人教版高中数学选择性必修第一册期末复习：《圆的方程》讲义

圆的方程

一、圆的标准方程作用(参数方程结合几何意义)：

1.圆心为03切,半径是厂的圆的标准方程为.

方程能直接反映圆心和半径.

2.点M5，为)与圆的位置关系如何定(同一般方程一样处理)

(X。—a)2+(%—b)2

3.圆的标准方程中隐藏着的取值范围，常在求解代数式的取值范围时作隐藏条件,

如0—2)2+0+1)2=4,贝［jxe,ye.

4.参数方程：圆a-。)？+(y-b)2=户上任意一点均可设为尸(a+rcosd,6+sin，)，其中

0带有几何意义.

【注意】代数式中出现“。_。)2+(、_切2”类平方和向距离方向思考，方程中出现向圆

的方程方向思考。

例：x=j2-2y-2+3表示的图形是.图像上的点P到Q(-1,-2)距离的最

大值最小值分别为：.【非等价变形即为此类问题的坑】

二、一般方程及命题方向：

圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)其中圆心为

半径为.

特点：⑴W的系数；(2)不含；(3).

1.点P(5a+1,12")在圆(x-1)?+V=1的内部，则。的取值范围为

对比：(1)已知点(1,1)在圆/+/+依+a=0外，则实数。的取值范围为()

A.(-1,+co)

B.(-1,0)

C.(-1,0)U(4,-HX>)

D.(^o,0)U(4,+oo)

(2)圆Y+y2+"+a=°能否被y=x+l平分？

(3)圆/+y2+办+0=°上是否存在两点M,N关于直线y=X+l对称？

2,已知。€氏，方程"+(“+2)/+以+8>+5。=。表示圆,则圆心坐标是，半

径是.

3.已知A(-2,-2),8(-2,6),C(4,-2)三点，点产在圆尤?+尸=4上运动，则

|PAF+|PB|2+|PC|2的最大值是()

A.144B.88

C.72D.32

4(多)设有一组圆CM(X-W+(y-左f=4(AeR),下列命题正确的是()

A.不论A如何变化，圆心C始终在一条直线上

B.所有圆Q均不经过点(3,0)

C.经过点(2,2)的圆G有且只有一个

D.所有圆的面积均为4

5.（多）设有一组圆Q:犬+9一2次一26+左2—i=oWeR）,下列命题正确的是（）

A.不论上如何变化，圆心6始终在一条直线上

B.若点（3,2）在圆Q的内部则Ze（l,9）

C.若圆CK的半径为碗，则发=±7

D.若圆最上恰有两点到原点的距离为1,则％4-20,0）（0,20）

6.（多）已知圆阳的一般方程为/+/+6工+8/=0,则下列说法正确的是（）

A.圆V的半径为4

B.圆阳关于直线％-y-1=。对称

C.点（-6,1）在圆加外

D.实数x,y满足圆阳的方程，则J（x-3『+（y-4）2的最小值是5

7.（多）已知点40,3）,8（1,1）,且点。在圆C:（X-2）2+V=4上运动，则下列结论正确

的是

A.|姑|的最大值为而+2

B.1产川+1尸的最小值为5

C.|心-归3|的最大值为世

D.当最大时，|上4|=3

8.点尸在圆。：(》-2)2+丁=4上运动，乂(3,3)

(1)|PM|的最大值，最小值，

(2)J(X+2)2+(y+3)2的最大值和最小值；

(3)x?++2x+2y+5

(4)x+y的最大值和最小值

(5)x2+2y2+2x+51对比3/4/5,如何分类处理】

(6)=范围【更多形式求法借助下节直线与圆位置关系处理】

x+2

(7)。在y=x+4上运动，|PQ|+|Q叫的最小值

X(8)※。(―2,0),W闾+/加|最小值

9.设4(2,0),8(0.4).若对于直线/:x-y+加=0上的任意一点尸，都有

|PA|2+|PB|2>18,则实数m的取值范围为()

A.(1+20,+8)B.(1-20,1+20)

C.(-oo,l-2V2)D.(-00,1-272)(1+20,+8)

10.点（―）在曲线、=甲？-2上，贝那一4y+4］的取值范围为（）

11.已知实数占、巧、四、％满足片+y；=l,xf+yf=4,尤/+%%=0,则占+%的

最大值为

12.已知点A（-2,0）,3（2,0）,点Af是直线丫=自+3上任意一点，且44MB<90。，则实

数上的取值范围是—.

三、数形结合求方程：【隐藏着的圆通过几何关系和代数运算寻找。尤其是在解决与动

点有关的距离、斜率（代数式）、截距等问题中，先确定动点的轨迹，再转化为求轨迹

上的点相关问题】

1.已知某圆经过人一2,2）,网6，°）两点，圆心”在直线2尤7=1上，求该圆的方

程.【多种方法】

2.在平面直角坐标系中，从点P（-3,2）向直线区-y-2-左=0作垂线，垂足为M则点

。（2,4）与点"的距离的最小值是（）

3.已知两定点片（-1,0）和鸟（3,0）,求到点［和外的距离的平方和是16的点的轨迹方程.

4.已知两定点"（T'°）和E（3°）,pqpg=8,求p的轨迹方程

5.—MC的顶点8,C的坐标分别是(-3,-1),(2,1),顶点/在圆

x2+y2+4x-8y+16=0上运动，求一ABC的重心G的轨迹方程.

6.已知AeR,动直线点+y_l=O和动直线无_份_%+3=0交于点尸(x,y),贝!]

7(X-2)2+/的取值范围为.

7.-M:(X-2)2+/=16,过点玖1,3)两条互相垂直的直线与圆依次交于ABCD,

该四点是否共圆

【练习】

1.已知4(1,1)、3(2,0)两定点.若动点M满足朋A.M3=2，求动点M的轨迹方程.

2.如图所示，设圆C的圆心C在直线/：2x-7y+8=0上，且A(6,0),5。，5)都是圆

C上的点，求圆的标准方程.

3.已知x和y满足（x+iy+V=；,试求：

（1）f+『的最值；

（2）%+y的最值.

4.已知圆C：（x_2>+（yT）2=5及点3（0,2）,设P,0分别是直线/：彳+/+2=0和圆c

上的动点，则『'田'。的最小值为

四、新高考背景下的阿氏圆应用：【化折为直思想】

PAI

阿氏圆：已知平面上两点A3,则所有满足渴=4（4>0,Nwl）的点尸的轨迹是一

个以定比2:1内分和外分线段AB的两个分点连线为直径的圆，圆心与A,B三点共线。

【定理】设P（。,y）、正（一c,0）、B_（c,0）若="4>0且

A#1）则点P的轨迹方程是b一与士|c）"+y2=

\A-17

（资丁，其轨迹是以（冬土9,0）为圆心，『=品为

xx

A—17A—1/A—1

半径的圆

,则「回+号的最小值

1.点P是圆好+产=25上动点，4(1