三角函数及其图象与性质的应用-2020-2024年高考数学试题分类汇编（解析版）

与题09三会备熬及其囹蒙鸟辘质的盛用

五年考情­探规律

考点五年考情(2020-2024)命题趋势

考点三角函数概

012024甲卷

终边角问题以及同角三角函

念2023北京卷

2021甲卷北京卷数关系是高考的一个方向

2020IIIIII卷

2024III卷

考点02三角函数恒三角函数恒等变换是高考数

2023III卷

等变形学高频考点，常考是二倍角公

2022II卷

式的应用

2021I卷

2024北京天津III甲卷

考点03三角函数图2023甲乙卷三角函数图象伸缩变换及图

像及性质2022北京甲I卷象定区间最值极值问题是高

2021北京甲I卷考的重难点

2020IIII卷

2023III卷三角函数中3的范围问题三

考点04三角函数综

2022甲卷角函数综合性质应用的重难

合应用

2020北京卷点

分考点二精准练工

考点01三角函数概念

1.(2020年高考课标n卷理科•第2题)若a为第四象限角，则)

A.cos2ot>0B.cos2<x<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

37r

【解析】方法一：由a为第四象限角，可得—+2kji<a<2兀+2k兀,keZ,

2

所以3»+4左乃<2。<4»+4左匹左wZ

此时2。的终边落在第三、四象限及丁轴的非正半轴上，所以sin2av0

故选：D.

方法二：当。=——时，cos2a=cos>0,选项B错误;

6

712n

当1=----时，cos2a-cos<0,选项A错误;

3

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0f则sin2a=2sinacosa<0,选项C错误，选项D正

确；故选：D.

2.（2020年高考课标I卷）已知。£（0,兀），且3cos2a—8cosa=5,则sine=)

21

B.-C.一D.

A-T33

【答案】A

【解析】3cos2a—8cosa=5,得6cos?a—8cosa—8=0，

2

即3cos2a—4cosa-4=0，解得cos。=一§或cosa=2(舍去),

又aw(0,TT),sin.a—Jl-cos2a=g.故选：A.

cosa

3.(2021年高考全国甲卷)若ae0,',tan2a=----：---,贝ijtana二)

2-sincr

V15

AC.V5D.

-fVr

cosn

【答案】A【解析】・.・tan2a=----------

2-sina

入sin2a2sinacosacosa

「.tan2a=--------=------------——=----------,

cos2al-2sina2-sin。

•.•tzel0,^j,.-.cosa^O,二2sin。1，解得sina=工,

l-2sin2a2-sina4

--vl5sinaA/15

r.cosa=Jl-sina=-----，/.tana=-------=----故选：AA.

4cosa15

兀

4.(2020年高考课标HI)已知2tan。-tan(夕+—)=7,则tan。二()

4

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】t.t2tan^-tanf^+―|=7,/.2tan6^--an^+-=7,

<4J1一tan。

令，=tane,/wl,则2%--------=7,整理得产—期+4=0,解得，=2,即tan6=2.故选：D.

1-t

5.(2024•全国•高考甲卷)已知一——=&,贝i]tan[a+：]=()

cosa-sina(4)

A.2A/3+1B.26-IC.LD.1-73

2

【答案】B

ccqa

【分析】先将一出”—弦化切求得tan(z,再根据两角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【详解】因为———=6,

cosa-sina

所以^二小=1一#所以ta"a+J震故迄B.

二填空

___-IT-rr__

6.(2021高考北京・)若点A(cos6>,sin6>)关于》轴对称点为B(cos(0+-),sin(0+-))，写出夕的一个取值为

66

【答案】石■(满足"三+即可)

【解析】A(cosO,sin。)与8cos^+^,sin^+^关于y轴对称，即48+彳关于y轴对称，

77、冗5%

0-\---6=7i+2k7c.keZ9则。=左;TH--------,keZ,当左=0时，可取夕的一个值为——.

61212

57rSTT

故答案为：——(满足。=左〃+——水€2即可).

1212

7.(2023年北京卷)已知命题P：若a,尸为第一象限角，且。〉，，贝ijtan(z>tan力.能说明p为假命题的

一组(Z,4的值为«=,P=.

_,,>_、9兀兀

【答案】①.丁②.二

43

【解析】因为/(x)=tanx在(0,3上单调递增，若。<%<4<5,则tangvtan片，

取a=2尢兀+4,夕=2须+儿温,%2eZ,

则tano=tan(2勺兀+%)=tan%,tan/?=tan(2k27i+4)=tan4，BPtantz<tan/?,

令k、>k2,则。_/?=(2勺兀+4)_(26兀+4)=2(/_左2)兀+(%_4)，

■jr3兀

因为2(左i一左2)兀之<a0-jB0<0f则a—/?=2(^-^2)7i+(cr0-/?0)>—>0,

即左,左2，则。〉月.

jrjrQjr7TQJTjr

不妨取匕=1&=。,4=:&=，即。=彳，Q=§满足题意.故答案为：y；-.

考点02三角函数恒等变形

1(2024•全国・高考［卷)已知cos(a+£)=机,tanatan^=2,则cos(a-£)=()

/77ni

A.-3mB.——C.—D.3m

33

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求cosacos尸,sinasinP的关系，结合tanatan#的值可求前者，故可求

cos(a-0的直

【详解】因为cos(a+/7)=M,所以cosacos尸—sinasin/7=M,

JfjJtancrtan/?=2,所以sinosin/?=2coscrcos/?,

故cosacos尸一2cosacos/?=帆即cosacosP=-m,

从而sinasin/7=-2m,故cos(a-/)=-3根，

故选：A.

2.(2023年新课标全国I卷•第8题)已知sin(a—/?)=',cosasin/?=l,贝|cos(2a+27?)=().

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

【答案】B

【解析】因为sin(o—，)=sinicos/?—cosisin，=，,而cosasin/?=’,因止匕sinacos/?=，,

362

2

则sin(cr+/?)=sinacosp+cosasinp=—,

21

所以cos(2o+2£)=cos2(o+/)=l-2sin2(a+尸)=l-2x(§)2=g.故选：B

2.(2023年新课标全国II卷。已知a锐角，cosa=3L贝|sin4=

).

42

A3—^/5-1+^/^r3-^/^

A.---------o.-----------C•---------

884

【答案】D

解析:因为cosa=l—2sin2q=¥l5,而a为锐角，

24

2.（2021年新高考I卷）若tand=—2,贝汁吧四上吧冽=

()

sin0+cosd

【答案】C

解析:将式子进行齐次化处理得:

sin9(1+sin29)sin^^sin2^+cos2^+2sin0cos0)

=sin9(sine+cos6)

sin0+cos3sin3+cos0

sin6>(sin^+cos6>)_tai？9+tan。_4—2_2故选Q

sin2+cos201+tan201+45,

5.（2022新高考全国II卷・）若sin（。+夕）+cos（cr+尸）=2^cosa-\--sin",则

A.tan(<7-7?)=lB.tan(o+月)=1

Ctan(a-A)=-1D.tan(a+£)=-l

【答案】C

【解析】由已知得：sinacos0+cosasinf3+cosacos万一sinasin0=2(cosa-sina)sin分，

即：sinacos(3-cosasin/?+cosacos»+sinasin力=0,

即：sin(6z-/?)+cos(cif-/?)=0所以tan(a-/)=—1,故选：C

二填空

6.(2024•全国・高考H卷)已知。为第一象限角，力为第三象限角，tana+tan尸=4,tanatan分=0+1,

则sin（a+B）=.

【答案】-述

3

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan（&+尸）=-2及，再缩小1+4的范围，最后结合同角的平

方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

/tana+tan3

【详解】法一:由题意得3(a+⑶

因为a£2kit,2kn+—2rmi+71,2rmi+—k,mwZ,

贝lja+4w《2机+2左)兀+兀,(2m+2左)兀+2兀),左,加£Z,

又因为tan(a+/?)=-2V^<0,

贝((兀+(左)兀+兀)，

lja+4£2"/+2%)1:2"2+22k,meZ,则sin(a+y0)<O,

则:北北卜一20，联立sin2(a+0)+cos2(a+0)=l,解得sin(a+0=-平.

?>

法二：因为a为第一象限角，仅为第三象限角，则cosa>0,cos£<0,

cosa1ncos-1

cosa=/=■,=,cosp-/.。=/=,

Vsin2cr+cos2avl+tan2a^/sin2/3+cos2/?^/1+tan2/3

贝Usin(a+，)=sinacos(3+cosasin/?=cosacos0(tana+tan/?)

-4-4-42V2

=4cosacosP=/——]==一i=/=-----故答案为.

V1+tan26z^/l+tan2/7(tan6Z+tan/?)2+(tancrtan-1)2v42+23

2V2

~~T~

考点03三角函数图像及性质

1（2024•全国•高考I卷）当♦[0,2汨时,曲线丁=5皿无与y=的交点个数为（

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】画出两函数在[0,2可上的图象，根据图象即可求解

【详解】因为函数y=$也无的的最小正周期为7=2兀，

函数y=2sin，x-£]的最小正周期为T=y,

所以在xe[0,2可上函数y=2sin13x-?有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示:

由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C

2.（2024・北京・高考真题）设函数"%）=$也的3＞0）.已知/（菁）=-1,/（x2）=l,且卜-司的最小值为彳，

则0=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】由题意可知：耳为的最小值点，巧为的最大值点，

则归一引.即7=兀，且。＞0,所以。=二=2.故选：B.

I1/1mm22T

3.（2024・天津•高考真题）已知函数〃x）=sin3"+汕＞0）的最小正周期为右则在**的

最小值是（）

712兀2

【答案】A【详解】/（x）=sin3a)x+—=sin(3cox+7i)=-sin3(ox,由T=——=兀得@=一,

33G3

即/（X）=—sin2x,当xe—时，2xe-

画出〃x）=-sin2无图象，如下图，

由图可知，〃x）=-sin2x在上递减,

TT

4.（2024.全国.高考H卷）对于函数f（x）=sin2x和g（尤）=sin（2x-/，下列说法中正确的有（）

A./(x)与g(x)有相同的零点B.与g(x)有相同的最大值

C.Ax)与g(无)有相同的最小正周期D.Ax)与g(x)的图象有相同的对称轴

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=牛内eZ,即为了⑺零点，

令g(x)=sin(2x-f)=0,解得了="+1■，左eZ,即为g(x)零点，

428

显然/&)，g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(%)max=g(%)max=1，B选项正确；

C选项，根据周期公式，/(x),g(x)的周期均为2兀?=兀，C选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质,⑺的对称轴满足2x=祈+="+

224

g(x)的对称轴满足2》-工=加+二。》=幺+型，笈eZ,

4228

显然/(x)，g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC

5.(2023年全国乙卷)己知函数/(x)=sin(ox+e)在区间单调递增，直线x=4和x=交为函数

<63y63

y=/(x)的图像的两条相邻对称轴，则/[一ff]=()

A--TB-47D-f

【答案】D

【解析】因为/(%)=sin(0x+0)在区间

广广,T27r7C7C—.27r.

所以一=------=一，且①>0,则7=兀，w=—=2,

2362T

当％=—时，/(%)取得最小值，则2---(p—2kji—,keZ,

662

则°=2E—keZ,不妨取左=0,则/(x)=sin12x—g

6.(2023年全国甲卷)函数y=/(x)的图象由函数y=cos[2x+《J的图象向左平移g个单位长度得至IJ,

则y=/（x）的图象与直线y=gx—g的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为y=cos|^2x+^向左平移;个单位所得函数为

71

y=cos2卜+仁+—=cos2%+g)=—sin2x,所以/(x)二一sin2x,

6

而,显然过与（1,0）两点,

一的大小关系,

2

所以由图可知，/（X）与y=gx—g的交点个数为3.故选：C.

7.（2021年新高考I卷-）下列区间中函数〃x)=7sin单调递增的区间是)

【答案】A

解析:因为函数〉=$也工的单调递增区间为124万-£,2左万+信eZ）,

717171

对于函数〃尤）=7sinx~~，由2kjr-—<x----<2左;r+左EZ),

26

JT2冗

解得2kji~—<x<2k兀eZ),

712万

取左=0,可得函数/（%）的一个单调递增区间为W'T

则喝.n2%7i27r

W'T，A选项满足条件，B不满足条件;

5TT8万

取左=1,可得函数/（X）的一个单调递增区间为T5T

3兀7i27r且若5万8乃7,2小5乃8兀

,CD选项均不满足条件，故选A.

W'7~3,~3T'T

jr

8.（2020年高考课标I卷）设函数/Cx）=cos（s+—）在［-兀㈤的图像大致如下图，则段）的最小正周期为

6

)

3兀

D.

~2

I47r7C）

将它代入函数〃尤）可得：cosl--—•«+—1=0

又1一票,0）是函数/（x）图象与x轴负半轴的第一个交点,

所以—也•◊+-=—工，解得：CD=-

9622

_2〃_2〃_4"

所以函数“X）的最小正周期为'=至=§=7故选：C

2

9.（2022高考北京卷・）已知函数/（x）=cos2%-sin2%,则()

ITjr\（7171\

（-于-7上单调递减B.在一“石上单调递增

C.Ax）在上单调递减D./*）在[?,葛）上单调递增

【答案】C解析:因为/(x)=cos2x-sin2x-cos2x.

JT7TTT/、I7171\

对于A选项，当---<%<----时，一兀<2x<------则/（X）在一5，-7上单调递增，A错;

263

,7171兀〜兀/、[7171\

对于B选项,当——<x<一时，——<2%<一,则/（力在-1，五上不单调，B错;

41226

对于C选项，当0<x<-时，0<2x<—,则/（%）在上单调递减，C对;

33\7

当？。考时，f<2x<g则/⑺在与高

对于D选项,上不单调，D错.故选,C.

3111

10.(2022年高考全国甲卷)已知。=一,Z?=cos—,c=4sin—,则)

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

cl「兀、

【解析】因为—=4tan—,因为当工£0,—,sinx<A:<tanx

b4I2J

iici

所以tan7“即/1,所以c>"设〃gos尤+寸-14(。收),

f'(x)=-smx+x>0,所以f(x)在(0,+8)单调递增，则f>/(0)=0，所以cos；-II>0,

所以。>々,所以。，故选：A

11.（2022新高考全国1卷・）记函数/（x）=sin[Gx+?]+b（G〉0）的最小正周期为T.若等<丁<»,且

y=『（x）的图象关于点中心对称，则/!（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

27r27r27r

【答案】A解析：由函数的最小正周期T满足一<T<7T,得——<——<71,解得2<。<3,

33co

又因为函数图象关于点（当,2〕对称，所以至。+2=左肛左eZ,且b=2,

I2）24

125571

所以①=---1—k,keZ,所以G=—,f(x)=sin—XH——+2,

63224

所以/（?=sin序+5>2=1.

故选：A

12.（2021高考北京・）函数/（x）=cosx-cos2x是)

A.奇函数，且最大值为2B.偶函数，且最大值为2

99

C.奇函数，且最大值为D.偶函数，且最大值为三

OO

【答案】D

【解析】由题意，/(-X)=cos(-x)-cos(-2%)=cos%-cos2x=/(%),所以该函数为偶函数,

Xy(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2^cos%--+—，

19

所以当cosx=—时，/（X）取最大值一.故选：D.

48

二填空

13.（2024.全国•高考甲卷）函数F（x）=sinx-gcosx在［0,可上的最大值是

【答案】2

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

［详解］/（x）=sinx->/3cosx=2sinfx-yj,当xe［0,7i］时，e

当=］时，即x=,时，*X）皿=2.

故答案为：2

14.（2024・北京・高考真题）在平面直角坐标系xOx中，角a与角夕均以。x为始边，它们的终边关于原点对

7T7T

称.若ae,贝I］cos"的最大值为

o5

【答案】-；/-0.5

【分析】首先得出乃=a+7T+2E«eZ,结合三角函数单调性即可求解最值.

【详解】由题意，=。+兀+2版,左wZ,从而cosp=cos（a+兀+2E）=-cosa,

TTTT,cos£的取值范围是一号,一£

因为ae,所以cosa的取值范围是

o5

TT47r1

当且仅当C=即夕=T+2gteZ时，cos/?取得最大值，且最大值为

故答案为：-亍

15.(2021年高考全国甲卷)已知函数/(x)=2cos3x+°)的部分图像如图所示，则满足条件

4万、

于(x)-于|J＞。的最小正整数X为

313TCTC3兀27r

【解析】由图可知一7=----------二——，即T=—=»,所以①二2；

41234co

TTTTTT(TT

由五点法可得2x—+夕=—,即夕二一一；所以/(x)=2cos2%-7

326V6

所以由小)-…彳))必)-匕))＞。可得…1或/⑴＜。;

因为/(1)=2COS〔2-%)＜2cosf---1=1,所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)＜0,即cos2x-2＜°，

解得左兀+二＜x＜左兀+」，左eZ,令人=0,可得匹＜无＜包，

3636

可得x的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/（x）<。，又/（2）=2cos[4—6J<0,符合题意，可

得x的最小正整数为2.故答案为：2.

16.（2020年高考课标III卷）关于函数«r）=sinxH-----有如下四个命题：

sinx

①Kx）的图像关于y轴对称.

②A尤）的图像关于原点对称.

7T

③/U）的图像关于直线x=5对称.

④/U）的最小值为2.

其中所有真命题的序号是.

【答案】②③

【解析】对于命题①，=g+2=：，=一1―2=一]，贝

\o/22k0722k6;

所以，函数/（司的图象不关于y轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数“X）的定义域为卜卜。丘水eZ},定义域关于原点对称,

/(-x)=sin(-x)+^=-sinx---=^sin.+--J=-/(x),

所以，函数/（x）的图象关于原点对称，命题②正确;

所以，函数/（X）的图象关于直线X=g对称，命题③正确；

对于命题④，当一;r<x<0时，sinx<0,则/（x）=sinx+一一<0<2,

sinx

命题④错误.故答案为：②③.

考点04三角函数综合应用

1.（2022年高考全国甲卷数学）设函数/（》）=sin在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则。的

取值范围是)

5身)5191381319

A.3'6jB.5C.D.

3T~6,366

【答案】C

jr/jrjr

【解析】依题意可得0>o，因为xw（o,/r）,所以0元+可€［至。乃+§

要使函数在区间（0,%）恰有三个极值点、两个零点，又l=$也》，xel1,3^1图象如下所示:

2.（2020北京高考.第10题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（万Day）.历史上，求圆周率乃的方

法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔・卡西的方法是：当正整数”充分大时，计算单

位圆的内接正6”边形的周长和外切正6〃边形（各边均与圆相切的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作

为2万的近似值.按照阿尔・卡西的方法，万的近似值的表达式是（）.

.1.30°,30°）z（.30°

A.3川sin----Ftan-----B.6川sin------Ftan

nnJI〃

".60°60°1J.60°

C.3〃sm----1-tan-----D.6〃sin-----1-tar

nnJI〃

【答案】A

【解析】单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆周角为*360°=630°-,每条边长为2sin3工0°,

nx6nn

所以，单位圆的内接正6〃边形的周长为⑵sin工30°，

n

单位圆的外切正6〃边形的每条边长为2tan二,其周长为12九tan二,

nn

--30°s30°

12〃sin-----b12几tan-----(30°

nn/.30°30。1贝|%=3川sin----+tan.故选：

二.二川A.

2%=6sin------1-tan----In

2Vnn)

二填空

3.（2023年新课标全国I卷）己知函数/■（x）=cos0x—1（。>0）在区间[0,2可有且仅有3个零点，则。的

取值范围是.

【答案】[2,3）

【解析】因为0WxW2兀，所以0W@xW2丽，

令/（九）=COS6OX-l=0,则COS0X=1有3个根，

令t=a）x，则cos/=1有3个根，其中/e[0,2。71],

结合余弦函数丁=cosf的图像性质可得4兀<2。71<6兀，故2Wo><3,

为y=l

O2兀4兀6兀t

产COSZ

故答案为：［2,3).

J图A,B是直线y=g与曲线y=/(x)的两

4.(2023年新课标全国D卷)已知函数/(x)=sinWx+0),如

个交点，若|A创=g则/(兀)=______.

6

VV

【答案】-3

2

【解析】设41］：3卜2，；］，由恒回=巳可得超771

,=6,

,.1_,71,5TI

由sin%=一可知，x=—+2kji或vx二---b2kn,左eZ,由图可知，

266