任意角与弧度制及三角函数的概念（6题型分类）-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题16任意角与弧度制及三角函数的概念6题型分类

彩题生江总

题型6:象限符号与坐标轴角的三角函数值题型1:终边相同的角

题型5：三角函数定义题题型2：角的象限问题

专题16任意角与孤度制及三

角函数的概念6题型分类

题型4：扇形计算的最值问题题型3：孤长与扇形面积公式的计算

彩先湛宝库

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是5={0£=-360。+。,左eZ}.

（3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就

说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

（4）象限角的集合表示方法：

象

限

角

的

集

合

2,弧度制

（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧

度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

jr1QAO

（2）角度制和弧度制的互化：180。=»八以，1°=——rad,lrad=—.

180兀

（3）扇形的弧长公式：l=\a\-r,扇形的面积公式：5=（＞=：同♦产.

3、任意角的三角函数

（1）定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸（x,y）时，则sina=y,cosa=x,tana=-（x^O）.

X

（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点PR》，>）是角。终边上异于顶点的任一点，设点尸到原点。的

、yxy

距离为厂,则sina=—,cosa=—,tana=—（xwO）

rrx

三角函数的性质如下表:

三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号

sinaR++——

cosaR+——+

71

tana{a\ak7t+—,k^Z]+—+—

记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

（一）

终边相同的角

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正

角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

题型1：终边相同的角

1-1.（2024高二上・安徽合肥・学业考试）下列各角中与437角的终边相同的是（）

A.67B.77C.107D.137

1-2.（2024高一•全国•课后作业）下列与角下的终边相同的角的表达式中正确的是（）

4

Qjr

A.2far+45（^eZ）B.Z:-360+—（Z:GZ）

C.左-360-315优eZ）D.析+亍（左eZ）

1-3.（2024•山东）终边在了轴的正半轴上的角的集合是（）

A.卜卜=]+2板左£Z|B.5Xx=—+^71>

C.卜=+左eZ,D.｛无卜=-'+E,左eZ,

14（2024高一•全国•专题练习）若角d的终边与角B的终边相同，则在㈤2%）内与角号的终边相同的角

是.

彩健瓢祕籍

角的象限问题

在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是

图象法

第几象限角

先将已知角化为左360。+</（0。女<360。，左GZ）的形式，即找出与已知角终边

转化法

相同的角a,再由角a终边所在的象限判断已知角是第几象限角

注：注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角

是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

题型2:角的象限问题

2-1.（2024高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.900-aB.90°+«C.360°-aD.360°+«

2-2.（2024高一下•宁夏银川・期中）已知a是锐角，那么2。是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.小于180。的正角D.第一或第二象限角

2-3.（2024高三上•上海静安・期末）设a是第一象限的角，则”所在的象限为（）

A.第一象限B.第三象限

C.第一象限或第三象限D.第二象限或第四象限

57r57r

24（2024高三上•江苏南京•阶段练习）己知角"终边上有一点P（sin?,cos?）,贝伊一。是（）

66

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

aaa

2-5.（2024・全国•模拟预测）已知角。第二象限角，且cos,ncos7,则角不是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

2-6.（2024高三上•北京・开学考试）已知点P[sin*os，|落在角〃的终边上，且同0,2兀），则，是第（）

象限角.

A.-B.二C.三D.四

彩僻题秘籍（二）

弧长与扇形面积公式的计算

应用弧度制解决问题的方法

（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

题型3:弧长与扇形面积公式的计算

3-1.（2024高三下•上海松江•阶段练习）已知扇形的圆心角为;叫扇形的面积为加，则该扇形的周长

为.

3-2.（2024高一下,四川南充,期中）已知扇形圆心角々=60,a所对的弧长/=6兀，则该扇形面积为.

3-3.（2024高一上•福建龙岩•阶段练习）《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出"以径乘周

四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米,

径长（两段半径的和）为20米，则该扇形田的面积为—平方米.

3-4.（2024高三上•湖北武汉•期中）杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省

杭州市举行，本届亚运会的会徽名为"潮涌"，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象

征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇

环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的4，内环所在圆的半径为1,径长（内

环和外环所在圆的半径之差）为1,则该扇面的面积为.

19thAsianGames

Hangzhou2022

3-5.（2024高一上•重庆北倍・期末）在东方设计中存在着一个名为"白银比例”的理念，这个比例为百：1，它

在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的"黄金分割比例"，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设

扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为耳，圆面剩余部分的面积为邑，当3=0时，扇面较为美观.那

么按"白银比例"制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为.

题型4:扇形计算的最值问题

4-1.（2024高一上•山西朔州•期末）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角的弧

度数是一

4-2.（2024高三上•安徽六安•阶段练习）已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角&=扇形面积

最大.

4-3.（2024高一下•浙江温州•期中）已知扇形A03的周长为8,则扇形AQB的面积的最大值是—,此时弦

长—.

4-4.（2024高一下•辽宁大连•阶段练习）已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为（）

A.2B.4C.2A/3D.473

4-5.（2024高三上•江西鹰潭•阶段练习）已知一扇形的圆心角为a,半径为广，弧长为/,若扇形周长为20,

当这个扇形的面积最大时，则圆心角。=弧度.

彩健题海籍

（四）

三角函数定义题

（1）利用三角函数的定义，已知角a终边上一点尸的坐标可求a的三角函数值；已知角a的三角函数值，

也可以求出角a终边的位置.

（2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定

所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

题型5:三角函数定义题

5-1.（2024高三上•广东深圳•期末）已知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于

点A,若点A沿着单位圆顺时针旋转巳到3点，且].则cosa=.

5-2.（2024高一上•天津武清•阶段练习）设a是第二象限角，P（x,l）为其终边上一点，且cosa=；x,则

tana=.

5-3.（2024高三•全国・专题练习）已知角6的顶点在坐标原点，始边与X轴非负半轴重合，终边过点

尸（26,一2）,贝!]cos〃=（）

11

A括Rrn6

A.b.-C.u.

2222

5-4.（2024高三上•北京•阶段练习）已知角a的终边为射线>=尤（*40）,则下列正确的是（）

A.a=~^B.costz=1C.tanfa+y^=-lD.sin]tz+：j=l

彩偏甄祕籍一

（五）

象限符号与坐标轴角的三角函数值

正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；.

余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；.

正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.

题型6：象限符号与坐标轴角的三角函数值

6-L（2024・四川达州,一模）写出一个同时满足下列两个条件的角。=.（用弧度制表示）

①<9e（O,兀），②cos”0.

6-2.（2024高一上・北京大兴•阶段练习）已知sintzcO,costz>0,则。是第象限角.

6-3.（2004•北京）己知sin（e+7i）<0,cos（e-7t）>0,则下列不等关系中必定成立的是（）

ee

A.tan—<cot—B.tan—>cot—C.sin—<cos—D.sm—>cos—

22222222

6-4.（2024IWJ二,全国,对口（Wj考）若。=---,则（）

A.sin6Z>0Hcos6Z>0B.sina>0且cosa<0

C.sina<0且cosa>0D.sina<0且cosa<0

陈习与置计

一、单选题

1.（2024•全国）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术"，

如图，AB是以。为圆心，为半径的圆弧，。是A8的中点，。在A8上，CDLAB.〃会圆术〃给出A5的

CD1

弧长的近似值s的计算公式：s=AB+—.当。4=2,NAOB=60。时，s=（）

OA

“11-373d11-4占「9-3^3n9-473

2222

2.（2024高三上•安徽合肥•阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为6,则该扇形的面积为（）

,3939

A.----B.-；-、—C.——D.^―

sin2sin^2sinlsin2l

3.（2024高三・全国•专题练习）在平面直角坐标系xOy中，角a的顶点为原点。，以x轴的非负半轴为始边,

终边经过点P（L"）（m<0）,则下列各式的值恒大于0的有（）个.

①sm"；②cosa-sina；③sinacosa；（4）sina+cosa.

tana

A.0B.1C.2D.3

4.（2024・新疆•一模）已知集合人=,苗巧|%£N,且0WZW41,则集合A的元素个数为（）

A.3B.2C.4D.5

5.（2024高三上•浙江•阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了〃割圆术〃，刘徽认为圆的内接

正〃边形随着边数〃的无限增大，圆的内接正〃边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率兀的近

Ar

似值.如图当〃=6时，圆内接正六边形的周长为6r,故F即运用"割圆术”的思想，下列估算

12sinl5B.〃=12时,7i«6sinl5

C.〃=12时，兀el2cos15D.〃=12时,兀x24cosl5

6.（2024高三上•河北邢台•期末）己知锐角。的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，现将角a的终边绕原点

逆时针转三后，交以原点为圆心的单位圆于点则cosa的值为（）

A3\^+4_4^3+3.4\^—3卜3y/3—4

A•------------D•------------------•------------U•------------

10101010

7.（2024高三上•辽宁•阶段练习）2023年8月8日，第31届世界大学生夏季运动会（成都世界大学生运动

会）完美收官.在倒计时100天时，成都大运会发布了官方体育图标一一"十八墨宝这组"水墨熊猫"以大

熊猫"奇一"为原型，将中国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极致."十八般武艺"造就"十八墨宝",

花式演绎十八项体育竞技，代表了体操、游泳、羽毛球等18个成都大运会竞赛项目，深受广大人民喜爱.其

中，射箭的水墨熊猫以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm,

弦长为8cm,则弓形的面积约为（参考数据：sin74°®0.96,兀*3.14）（）

A.8.2cm2B.9.1cm2C.11.1cm2D.4.1cm2

8.（2024高三・全国・专题练习）集合］&航+£<£/<配+］,左©2］中的角所表示的范围（阴影部分）是（）

9.（2024・四川绵阳•模拟预测）月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为"敦煌八景"之一，得名“月泉晓

澈"，因其形酷似一弯新月而得名.如图所示，某月牙泉模型的边缘都可以看作是圆弧，两段圆弧可以看成

若竽，的长约为石，则该月牙泉模型的面

是,ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,ZACB=20

6

积约为（）

A.30073-50^-B.120^-+150A/3

C.100万+180百D.120^-+1805/3

10.（2024高三上•重庆•阶段练习）"莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特

殊领域发挥了超常的贡献值."莱洛三角形"是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这

三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）.现以边长为4的正三角形作一个"莱洛三角形"，贝U此"莱洛三角形”

B.8兀-126C.16TI-8V3D.16TI-4AA

11.（2024高三上•河北承德•期中）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，圆锥的

高分别为幅和忆侧面积分别为s甲和S乙，若萨=2,则萼=（）

3乙用乙

A.2B.75C.710D.—

4

12.（2024高三上,安徽•期中）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一

个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇

子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面

而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2）,若图2中D,E分别在班，8C上，AD=CE=m,

AC的长为/，则该折扇的扇面ADEC的面积为（）

A袱/㈤m(l-0m)m(2l-Dm(2/-0m)

B.---------

.22•22

TV.3兀

13.（2024•河北•模拟预测）已知两圆锥的底面积分别为7、兀，其侧面展开图中圆心角之和为则两圆

16

锥的母线长之和的最小值为（）

57

A.2B.一C.3D.-

22

14.（2024高三上•河南•期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，若该圆锥底面圆的

半径为1,则该圆锥的体积为（）

A.匕B.叵C.巫D.兀

333

15.（2024高三上•福建•期中）如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为"潮涌"，主体图形由扇面、钱

塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和现代美于一

体，富有东方神韵和时代气息.其中扇面的圆心角为120。，从里到外半径以1递增，若这些扇形的弧长之和

为90兀（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为（）

19thAsianGames

Hangzhou2022

A.6B.8C.9D.12

16.（2024高三上•安徽合肥•阶段练习）若扇形的周长等于40cm,则扇形面积的最大值是（）cm2.

A.400B.200C.100D.50

17.（2024•全国•模拟预测）甲、乙两个圆锥的底面半径相等,均为〃，侧面展开图的圆心角之和为2兀，表

面积之和为37c.则底面半径尸的最大值为（）

D・半

r\.------

2

18.（2024高一下•河北张家口•期中）如图，已知扇形的周长为6,当该扇形的面积取最大值时，弦长=

3sin2C.3sinl°D.3sin2°

19.（2024高三上•广东•学业考试）已知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3,4）,

则角a的正切值为（）

20.（2024高三上•重庆渝北•阶段练习）已知角a终边上有一点P（sinj_,coS?~）,贝U兀+或是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

21.（2024高三•全国•专题练习）已知角。的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点〃（-3,4）,则

cos2g—sin?〃+tang的值为（）

1211217979

A.----B.---C.——D.—

75757575

的终边上一点的坐标为1'4jr4it）

22.（2024•辽宁•一模）已知角aSiny,COSy1,则a的最小正值为（）

713兀4兀1771

A.-B.—C.—D.——

510510

23.（2024高三•全国•专题练习）若角a是第二象限角，则角2a的终边不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

24.（2024高三上•湖北黄冈•期中）若角a满足a=当+2化回Z）,则a的终边一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上

D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

25.（2024高一下•河南焦作•期中）已知角a的终边与?的终边重合，则。的终边不可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

26.（2024高一下•陕西榆林•阶段练习）若角a是第一象限角，则券是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

27.（2024高一下,陕西渭南,阶段练习）已知点尸（cos。,tan。）是第二象限的点，则d的终边位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

28.（2024高三上•河南许昌,期末）在平面直角坐标系中，点P（sin2023。,tan2023。）位于第（）象限

A.-B.二C.三D.四

29.（2024•河南•模拟预测）已知。是第二象限角，则点（cos（-a）,sin（-a））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

30.（2024,河南•模拟预测）已知a是第二象限角，则点（cos（sine）,sin（cose））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

31.（2024高三下・江西・阶段练习）已知点人他由23,-323）是角。终边上一点，若0<e<360，则&=（）

A.113B.157C.293D.337

32.（2024高一•全国•课后作业）设“<0,角。的终边与圆尤,+/=1的交点为p（_3%4a）,那么sina+2cosct=

（）

2112

A.——B.——C.-D.-

5555

33.（2024•北京丰台・三模）已知点A的坐标为（L者），将。4绕坐标原点。逆时针旋转|■至。3,则点8的

纵坐标为（）

A.-V3B.-1C.73D.1

7

34.（2024高三•全国•对口高考）如果点P在角,兀的终边上，且10Pl=2,则点P的坐标是（）

A.（1,6）B.（-1,右）C.（-代,1）D.（-指,-1）

35.（2024高三下•湖南邵阳•学业考试）已知尸（3,4）是角a终边上的一点，贝|sine=（）

3434

A.-B.—C.—D.一

5547

二、多选题

36.（2024高二下•广东•期末）在平面直角坐标系xOy中，点尸。,0）绕点。逆时针旋转。后到达点。（毛,%）,

若cose-代sin。=一养，则X。可以取（）

AJ_a7石T56_23

A•D.----------L.-------------U.

26262626

37.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）已知角。的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是（）

actnncici

A.sin-<0B,tan->0C.sin->cos-D.sin->cos-

222222

三、填空题

38.（2024高三•全国•对口高考）①若角a与角夕的终边相同，则。与夕的数量关系为；②若角a

与角夕的终边关于x轴对称，则a与4的数量关系为;③若角a与角夕的终边关于y轴对称，则a

与P的数量关系为;④若角a与角尸的终边在一条直线上，则a与夕的数量关系为；⑤

如果a是第一象限的角，那么三是第象限的角.

39.（2024•山东）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧

所在圆的圆心，A是圆弧与直线AG的切点，8是圆弧与直线BC的切点，四边形。EFG为矩形，