任意角和弧度制及三角函数的概念-2025高考数学一轮复习

第四章

DISIZHANG三角函数、解三角形

第1节任意角和弧度制及三角函数的概念

考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.

理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知识诊断•基础夯实

【知识梳理】

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的遥点旋转所形成的图形.

八东!按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

Q)分类[按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S

={£|£=a+k360。,kGZ].

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.

(2)公式

引=:(弧长用1表示)

角a的弧度数公式1

l0-rad；lrad-[}

角度与弧度的换算1805

弧长公式弧长l=\a\r

=2

扇形面积公式S=2^ha\r

3.任意角的三角函数

⑴定义

如图，设a是一个任意

前提角，它的终边与单位圆

交于点P(x,y)

正弦上叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=y

余弦工叫做a的余弦函数，记作cosa,即cosa=x

I叫做a的正切函数，记作tana,

Ji

正切

定义即tana=2(xW0)

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆

三角函数上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将

它们统称为三角函数

(2)定义的推广

设尸(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为《厂＞0),那么sina

yxy

=；，

rcosa=r—tana=W(%W0).

［常用结论］

1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.角度制与弧度制可利用180。=兀rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量

制必须一致，不可混用.

3.象限角

4.轴线角

y［终边落在%轴上的角a|a=A;IT,A：GZ

T终边落在y轴上的角a=-^-+k7t,A:eZ)

终边落在坐标轴上的角a|OL=-2F,AEZ

【诊断自测】

1.思考辨析(在括号内打“J”或“X”)

(1)小于90。的角是锐角.()

⑵锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()

⑶角a的三角函数值与其终边上点尸的位置无关.()

(4)若a为第一象限角，则sina+cosa>L()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)锐角的取值范围是(o,如

(2)第一象限角不一定是锐角.

n

2.(必修一Pl76T7(2))已知a是第一象限角，那么2是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或二象限角D.第一或三象限角

答案D

JT

解析易知2EVaV1+2E,

故所以舞第一或三象限角.

3.(必修一P180T3改编)已知角6的终边经过点P(—12,5),则sin6>+cos0=

7

答案一百

5—12

解析由三角函数的定义可得sine+cos8=//,八FI//IC、2Iu2

q(-12)2+52q(-12)2+52

=5__12=_2.

4.已知扇形的圆心角为30。，其弧长为2兀，则此扇形的面积为.

答案12兀

JT2兀

角星析Va=30°=Tl=ar,.\r=——=12,

o?71

6

・••扇形面积S=，r=T><27iX12=1271.

考点突破•题型剖析

考点一象限角及终边相同的角

例1（1）（多选）下列命题正确的是（）

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{a|a=2foi,左©Z}

B.终边落在y轴上的角的集合为{m=90。+而，k£Z}

C.第三象限角的集合为"|7i+2EWaW号+2防I,右z1

D.在一720。〜0。范围内所有与45。角终边相同的角为一675。和一315。

答案AD

解析A项显然正确；

7T

B项，终边落在y轴上的角的集合为{a|a=]+%n,左©Z},角度与弧度不能混用,

故错误；

C项，第三象限角的集合为“忱+2防1＜。＜学+2而，左©z],故错误；

D项，所有与45。角终边相同的角可表示为夕=45。+左S60。，左©Z,

令一720°W45°+左SGOOVO。（左GZ）,

171

解得一）

hOWOkv—6/wz,

从而当上=—2时，£=—675。；

当k——1时，0=—315°,故正确.

（2）已知角。在第二象限，且sin5=—sin3，则角万在（）

A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析.••角。是第二象限角，

.,.℃（2左兀+今2左兀+兀），左©Z,

/.-el左ez,

.•.角?在第一或第三象限.

.e•°•・*

又vsin2=—sm..sin]＜0，

...角2在第三象限.

感悟提升1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出

与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过集合中的参数左(左弓Z)赋值来求得

所需的角.

2.确定此，3(左GN*)的终边位置的方法

K

先写出ka或系的范围，然后根据k的可能取值确定ka或系的终边所在的位置.

KK

训练1(1)集合］左©zj■中的角所表示的范围(阴影部分)是

()

答案C

解析当左取偶数时，比如攵=0,此时全故角的终边在第一象限或y轴

正半轴；

5冗3冗

当左取奇数时，比如攵=1,此时彳WaWg,

故角的终边在第三象限或y轴的负半轴，

综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上.

(2)终边在直线丁=小刀上，且在［―2兀，2兀)内的角a的集合为.

答案［一会—3?14

解析在坐标系中画出直线丁=小羽可以发现它与x轴的夹角为会在［0,2兀)内，

终边在直线y=\［3x上的角有胃和土;

25

在［―2兀，0)内满足条件的角有一铲和一铲，

故满足条件的角a构成的集合为，|兀，一|兀，副.

考点二弧度制及其应用

例2已知扇形的圆心角是a,半径为凡弧长为/.

7T

(1)若a=1,7?=10cm,求扇形的弧长/.

(2)若扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最

大？

jr

(3)若a=w，7?=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

JT

解⑴因为a=w，7?=10cm,

7T1OjT

所以l=\a\R=^X10=^-(cm).

(2)由已知，得/+2R=20,

所以S=|Z7?=|(2O-27?)T?=10R—R2=一(R—5产+25.

所以当R=5(cm)时，S取得最大值，

此时/=10(cm),a=2,

2冗

(3)设弓形面积为S弓衫，由题意知/=丁cm,

22

所以S5»=1x^X2—1-X2Xsin方=停一小)cm.

感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

训练2(1)(多选)(2022.青岛质检)已知扇形的周长是6,面积是2,下列选项可能正

确的有()

A.圆的半径为2B.圆的半径为1

C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2

答案ABC

解析设扇形半径为「，圆心角弧度数为a,

2r+otr=6,

r=l,r=2,

则由题意得1解得

2«^9=2,a=4«=1,

可得圆心角的弧度数是4或1.

(2)(2023・广州检测)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人

以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC,再分别以点A,B,C

为圆心，线段A3长为半径画圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三

角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2兀，则其面积是()

A

r\

A.~2~+^/3

C.:—A/3D.2TI—2^/3

答案D

解析由已知得@=反1=检=用，

则AB=BC=AC=2,扇形CBA的面积为用，AABC的面积为坐*22=小,

故弓形A3的面积为与一事，

所求面积为3停一下）+4=2兀一2小.故选D.

考点三三角函数的定义及应用

角度1三角函数的定义

例3（1）（2023•石家庄质检）已知角a的终边上一点P的坐标为（一2,1），则cosa

的值为（）

答案D

解析由题意可得cosa=//二：2「=—¥•

q（-2）2+i5

3

⑵（2023・长沙质检）若角a的终边过点P（8m,—3）,且tana=«,则m的值为（）

11

B，2

C「坐D.坐

答案A

—一331

解析因为tana=w濡=a，解得机=一

角度2三角函数值的符号

例4(多选)(2022.重庆八中月考)已知角a的顶点与原点重合，始边与%轴的非负

半轴重合，终边经过点P(/n,1—加).若机>0,则下列各式的符号无法确定的是

()

A.sinaB.cosa

C.sina—cosaD.sina+cosa

答案AC

1—mm

解析由三角函数的定义得,

Sin<Z=^m2+(1-m)"=［而+

对于A,当相£(0,1)时，sin(z>0；

当机£(1,+8)时，sina<0；

当加=1时，sina=0,所以sina符号无法确定.

m

对于B,cosa—5〉0,

yjm2+(1—m)

所以cosa符号确定.

1—2m

对于C,sina-cosa=

yjm2-^(1—m)2,

时，；

当csina—cos«>0

当加£!，+

oo时，sina—cosa<0；

当机=1时，sina—cosa=0.

所以sina—cosa符号无法确定.

1~m

对于D,sina+cosa

^/m2+(1—m)2

______m______］

5>o,

［源+(1—加)2yjm2-^(1—m)

所以sina+cosa符号确定.

感悟提升1.三角函数定义的应用

⑴直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点

的距离，确定这个角的三角函数值.

⑵已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求

参数的值.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根

据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就

要进行分类讨论求解.

训练3（1）（2023・无锡调考）已知角a的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，

若点/5（51!10{,12110{）在第四象限，则角a的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析..,点尸（sina,tana）在第四象限，

sina>0,tana<0,

...角a的终边在第二象限，故选B.

（2）sin2-cos3-tan4的值（）

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不存在

答案A

解析因为*2<3<兀<4<当，

所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，

所以sin2>0,cos3<0,tan4>0,

所以sin2-cos3-tan4<0.

分层精练•巩固提升

【A级基础巩固】

L下列与角子的终边相同的角的表达式中正确的是（）

9兀

A.2E+45。（左©Z）B.^360°+y（^ez）

5兀

C.k•360°-315°（^ez）D.E+1（左©Z）

答案C

QTTQTT

解析与角的终边相同的角可以写成或左.360。+45。（左©Z）,

但是角度制与弧度制不能混用，排除A,B,易知D错误，C正确.

2.若sinacos0<Q,黑%>0，则角。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析由鬻>°，得七>°，所以cosG0.

又sin0-cos0<0,所以sin又0,

所以。为第四象限角.

3.（2023•北京东城区调研）在平面直角坐标系中，角a的终边过点（一1,0）,将a的

终边绕原点按逆时针方向旋转120。与角夕的终边重合，则cos0=（）

A.；B.-|

C.坐D「坐

答案A

解析由题意知。=兀+2依兀，kEZ,

5兀,

・“=行+2左2兀，kiGZ,

5兀1

故cos£=cos与~=1•故选A.

4.已知点尸（sin（—30。），cos（—30。））在角。的终边上，且。£[—2兀，0）,则角。的

大小为（）

A兀C2兀

A—wBT

C—"D—也

J3-3

答案D

解析因为尸（sin（—30。），cos（—30。）），

所以P1—今由，所以。是第二象限角，

4冗

又。©[―2兀，0）,所以。=一于

5.（多选）下面说法正确的有（）

7TS

A.角力与角一枭终边相同

B.终边在直线y=—x上的角a的取值集合可表示为{a|a=k360。一45。，左GZ}

C.若角a的终边在直线y=—3x上，则cosa的取值为噜

3兀

口.。化成弧度是丁

6730,O

答案AD

JT5

解析角力与角一米相差2兀，终边相同，故A正确；

终边在直线y=—x上的角a的取值集合可表示为{a|a=L180。一45。，左©Z},故

B错误；

若角a的终边在直线y=—3x上，

则cosa的取值为故C错误；

67。30,化成弧度是蓑，故D正确.

O

（5兀5兀\

6.（2023•枣庄模拟）已知角a的终边上一点尸的坐标为［sin石，cos可，则角a的

最小正值为（）

A兀C271

A-6B'T

C.普D粤

o3

答案D

解析因为sin卷>0,cos等<0,

OO

所以角a的终边在第四象限，

5兀、行

根据三角函数的定义，可知sina=cos普=一与，

o2

故角a的最小正值为2兀一?=苧，故选D.

7.在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,俞是圆％2+廿=i上的四段弧（如图），点

尸在其中一段上，角a以。光为始边，0P为终边.若tana<cosa<sina,则尸所在

的圆弧是（）

A.ABB.CD

C.EFD.GH

答案C

解析由题意知，四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，在◎上，tana>

sina,不满足；

在CD上，tana>sina,不满足；

在E77上，sina>0,cosa<0,tanct<0,

且cosa>tana,满足；

在GH上，tanct>0,sinct<0,cosa<0,不满足.

8.中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆。中作出两个扇形。43和OCD,

用扇环形A3DC（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形A3DC的面积为Si,

扇形的面积为S2,当Si与S2的比值为咛工时，扇面的形状较为美观，则

此时扇形。。的半径与半圆。的半径之比为（）

小+1

A.4

C.3一小D.小一2

答案B

解析设NAO3=6,半圆的半径为「，扇形。CD的半径为力,

依题意，有如上

即白&存1

诉］、/齐3一小6—2^5,2

所以2

从而得?=存1.

9.若a=1560。，角。与a终边相同，且一360。＜。＜360。，则8=.

答案120。或一240。

角星析因为a=l560°=4X360°+120°,

所以与a终边相同的角为360。*左+120。，左GZ,

令左=-1或k=0可得0=—240。或6=120°.

10.已知扇形的圆心角为120。，弧长为2兀，则扇形面积为.

答案3兀

2冗/2兀

解析V120°=v，l=ar,/.r=_=Y"=3,

3aZTI

T

/.S='r=3X2兀X3=3兀.

3

11.已知a的终边过点(x,4),且cosa=—§,则tana=.

答案V

3

解析•・•&的终边过点(元,4),且cosa=—

.*.x＜0.

x3

・・元=-3,••tana=一

.2冗

12.在平面直角坐标系xOy中，点P在角w的终边上，且10Pl=2,则点P的坐标

为.

答案（一1,小）

解析设点P的坐标为（x,y）,

“2兀

x=|OP|cos-y,

由三角函数定义得＜。

2兀

y=|OP|sin亍，

所以［=小’所以点P的坐标为（一1,73）.

【B级能力提升】

13.（多选）如图，A,3是单位圆上的两个质点，点3的坐标为（1,0）,ZBOA=60°,

质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点3以2rad/s的角

速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）

A.经过1s后，N3Q4的弧度数为4+3

B.经过自s后，扇形A03的弧长为居

C.经过脑后，扇形A03的面积为微

o3

D.经过S半71s后，A,3在单位圆上第一次相遇

答案ABD

解析经过1s后，质点A运动1rad,质点3运动2rad,此时N30A的弧度数

JT

为§+3,故A正确；

经过普s后，ZAOB=Ty+?+2X-^-=Y^,故扇形A03的弧长为弓X1=圣故

I乙_L乙DJL乙I乙JL乙I乙

B正确；

经过"s后，ZAOB=T+?+2X^=^,故扇形A03的面积为S=；X普X12=1^,

oo3oozo12

故C不正确；

设经过人后，A,5在单位圆上第一次相遇，则

jr'>jr

t(l+2)+g=2兀,解得t=w(s),故D正确.

14.(2022.全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了

计算圆弧长度的“会圆术”.如图，@是以。为圆心，为半径的圆弧，C是

AB的中点，。在@上，CDLAA“会圆术”给出检的弧长的