三角函数的概念与运算（解析版）-2025年天津高考数学一轮复习

第16讲三角函数的概念与运算

（8类核心考点精讲精练）

I他.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年天津卷，第16题,14用和、差角的余弦公式化简、求值二倍角的正弦公式，正弦定理解三角

分形余弦定理解三角形

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦

定理结合出题

【备考策略】1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值

2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式

3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值

4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般结合三角函数与正余弦定理一起出题。

I飞•考点梳理

1•角的概念

2.日度制的相关概念考点一、任意角与弧度制

r知识点一.三角函数的定义＜3.三角函数的概念/考点二、扇形的弧长与面积

4.常用结论考点三、三角函数的定义

5.三角函数定义的推广

考点四、sina,cosa,tana的知一求二

三角函数的概念与运算＜1.平方关系

知识点二.同角三角函数的基本关系＜2.商数关系考点五、sina,cosa,tana的齐次化

3.同角三角函数基本关系式的变形｛考点六、sina±cosa,sincrcosa的知一求二

1透.导公式

考点七、三角函数的诱导公式

知识点三.三角函数的诱导公式2.诱导公式的记忆口诀

考点八、诱导公式中的凑角求值

3同.角三角函数的基本关系式的几种变形

知识讲解

知识点一.三角函数的定义

1.角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.

分类：按旋转方向，角可以分成三类：正鱼、负角和零角.

(2)象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合,角的始边与工轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几

象限，就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S={6l6=a+上360°,AGZ},即任一与角a终

边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

2.弧度制的相关概念

(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.

⑵弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.

②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度

如图，在单位圆。中，前的长等于1,NAOB就是1弧度的角.

⑶角度制和弧度制的互化：180。=1rad,1。=得rad,lrad=(*j)

(4)扇形的弧长公式：1=区力扇形的面积公式：其中r是半径，a(0<a<2兀)为弧所对圆心角.

3.三角函数的概念

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，aGR,它的终边与单位圆交于点P(尤，y),那

么

定义

上叫做a的正弦，记作工叫做a的余弦，记作初做a的正切，

sinacosa

记作tana

4.常用结论

(1)一个口诀

三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函数在每个象限的正负如下表：

第一象第二象第三象第四象

三角函数

限符号限符号限符号限符号

sina++一一

cosa+一一+

tana+—+—

(3)象限角

第一象限角)同淅《<妹+豺ez

T第三象限角)同"正水次"7^岑'A£Z)

第四象限｛«|2Anr+^<a<^+2^kEZ

(4)轴线角

轴

线

角

的

集

合

终边落在坐标轴上的角K=//EZ)

5.三角函数定义的推厂

设点尸(%,y)是角。终边上任意一点且不与原点重合，r=\OP\,则sina=：,cosa=*tana=".

知识点二.同角三角函数的基本关系

1.平方关系：sin2a+cos21=l.

2.商数关系：：=tan成+kmA£Z).

CO!ScZ]乙y

3.同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l-cosa)；cos2a=1-sin2a=(1+sina)(l—sina).

(2)sina=tanacosa(a¥fac+1,4GZ).

(3)(sina±cosa)2—l±2sinacosa.

知识点三.三角函数的诱导公式

1.诱导公式

组数—■二三四五六

a-\~2kji71

角兀匹_L

+a~a7i—a2~a]+a

(0)

正弦sina—sina—sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosc—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指方的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.

3.同角三角函数的基本关系式的几种变形

(l)sin2ot=1—cos2ot=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina)；

（sin。士cosQ）2=l±2sinacosa.

（2）sina=tanotcos埠+%兀，%£Z）.

.2_____sin2。_______tan2a

Sinasin2a+cos2atan2（z+1*

2cos2a_________]

COSasin2（x+cos2atan2a+1-

考点一、任意角与弧度制

典例引领

1.（2015•山东•高考真题）终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）

A.{%,=1+2々兀，/ceZ}B.{%,=1+左兀}

C.卜卜=—；+2忆兀,kEZ}D.{%,=-]+k兀,上€Z}

【答案】A

【分析】利用终边落在坐标轴上角的表示方法即可求解

【详解】终边在y轴正半轴上的角的集合是1嘏+2E,kEz]

故选：A

2.（23-24高三下•江西•阶段练习）已知集合/={%|2左兀+、<%V2kji+Gzj,集合B={%%兀+（<%<

kji+—,fcGz},则/n8=（）

A.^2/CTI+—,2/c兀+J,/ceZB.（/c兀+kit+J，k£Z

C.（2kji+2/c兀+J,/ceZD.（/c兀+kit+1），kEZ

【答案】A

【分析】根据给定条件把集合B写成用2忆兀+e（keZ）形式表示的集合，再与集合A求交集即可.

【详解】依题意，B={%|2k兀+^<%<2k兀+kEZjU{%|2k兀+弓<%<2/c兀+y,/cGz},

而4={%|2k兀+、V%<2kji+Gzj,

所以ZClB={%|2k兀+：VxV2々兀+ez}=（2k兀+%2/c兀+g）,fcGZ.

故选：A

♦♦即时啊

1.（23-24高三上.上海静安.期末）设a是第一象限的角，则|所在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根据a是第一象限的角，求出5的范围判断即可得解.

【详解】因为a是第一象限的角，

所以2卜兀<a<2kn+：,fc6Z,

所以——,/cGZ,

24

当k=2n,nEZ时，2几兀<-<2mi+-,nGZ,巴为第一象限角；

242

当k=2n+l,nGZ时，2几兀+K<-<2几兀+7i+-,n6Z,2为第三象限角.

242

故选：c

2.（23-24高三上.海南省直辖县级单位.阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90°—ccB.90°+ccC.360°—ocD.360°+cc

【答案】c

【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.

【详解】因为a是第一象限角，所以-a是第四象限角，

贝U90。—a是第一象限角，故A错误；90。+a是第二象限角，故B错误；

360。-a是第四象限角，故C正确；360。+a是第一象限角，故D错误.

故选：C.

3.（23-24高三上•云南•阶段练习）从2023年12月14日13：00到当天13:25,某时钟的分针转动的弧度

为（）

,571c2兀_5兀c2兀

A.—B.—C.---D.---

6363

【答案】c

【分析】根据弧度的概念求解.

【详解】因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，

所以分针转动的弧度为―算兀=

306

故选：C.

4.（22-23高三・全国•对口高考）①若角a与角£的终边相同，贝b与A的数量关系为;②若角a与角

S的终边关于x轴对称，贝Ua与0的数量关系为；③若角a与角0的终边关于y轴对称，贝加与£的数

量关系为;④若角a与角夕的终边在一条直线上，贝b与/7的数量关系为；⑤如果a是第

一象限的角，那么?是第象限的角.

【答案】a-+2kn,keZa+p—2kit,fceZa+0=（2/c+1）兀,keZa=0+

kn,keZ一、二、三

【分析】

根据角的终边关系写出两个角的数量关系，注意对称性、周期性应用，根据a所在象限写出5的范围，讨论

其所在的象限即可.

【详解】由角a与角0的终边相同，则a=/?+2E,keZ,

由角a与角/?的终边关于x轴对称，则a+0=2kn,keZ,

由角a与角0的终边关于y轴对称，则a+0=（2k+1）兀,fc6Z,

由角a与角/?的终边在一条直线上，则a=0+/m,keZ,

由a是第一象限的角，则2上兀<a<；+2/CT,keZ,

所以丁<：<二十二，卜ez,

当k=0,贝Ijo<9<g在第一象限；

36

当k=l,则在第二象限；

336

当k=2,则£<?<£，在第三象限；

当kN3,贝仁依次重复出现在上述三个象限内；

所以?在第一、二、三象限.

故答案为：a=B+2kji,keZ,a+/?=2kTi,kGZ,a+/?=（2/c+1）兀,々eZ,a=0+kn,kEZ,一、二、

考点二、扇形的弧长与面积

典例引领

1.（2024・陕西安康•模拟预测）《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积=|（弦X矢

+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心

到弦的距离之差.现有圆心角为0（8€（0,3），且cos8=（,半径等于10m的弧田，按照上述给出的面积公

式计算弧田面积是（）

【答案】A

【分析】先根据半角公式求出sin（cosg,再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解.

【详解】由cos”看可得sin；月=|,cos；汪亘=£

故弦长为2xlOsing=12,矢长为10-10cos1=2,

所以所求弧田面积为Ix（12x2+22）=14m2.

故选：A.

2.（2024高三下•四川成都•专题练习）如图，圆O内接一个圆心角为60。的扇形4BC,在圆O内任取一点,

则该点落在扇形ABC内的概率为（）

A

A-;

【答案】c

【分析】连接OA,OC,设圆的半径为r,求出AC,利用扇形面积公式求出扇形ABC的面积，再结合几何

概型求概率公式求解.

【详解】连接OA,OC,

贝此。4c=30°,=OC=r,

取AC中点D,连接。。，^AODLAC,

其中4D=CD=rcos30°=yr,

所以4C=2AD=V3r,

所以扇形4BC的面积为］xgxAC2=*2,

又因为圆的面积为兀N,

所以在圆O内任取一点，该点落在扇形ABC内的概率为r="

nrz2

故选：C

即时检测

1.（2024高三・全国・专题练习）如图，曲线段力B是一段半径为R的圆弧，若圆弧的长度为等，则A,B两点

C.V3RD.2R

【答案】C

【分析】先由弧长公式求出圆心角，再由三角形中计算得出；

【详解】设初所对的圆心角为a.

则由题意，得aR=3R.所以。=零

所以4B=2Rs呜=2/?sinj=2Rx--=痘R,

故选:C.

2.（2024高三・全国・专题练习）如图，在RtAPB。中，APBO=90°,以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP

于点A.若圆弧AB等分APOB的面积，且乙4OB=a,则3=.

【分析】利用扇形半径表示直角三角形POB和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解.

【详解】设扇形的半径为r,则扇形的面积为!a1,

在Rt△POB中，PB=rtancr

则4P08的面积为之7•rtana,

由题意得［厂,rtana=2x1ar2

所以tana=2a,所以=>

tana2

故答案为：I

3.(22-23高三上•安徽六安•阶段练习)已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角a=扇形面积最

大.

【答案】2

【分析】由扇形周长公式列式2r+Z=20(0<r<10),根据扇形面积公式列式并化简为二次函数形式，从

而求解得r=5时扇形面积最大，计算出弧长/,由弧长公式计算圆心角的值.

【详解】设扇形的半径为r,弧长为I,

由题意，2r+/=20=Z=20-2r(0<r<10),

扇形的面积为S=|/r=|(20—2r)r=lOr—r2

=-(r-5)2+25(0<r<10),所以当r=5时，

扇形面积取最大值25,此时2=20-10=10,

所以扇形的圆心角a='=当=2时，扇形面积最大.

r5

故答案为：2

4.(2024•陕西商洛•模拟预测)古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，他的《天文学大成》

包含一张弦表(即不同圆心角的弦长表)，这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，

用圆的半径长的2作为单位来度量弦长.将圆心角a所对的弦长记为crda.如图，在圆。中，60。的圆心角所对

的弦长恰好等于圆。的半径，因此60。的圆心角所对的弦长为60个单位，SPcrd60。=60.若8为圆心角，

cosd=i(0°<e<180°),贝Ucrde=______.

8

【答案】30V7

【分析】根据度量弦长的定义，利用余弦定理求出85。=；时圆心角e所对应的弦长】=结合60。的圆

心角所对的弦长为60个单位即可求出结果.

【详解】设圆的半径为r,cos。=；时圆心角。所对应的弦长为Z,

8

利用余弦定理可知G=r2+r2—2r2cos6=-r2,即可得Z=—r,

42

又60。的圆心角所对的弦长恰好等于圆。的半径，60。的圆心角所对的弦长为60个单位，

即与半径等长的弦所对的圆弧长为60个单位，

所以/=?x60=30V7.

故答案为：30A/7

考点三、三角函数的定义

典例引领

1.（23-24高三上.江苏南京•阶段练习）己知角a终边上有一点P（si啜,cos》则兀—a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】根据称所在象限可判断点P所在象限，然后根据对称性可得.

6

【详解】因为称是第二象限角，所以sin?>0,cos?<0,

所以点P在第四象限，即角a为第四象限角，

所以-a为第一象限角，所以兀一a为第三象限角.

故选：C

2.（2024高三•全国・专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点为原点0,以x轴的非负半轴为始边，

终边经过点P（l,rn）（爪<0）,则下列各式的值恒大于。的有（）个.

①②cosa—sina；③sinacosa；④sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【分析】根据三角函数定义得到sina<0,cosa>0,tana<0,再依次判断每个式子得到答案.

【详解】sina=<0,cosa=」「>0,tana=m<0,

vl+mzVl+m2

①色史>0；②cosa—sina>0；③sinacosa<0；④sina+cosa符号不确定.

tana

故选：c.

即时性测

1.（2024•山东•模拟预测）已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与无轴的非负半轴重合，终边经过点

P^sin|,cos0,贝!Jcos（a+£）=（）

A.0B.-C.—D.—

222

【答案】B

【分析】由三角函数的定义即可求得a,从而得到结果.

【详解】由题意可得Pgj）,则tana=^=争所以a=?+25,k6Z,

所以cos（a+'）=cosQ+2kn+2）=cos^=

故选：B

2.(2024•河北衡水•模拟预测)“角a,。的终边在同一条直线上”是“sin(a—£)=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】借助a-£的值，直接分别判断充分性和必要性.

【详解】由角a,0的终边在同一条直线上，得=0+kn,k€Z,

即a—£=kn,k€Z,所以sin(a—/?)=sinkn=0,fc6Z.

反之，由sin(a—S)=0,得a-。=巾兀,m6Z,

当小为偶数时，角a,£的终边在同一条射线上；

当小为奇数时，角a邛的终边在同一条直线上.

综上，“角a,£的终边在同一条直线上”是“sin(a—0)=0”的充要条件.

故选：C.

3.(2024.宁夏石嘴山.三模)在平面直角坐标系中，角。的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过点P(l,2),贝!]7cos2。-2sin28=()

A.--B.-C.-2D.2

55

【答案】A

【分析】由题意可知：tan0=2,根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.

【详解】由题意可知：tan。=2,

7cos20-4sin0cos07-4tan0_7-4x21

所以7cos2。-2sin2。=

sin20+cos20tan20+1-224-l5

故选：A.

4.(2020高三・全国・专题练习)若角。的终边上有一点W0),贝”sin。的值是

【答案】曰或—了.

【分析】由已知求得|OP|,对a分类讨论即可求得sin。的值.

【详解】P(a,a),\OP\=y/a2+a2=V2|a|,

当a>0时，|OP|=V2a,sin。==j；

当aV0时，|OP|=-sin6=&=—

sin。的值是子或一彳.

故答案为：乎或—乎.

考点四、sina.cosa,tana的知~求二

典例目阚

1.（2024•山东泰安•模拟预测）已知sin（乎+a）=?且1<a<IT,贝!Jtana=（）

A.-V3B.--C.—D.3

33

【答案】B

【分析】由诱导公式可得cosa=-根据平方关系sina=再根据商数关系得tana=陋.

22cosa

【详解】由诱导公式得sin《+a）=sin（n+：+a）=—sin（^+a）=—cosa=与，

所以cosa=_?，

又因为ae（p7i）,

所以sina=I，

所以tana=型竺=—虫.

cosa3

故选：B.

2.（23-24高三下•辽宁•阶段练习）已知cos。=—0E（0,兀），贝Ucos（］—2。）=.

【答案］—~V2

【分析】先求出sin。，再根据诱导公式和二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】因为cos。=de（0,7i）,

所以sin。=V1—cos20=竽，

所以cosC_26）=sin20=2sin0cos0=—手.

故答案为：-

1.（2024・山东•二模）已知sina=2,且aE化兀），那么警=.

5\2/cos2a

【答案】-1

【分析】先根据平方关系和商数关系求出cosa,tana,再根据二倍角的正弦公式化简即可得解.

【详解】因为sina=|,ae&兀）,所以cosa=—1,tana=—

sin2a2sinacosa2sina«3

——=--；——=----=2tana=——.

cos”acos'acosa2

故答案为：-1.

2.（2024•西藏林芝•模拟预测）已知锐角a满足sin2a=tana,贝！Jcosa=________.

【答案】^/|V2

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，解得即可.

【详解】因为sin2a=tana,所以2sinacosa=2吧，因为a为锐角，sina>0,cosa>0,

cosa

所以cos2a=I，所以cosa=亨或cosa=—牛（舍去）.

故答案为：?

考点五、sin/cosatancr的齐次化

典例I眄

则5sina+cosa

1.（2024•河南洛阳•模拟预测）已知tana=2,)

2sina-cosa

11

A.-B.D.2

33c.-3

【答案】B

【分析】根据切弦互化法计算即可求解.

【详解】因为tana=2,

5sina+cosa5tana+l_5x2+1_11

所以•

2sina-cosa2tana-12x2—13

故选：B.

2.(2024・四川自贡・三模)已知角a满足上三丝=3,贝Ijsin2a=()

sin2a

A3V10口3V1O「3

A.----D.---C.

10105

【答案】D

【分析】结合题意运用倍角公式和化正弦余弦为正切，即可求解.

【详解】由二咨四=3得2sm%=3,即tana=3,

2sinacosa

2sinacosa_2tana3

••«sin2a

sin*2a+cos2al+tan2a5

故选：D.

即时

1.(23-24高三下•云南•阶段练习)若tana=|,则sin2a—2cos2a—2=()

A.--B.--C.—D.-

24132413

【答案】B

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.

【详解】因为tana=|,

2

br、j.c-八c2sinacosa-2(2cosa-l)-2

所以sin2a—2cos2a—2=-----------------；---------

sinza+cosza

2sinacosa—4cos2a2tancr—4

sin2a+cos2atan2a+1

_2X|-4_24

二可「石

故选:B.

2.(2024•河北沧州•模拟预测)已知tan。=2/，则cos26=()

A.--B.-C.--D.-

9999

【答案】c

【分析】根据给定条件，利用二倍角公式，结合正余弦齐次式法计算即得.

【详解】由tan。=2A/2,得cos29--cos20—sin20=",脏飞——山嘤—

cosz0+sin20l+tan209

故选：C

3.(2024•浙江杭州•模拟预测)已知喏誓=2,则普理=_______-

smO+cos。2sin9+cosJJ

【答案】S

【分析】利用同角三角函数值之间的基本关系可得sin。=-4cos。，将表达式利用平方和关系为1化简可得

结果.

【详解】由si唾2co.1__2可得sin。=-4cos0,即tan。=—4；

sm0+cosa

所以si/e+cos。_(―4COS0)3+COS0_-64cos30+cos0_—64cos20+l

2sin0+cos302x(-4cos0)4-cos30—8cos0+cos30-8+cos20

—64COS20+sin20+cos20—63cos20+sin20—63+tan20

—8(sin20+cos20)+cos20—8sin20—7cos2。—8tan20—7

将tan。=-4代入计算可得Y3+t；产=Will=11.

-8tan20-7-8x16-7135

onsin30+cos047

2sin0+cos30135

故答案为：羡

考点六、sintr+cosa.sina・cosa的知一求二

典例引领

1.(23-24高三下.安徽芜湖.阶段练习)已知8s2a=金贝Usin2a=()

sina+cosa3

32

B.-C.D.

343

【答案】D

【分析】根据给定条件,利用二倍角公式求出cosa-sina,再利用同角公式计算得解.

cos2a_y[3cos2a-sin2a_V3

【详解】解得cosa—sina=

sina+cosa3sina+cosa3

两边平方得1—sin2a=所以sin2a=

故选：D

2.(2024高三・全国•专题练习)已知sina+cosa=工，ae(0,n),则tana———=()

5tana

【答案】B

【分析】借助sina+cosa=：可得sina•cosa,结合所处象限可得sina-cosa,即可得tana,即可得解.

【详解】由sina+cosa=gaE(0,71),

•••(sina+coscr)2=孩，§P1+2sina-cosa='

2sina•cosa=——<0,a为钝角，

••・sina>0,coscr<0,・•・sincr—cosa>0,

•••(sincr—coscr)2=1—2sina-cosa=—,

.7

•••sina—cosa=

sina+cosa+sina-cosa4

贝fjsina=---------------2---------------

4

14354

cosa=-----—-，tana=~7=—,

555--3

5

417

贝!Jtana-------

tana12

故选：B.

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1.（23-24高三上•天津河西•阶段练习）已知aG（0,兀），sina+cosa=—/,则cos2a=（)

AiVsV5V5

A.H----B.D

-33c.3-±?

【答案】B

【分析】由sina+cosa=-/平方得到sin2a,再利用平方关系求解.

【详解】解：因为aE(0,7i),sina+cosa=—曰<0,

所以a6(当H),

由sina+cosa=一三两边平方得1+2sinacosa=

即sin2a=2sinacosa=—|,

所以2a6(T，2兀)，cos2a="—sin22a=日.

故选：B.

2.（23-24高三上•云南•阶段练习）已知sinacosa=，，且:Va<],则下列结果正确的是（).

A.sin2a=-B.sina+cosa=—

82

c.V3

C.sina—cosa=-----D.tana=4—V15

2

【答案】B

【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函数的基本关系逐项求解即可.

【详解】因为sinacosa=工，所以sin2a=2sinacosa=工，故A错误；

84

因为(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=

4

又(<a<泉所以sina+cosa>0,所以sina+cosa=孚,故B正确;

(sina-cosa)2=cos2a+sin2a—2sinacosa=

又N<a<-,所以sina>cosa所以sina—cosa=—,故C错误；

V5TV5+V3

得

sina+cosa=解sincr=

联立《4

V3Ty/S—y]3

sina—cosa=cosa=

4

所以tana=出吧=4+V15,故D错误;

cosa

故选：B.

3.（2024高三•全国・专题练习）已知sindcos。是关于x的方程25久2—35x+a=0的两个实根，则①——

sinyCOS（7T+8）

的值为.

35/o11

【答案】—/L—

1212

【分析】利用韦达定理，结合三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】因为sin。，cos。是关于久的方程25%2-35刀+。=0的两个实根,

7._49_.19

可得sin。+cos0=平方可得1+2sin0cos0=—,可得sinJcos。=—,

sin0cosQ+6）sin0cos0sin6cos6—12'

故答案为：n

4.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知。是三角形的一个内角，满足cos8-sine=-g则且吧驾*

5sin0

（）

【答案】B

【分析】

由已知利用同角三角函数基本关系式siMj+cos2j=1,可求tan。的值，进而利用三角函数恒等变换的应用

化简，即可计算得解.

【详解】

因为cos。—sin0=一F，两边平方得1—2sin8cos9=

即2sin6cos6=g可得（sinb+cos0）2=1+2sin0cos0=1,

因为。是三角形的一个内角，且2sin6cos。=所以sin。>0,cosd>0,

所以sin。+cosd>0,得sin。+cos。=等，

又因为cos。—sin。=——,sinff+cosO=—,

联立解得：sin。=4之cos0=故有：tan。=2,

•I而右(sin6+cos6)cos26_sin6+cos6cos20-sin20_tan6+ll-tan20_9

sin。sin。cos20+sin20landl+tan2010,

故选:B.

考点七、三角函数的诱导公式

典例引领

1.(2024.北京通州.二模)在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，

终边与单位圆交于点尸一|),贝!JcosQ-2a)=()

9779

A--京B--京C.云D.京

【答案】B

【分析】接根据三角函数的定义可求出sina=-|,cosa=］,再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得

出答案.

【详解】由三角函数的定义可得sina=-|,cosa=£

所以cos(兀—2a)=—cos2a=—(2cos2a-1)=—(2x-1)=一

故选：B.

2.(2024•河南商丘•模拟预测)“sin(a—2024兀)>0”是“a为第一象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质结合充分、必要条件的定义判定选项即可.

【详解】易知sin(a—2024兀)=sina,所以sin(a-2024K)>0=>sina>0=>

a为第一象限角、第二象限角或终边落在纵轴正半轴上的角，

显然不满足充分性，满足必要性.

故选：B

1.(2024高三.全国.专题练习)cos等+tan(-等)=.

【答案】|

【分析】利用诱导公式求解即可.

［详解］cos等+tan(一等)=cos(8TT+§+tan(-4TT+：)=cos|+tan~=~-

故答案为：|.

2.(2024.河南.模拟预测)已知tana=京则tan(2024兀+2a)=

【答案】v/3l

77

【分析】利用诱导公式和正切二倍角公式求出答案.

2XI24

【详解】由题意可得tan(2024兀+2a)=tan2a=二：£

G）：7

故答案为：

/>■■>.…、—.,,、,sin2a—3cos（cr+?）cosa/、

3.（2024•广东戊名•一模）已知cos（a+兀）=-2sina,则-----------...=（）

cos2ct+l

247

A.-1B.--C.-D.-

558

【答案】D