人教版高中数学必修二同步学习讲义：空间直角坐标系（含答案）

圆与方程

空间直角坐标系

4.3.1空间直角坐标系

【学习目标】1.了解空间直角坐标系的建系方式2掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空

间直角坐标系中求出点的坐标.

ET问题导学

知识点空间直角坐标系

思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中，需要一对有序

实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？

答案三个.

思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？

答案空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直.

梳理(1)空间直角坐标系及相关概念

①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，

且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

②相关概念：点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫

做坐标平面，分别称为xOv平面、vOz平面、zOx平面.

(2)右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向无轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指

向交^的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

(3)空间一点的坐标

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此

空间直角坐标系中的坐标，记作直(x,y,z),其中工叫做点〃的横坐标，上叫做点M的纵坐

标，2叫做点〃的竖坐标.

2题型探究

类型一确定空间中点的坐标

例1已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5^2,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如

图，写出各顶点的坐标.

解因为|尸。|=、|「西2—|。砰=1169—25=12,

所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12),

A警,-半。),B呼,斗,0),

G平,半。),心乎’-嗜

引申探究

i.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.

解各顶点的坐标分别为尸(0,0,12),A(5,0,0),8(0,5,0),C(—5,0,0),D(0,-5,0).

2,若本例中的条件变为“正四棱锥尸一ABC。的底面边长为4,侧棱长为10”，试建立适当

的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.

解因为正四棱锥产一A8C。的底面边长为4,侧棱长为10,所以正四棱锥的高为2平，以

正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC,A8所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示

的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为4(2,-2,0),B(2,2,0),C(—2,2,0),0(-

2,-2,0),P(0,0,2^23).

反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.

②充分利用几何图形的对称性.

(2)求某点M的坐标的方法

作垂直平面xOy,垂足,求的横坐标工,纵坐标以即点M的横坐标x,纵坐

标y,再求M点在z轴上射影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点坐标(%,y,

z).

(3)坐标平面上的点的坐标特征

平面上的点的竖坐标为0,即(x,y,0).

yOz平面上的点的横坐标为0,即(0,y,z).

xOz平面上的点的纵坐标为0,即(x,0,z).

(4)坐标轴上的点的坐标特征

元轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(xQ0).

y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,y0).

z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).

跟踪训练1在棱长为1的正方体ABC。一A/1GO1中，E、/分别是。1。、BD的中点，G

在棱CD上，S.\CG\^CD\,H为GG的中点，试建立适当的坐标系，写出E、歹、G、X的

坐标.

解建立如图所示的空间直角坐标系.

点E在z轴上，它的横坐标X、纵坐标y均为0,而E为。A的中点，故E点坐标为(0,0,3.

过F作尸MU。、FN±DC,由平面几何知识，得|FM=3，I网=g，故尸点坐标为有1

0).

33

点G在y轴上，其横坐标X、竖坐标z均为0,又|GD|=a，故G点坐标为(0,不。)・

7

过H作HKLCG于K,由于〃为GG的中点，故K为CG的中点，故点”的坐标为(0,市

O

2)-

类型二已知点的坐标确定点的位置

例2在空间直角坐标系Oxyz中，作出点尸(5,4,6).

角军方法——

第一步：从原点出发沿X轴正方向移动5个单位.第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4

个单位.第三步：沿与Z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.

户(5,4,6)

<

6

方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点。处的三条棱分别在尤轴，y轴，Z轴

的正半轴上，且棱长分别为5,4,6,则长方体与顶点。相对的顶点即为所求点P.

反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法

(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.

(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置.

(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.

跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()

A.y轴上B.xOy平面上

C.尤Oz平面上D.yOz平面上

答案C

解析：点(2,0,3)的纵坐标为0,.•.此点是xO?平面上的点，故选C.

类型三空间中点的对称问题

命题角度1关于点和线的对称问题

例3(1)在空间直角坐标系中，点P(—2,1,4)关于点〃(2,—1,—4)对称的点尸3的坐标是()

A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)

C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)

(2)已知点A(—3,l,-4),则点A关于无轴的对称点的坐标为()

A.(—3,—1,4)B.(—3,—1,—4)

C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)

答案(1)C(2)A

解析(1)根据题意知，M为线段的中点，设尸3任，y,z),由中点坐标公式，可得x=2X2

一(—2)=6,y—2X(—1)—1=—3,z—2X(—4)—4——12,；.尸3(6,—3,—12).故选C.

(2):,在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相

反数，又点4(-3,1,—4),.,.点A关于x轴对称的点的坐标是(一3,—1,4).故选A.

反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题.

(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对

称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数.

跟踪训练3在空间直角坐标系中，尸(2,3,4),2(-2,3.-4)两点的位置关于对称.

答案y轴

命题角度2关于平面对称

例4在空间直角坐标系中，点P(l,3,—5)关于平面xOy对称的点的坐标是()

A.(—1,3,-5)B.(1,—3,5)

C.(1,3,5)D.(-1,-3,5)

答案C

解析.•,两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，，点P(l,3,

—5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5).故选C.

反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于

“谁”对称，“谁”不变，如本题，点尸关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，

竖坐标变为其相反数.

跟踪训练4点(1,a,6)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2,c)和(d,—2,一

3),则a,b,c,d的值分别是.

答案2,3,—3,1

当堂训练

1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是()

A.-^a2+Z?2B.\a\

C.\b\D.|c|

答案D

解析点尸在尤Oy平面的射影的坐标是P'(a,b,0),所以|PP'|=|c|.

2.以棱长为1的正方体ABCO—AbBiGd的棱AB,AD,所在的直线为坐标轴，建立空

间直角坐标系，如图所示，则正方形A413/的对角线的交点坐标为()

X

A.(0,(2J0，2)

C.g，0)D.43,2)

答案B

解析由题图得A(0,0,0),Bi(lQl),

所以对角线的交点即为ABi的中点，

由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(3，0,1).

3.如图所示，点P在无轴的正半轴上，且|。尸'|=2,点尸在尤Oz平面内，且垂直于无轴,

1Ppi=1,则点尸的坐标是.

答案(2,0,1)

4.点尸(1,1,1)关于xOy平面的对称点尸1的坐标为；点尸1关于z轴的对称点尸2的坐标

为.

答案(1,1,-1)(―1,-1,1)

解析点关于xOy平面的对称点Pi的坐标为(1,1,一1),点Pi关于z轴的对称点P2

的坐标为(一1,-1,1).

5.如图，正四棱柱ABC。一底面为正方形的直棱柱)中，|AAi|=2|45|=4,点E在

CCi上且|GE|=3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点8,C,E,4的坐标.

Dt_______Ci

解以点。为坐标原点，射线D4,DC,为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的

空间直角坐标系Dxyz.

依题设知，5(2,2,0),C(0,2,0),£(0,2,1),4(2,0,4).

L规律与方法--------------------------------1

1.空间中确定点M的坐标的三种方法

(1)过点M作MA/i垂直于平面xOy,垂足为Mi,求出Mi的横坐标和纵坐标，再由射线MiM

的指向和线段的长度确定竖坐标.

(2)构造以为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M

的坐标.

(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这

一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标.

2.求空间对称点的规律方法

(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能

准确求解.

(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.

课时作业

一、选择题

1.如图所示，正方体ABC。-的棱长为1,则点A的坐标是()

A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)

答案C

解析点S到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1),故选C.

2.在空间直角坐标系中，己知点尸(1,正，小),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q

的坐标为()

A.(0,6，0)B.(0,y[2,小)

C.(1,0,小)D.(1,&0)

答案B

3.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、0(—2,-3,-4)两点的位置关系是()

A.关于x轴对称

B.关于yOz平面对称

C.关于坐标原点对称

D.以上都不对

答案C

解析当三个坐标均相反时，两点关于原点对称.

4.若点P(—4,—2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则

c与e的和为()

A.7B.-7C.-1D.1

答案D

解析：点P(—4,—2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(-4,—2,—3),(4,

—2,—3),

.*.c=­3,e=4,则c+e=l.

5.设yGR,则点尸(1,y,2)的集合为()

A.垂直于xOz平面的一条直线

B.平行于xOz平面的一条直线

C.垂直于y轴的一个平面

D.平行于y轴的一个平面

答案A

解析点尸(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的

意义知，点P(l,y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.

6.如图，在正方体ABC。一A'B'CD'中，棱长为1,IBPeglB。'则尸点的坐标为()

A©？I)

呜?D停y3)

答案D

解析连接8。，点尸在x“y平面的射影落在8。上,

'：\BP\=^BD'|,：.Px=Py=^,Pz=1,

.(221、

故Rj,3-3)-

二、填空题

7.在空间直角坐标系中，自点P(—4,—2,3)引了轴的垂线，则垂足的坐标为.

答案(一4,0,0)

解析过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中。为点P在x轴上的

分量，所以垂足的坐标为(一4,0,0).

8.已知平行四边形A8CD的两个顶点的坐标分别为A(2,-3,—5),8(—1,3,2),对角线的

交点是E(4,-1,7),则C,。的坐标分别为.

答案(6,1,19),(9,-5,12)

解析由题意知，E为AC与8。的中点，利用中点坐标公式，可得C(6,l,19),0(9,-5,12).

9.已知点4,2,3)关于坐标原点的对称点为4,4关于xOz平面的对称点为4关于z

轴的对称点为4，则线段AA3的中点M的坐标为.

答案(-4,0,0)

解析由题意知4(4,—2,—3),则Ai关于太02平面的对称点人2的坐标为(4,2,—3),则

人2关于z轴的对称点As的坐标为(一4,—2,—3).由中点坐标公式，得Af(—4,0,0).

10.如图所示的是棱长为3a的正方体OA8C—O'A'B'C'，点朋'在夕C上，且|C'M\

=2\MB'I，以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为.

答案(2a,3a,3a)

解析：|C'M=2|MB'I，

2

：.\C'M=］由'c\=2a,

：.点M的坐标为(2a,3a,3a).

11.在如图所示的空间直角坐标系。孙z中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),

(1,2,1),(2,2,2),给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为

、.(填序号)

答案④②

解析由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2),

(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在

底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.

三、解答题

12.如图，在长方体ABCD—AiBCid中，|42|=4,|AD|=3,|A4i|=5,N为棱CG的中点，

分别以AB,AD,A4i所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

(1)求点A,B,C,D,Ai，Bi，Ci，Oi的坐标；

(2)求点N的坐标.

解(1)由题意知，A(0,0,0).

由于点2在x轴的正半轴上，且AB=4,

所以2(4,0,0).

同理可得0(030),41(0,0,5).

由于点C在坐标平面尤Oy内，ILBC1.AB,CD1AD,

所以C(4,3,0).

同理可得81(4,0,5),01(0,3,5).

与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且CC1=A41=5,所以Cl(4,3,5).

⑵由⑴知,C(4,3,0),G(4,3,5),

则CC1的中点N的坐标为(4,3,|).

13.如图，在长方体ABCD—AiBiCiDi中,\AD\=\AAi\=2,\AB\=4,DEA.AC,垂足为E,

求点E的坐标.

解如图，以点。为原点，以D4,DC,。口所在