物线乙的顶点坐标为(2,3),再利用待定系数法求解即可；

(2)对于y=—[(>-2¥+3,令y=0,求解一元二次方程，据此计算即可求解；

(3)由题意先求出，当x=3和x=3.5时，求得对应y的值，再设竖直摆放的回收箱有6个，根据题意得出

关于小的不等式组，求出山的整数解即可.

【解题过程】

(1)解：：从原点。向右上方沿抛物线L发出一个小球P,当小球尸达到最大高度3时，小球P移动的水

平距离为2,

；.顶点坐标为(2,3),

.•.设抛物线L对应的函数解析式为y=a(x-2尸+3(a<0),

把(0,0)代入得0=a•(0-2)2+3,

解得a=

4

抛物线L对应的函数解析式为y=--2)2+3；

(2)解：对于y=—3(x—2/+3,

令y=0,贝U0=一：0—2)2+3,

解得X1=0,x2=4,

小球P在x轴上的落点坐标为(4,0)；

(3)解：VOA=3,AB=0.5,

：.OB=3.5,对于y=-：(X-2)2+3,

当尤=3时，y=一|(3—2)2+3=*

当x=3.5时，y=—久3,5—2y+3=孩；

设竖直摆放的回收箱有小个，

C<也3血<?

解得II<m<y,

•••山是正整数，

可以是3或4或5或6或7,

答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个.

9.(2024•河南漠河•二模)2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕.中国女排在决赛

中以3:0击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠.爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：

排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探

究.

经实地测量可知，排球场地长为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.建立如图所示的平面直角坐标系，

4为击球点.记排球运动过程中距地面的竖直高度为y(单位：m),距击球点的水平距离为x(单位：m).

斗

球网

4,

9m'9m>1x

左边界右边界

小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表: