青海省西宁市某中学2024-2025学年度高二年级上册期中考试数学试卷【含解析】

青海省西宁市第十四中学2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试卷

【含解析】

一、单选题

1.已知直线/:、/Ix-3y+l=0,则直线/的倾斜角为（）

A.-B.-C.-

632

【答案】A

【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

【详解】•.•直线/的斜率A=[=tana,由于ae[0,7r）,所以a=£,的倾斜角为:故选：A.

2.已知Z=（2,3,1）,5=（1,-2,-2）,则£在B上的投影向量为（）

--2-2-

A.2bB.-2bC.—bD.——

【答案】D

【分析】利用投影向量公式进行求解

(』＞(石=

a-br2,31,-2,-2)2-6-25=_2.52-

【详解】-|2故日在B上的投影向量为-;6.故选：D.

b俨+(_2)2+(-2)293

3.已知直线4：izx+3v-6=0,直线公2x+(a-l)y-4=0,则“a=—2”是"4〃。的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用两直线平行求解。的值，结合充要关系的定义判断即可.

【详解】由/]〃4可得6="(“一1),解得a=3或a=—2.当a=3时，4：3x+3y—6=0,/2：2x+2y—4=0,显然人,

4重合，舍去，故时，。=-2.因此“a=-2”是乜〃夕的充要条件.故选：C

4.已知空间向量。=。,〃,2）,3=（-2,1,2）,若2人石与方垂直，则同等于（）

A,史B.史V21

22'~T

【答案】B

【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量苕与同.

【详解】因为。=（1,〃,2）,5=（-2,1,2）,所以2万-5=（4,2〃-1,2）,因为21-5与5垂直，所以

2日一外5=-8+2〃-1+4=0,解得〃所以万=[1,|,21所以同=$2+仁1+22=孚，故选：B.

5.已知圆f+V=4与圆元2+y2-8x+4y+16=0关于直线/对称，则直线/的方程为（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【答案】C

【分析】根据对称可知/是圆G和圆a圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可.

2

【详解】圆G：f+V=4,圆心C|（0,0）,半径12,C2:x+/-8^+4y+16=0,圆心。式4,一2）,半径马=2,

由题意知，/是圆C1和圆C2圆心连线的垂直平分线，•.•G（0,0）,G（4,-2）,GG的中点（2,-1）,圆心GG连线的斜

率为kc@=_g,则直线/的斜率为2,故/的方程：y+l=2（x-2）,即y=2x-5,故C正确.故选：C.

6.已知点尸（1,如,-2）,。（4,0,叫。为坐标原点，且丽.迎=0,贝“图=（）

A.36B.76C.6D.2r

【答案】C

【分析】根据而•丽=0,求出，"的值，再利用模长公式求解即可.

【详解】因为p（l,而，一2）,。（4,0,回，所以赤=（1,而,一2）,而=（4,0,根）.又而•丽=4-2切=0,解得根=2,

所以Q（4,0,2）,则用=（3,-而,4）,所以网=49+11+16=6.故选：C.

7.已知直线/：尤+>—2=0与圆M：x2+/-4x-4y+a=0交于两点，且|AB|=4近，贝（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】D

【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可.

【详解】由题意可得圆〃的圆心为加（2,2）,半径r=J4+4_a=^/n,则圆心M到直线/的距离

|2+2-2|s因为人[用2

d==户，所以（加了+（2应y=8-a,即8-“=10,解得°=一2.故选：D.

A/12+12

8.如图，在三棱锥尸-ABC中，ZAPS=90°,ZCPA=ZCPB=60°,PA=PB=PC=2,点、D,E,E满足丽=丽,

丽=2丽，AF=FC>则直线CE与。尸所成的角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】设序-，PB=b，PC=c，利用空间向量运算得上=干-己DF=-（a-b+c],利用数量积的运算

律求解数量积，即可解答.

【详解】设PA=方，PB=b»PC=c，则〃力=0，a-c=b'c=2x2x—=2,

—►—►►2—►2

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

DF=PF-PD=1（PA+PC）-1PB=1^-^+C）,

_一••1-21—»—►1—►—►1—»—►1-2

所以CE-O产=一。——a-b——a-c+—b-cc=0,

33622

故直线CE与。F所成的角为90。.

故选：D

二、多选题

9.向量益=（2九,1,3）石二。,一2%9）,若2〃石，则（）

131-11

A.x=-B.y——C.a=—bD.a=—b

5232

【答案】BC

【分析】利用空间向量平行列出关于演y的方程组，解之即可求得乂丁的值和五出的关系.

2%=4

11Q1

【详解】因为至〃5,所以±=2人由题意可得1=—24>，所以x==jy=—则M=故选：BC

八八八3623

〔3=94

10.已知圆G：f+V+2MX-10y+祖之二。，圆q:炉+/+4y-5=0,则下列说法正确的是（）

A.若点（1,1）在圆G的内部，则-2<〃7<4

B.若租=2,则圆G（2的公共弦所在的直线方程是4x-14y+9=0

C.若圆G，G外切，则加=±岳

D.过点（3,2）作圆C2的切线/,贝心的方程是x=3或7x-24y+27=0

【答案】BCD

【分析】根据点在圆的内部解不等式1+1+2加-10+加<0即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直

线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线/的斜率是否存在进行分

类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.

【详解】对于A,由点（1,1）在圆C1的内部，得1+1+2"?-10+〃，<0,解得T<2,故A错误；

对于B,若?”=2,则圆G：x~+y~+4-X—10y+4=0,

将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x-14y+9=0,故B正确；

对于C,圆Cl的标准方程为（x+〃z）2+（y_5）2=25,圆心为G（-加,5）,半径4=5,

圆G的标准方程为一+0+2）2=9,圆心为。2（。，-2）,半径£=3,

若圆G，。?外切，贝U1CGI=4+2，即J疗+49=5+3，解得机=土故C正确；

对于D,当/的斜率不存在时，/的方程是x=3,圆心G至卜的距离1=3=4,满足要求，

当/的斜率存在时，设/的方程为丁=左(％-3)+2,

圆心C2至1|/的距离^=4=3,解得％=

a+i24

所以/的方程是7尤-24y+27=0,故D正确.

故选：BCD.

11.设Z，B分别是直线/，机的方向向量，)，石分别是平面夕的一个法向量，则()

A.若《_!_£,则4_!_%

B.若£_1_加，b±K,且则a与夕的夹角为3

C.若依G=则直线/与平面a所成的角为g

D.若(a,%)=(石,")=(,且a〃4,则///机

【答案】AC

【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.

【详解】G，B分别是直线/,机的方向向量，I，足分别是平面a,4的一个法向量，

对于A,易知若a_L£,则A，％,故A正确；

对于B,由7A可知，直线///a,ml113,

显然当a与「平行时，直线/，机可以满足百出=；,故B错误；

对于C,当流或=£时，直线/与平面a所成的角为［一1=9故C正确；

3236

对于D,右。=/7,%，

则直线/与平面a所成的角为直线机与平面夕所成的角为5，

66

又C//6,则直线/，机所成角可以为m+F=即直线/与机不平行，故D错误.

663

故选：AC.

三、填空题

12.已知a=(-2,1,3)-B=(-1,2,1),贝|万与B夹角的余弦值为.

【答案】叵J屈

66

【分析】由空间向量的数量积公式求解即可.

【详解】•"=(-2,1,3),8=(-1,2,1),

,cos<扇5>=呼=笔绰=叵故发案为.历

\a\\b\714x766•故口菜为•丁

13.已知圆C：x2+y2=l,过圆C外一点P作C的两条切线，切点分别为A,B,若NAP3=120。，则|明=

【答案】1

【分析】结合切线长定理可得VABC为等边三角形，即可得MB|.

由圆C：Y+y=1可得圆心坐标为0(0,0),半径厂=1,由上4、尸3为圆C切线，故NQ4P=NO3P=90。,

XZAPB=120°ZAOB=360°-90°-90°-120°=60°,又AO=3O=r=l,故为等边三角形，故|AS|=L

故答案为：1.

14.已知平面a的一个法向量为3=(2,3,5),点A。,2,4)是平面1上的一点，则点尸(-1,1,5)到平面c的距离

为.

【答案】噜

lAP.nl

【分析】利用空间向量法可得出点P到平面。的距离为〃=一^,即为所求.

H

|AP-H|原=曾故答案为:f

【详解】由己知可得丽=(-2,-1,1),所以点尸到平面a的距离为d=

加

四、解答题

15.(1)已知空间向量万=(2,-1,一2)石=。,1,-4),求忸一3年

(2)已知万=(一2,1,3)出=(一1,2,1),若求实数2的值

【答案】(1)3师(2)2.

【分析】(1)求出向量的坐标，由坐标计算模长.

(2)分别用坐标表示出两个向量，由向量垂直则数量积为。建立等量关系，从而求出参数的值.

【详解】⑴2a-3^=(1,-5,8),所以[2]—3'=#+(-5)2+82=3加

(2)Va=(-2,1,3),^=(-1,2,1),/.=(-2+2,1-22,3-2),：0_L,一几5),：.a-(a-Ab^=0,

即一2(—2+4)+(1—22)+3(3—2)=0,解得2=2.

16.已知以点4(—1,2)为圆心的圆与直线4：x+2y+7=0相切，过点3(-2,0)的动直线/与圆A相交于M,N

⑴求圆A的方程；

⑵当|九网=2炳时，求直线/的方程.

【答案】⑴(x+l)2+(y—2)2=20

(2)3x-4y+6=。或%=一2

【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径厂，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；

(2)过A做由垂径定理可知圆心到直线/,设出直线/,可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之

可得直线方程

【详解】(1)易知4(—1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径厂，

|-lxl+2x2+7|c七

所以g=26

则圆A方程为(无+l)2+(y-2『=20

(2)过A做AQ，脑V,由垂径定理可知NMQA=90。，且

在Rt^AMQ中由勾股定理易知|A@=^\AMf-\MQf=小20一(如了=1

当动直线/斜率不存在时，设直线/的方程为x=-2,

经检验圆心到直线I的距离为1,且根据勾股定理可知\MN\=2M,

显然尤=-2合题意，

当动直线/斜率存在时，/过点川-2,0),设/方程为：y=k(x+2),

\-k+2k-2\3

由2(—1,2)至心距离为1知=1得y

sll+k2

代入解之可得3尤-4y+6=0,

所以3元-4y+6=0或%=一2为所求/方程.

17.如图，在四棱锥尸—ABCD中，PD_L平面AeC。，AD1DC,AB//DC,AB=AD=^CD=2,PD=2,M

为棱尸C的中点

⑴证明：3A///平面尸AD；

(2)求平面PDM和平面DMB夹角的余弦值;

【答案】（1）证明见解析

⑵哙

6

【分析】（1）取PD中点N,证明3河〃AN,根据线面平行的判定定理，即可证明结论;

（2）建立空间直角坐标系，利用平面夹角的向量求法，即可求得答案.

【详解】（1）取PD中点N,连接AN,MN.

在中，M,N分别为PC,尸£）的中点，则肱V〃OC,MN=-DC,

2

因为筋〃。C,AB=-DC,则AB=MN,

2

可知四边形ABMN为平行四边形，则9W〃4V,

且3Me平面PAD,4Vu平面PA。，所以3M〃平面PAD.

（2）因为PD_L平面ABCD,A。,DCu平面ABCD,

则尸D_LAD,PDVDC,且A£）_LZ）C,

以。为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为了,z轴，

建立空间直角坐标系。-孙z,如图所示，

因为AB//OC,AB^-DC,则AB=DE.

2

又因为AD_L£>C,所以四边形ABED为矩形，

且AB=AD=2,可知四边形ABED是以边长为2的正方形，

则£>（0,0,0）,4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,M（0,2,1）,

可得（2,0,0），W=（0,2,1）,丽=（2,2,0）,

设平面以加的法向量为元=（久,y,z）,所以｛—.',

hDB=2x+2y=0

令y=T,贝壮=1,z=2.所以平面的一个法向量为万=（1,-1,2）,

易知力3为平面的一个法向量,

一fi-DA2V6

所以c°s=丽=旃3=不

所以平面PDM和平面DMB夹角的余弦值为—.

6

18.已知一组动直线方程为(左+l)x+(Z-l)y-5左-3=0.

(1)求证：直线恒过定点，并求出定点尸的坐标；

(2)若直线与x轴正半轴，、轴正半分别交于点A,8两点，求A4O8面积的最小值.

【答案】定点为(4,1),最小值为8.

【分析】(1)直线方程按k分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：直线恒过定点.

(2)根据点斜式写出直线方程，求出AAO8面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小值.

【详解】(1)直线方程优+l)x+伙一1)》一5左一3=0,整理可得：k(x—y—5)+(x-y—3)=0恒成立，由止匕

x-y-5=0,x-y-3=0,解得x=4,y=l,由此直线恒过定点(4,1).

(2)直线分别交X轴的正半轴，y轴正半分别交于点4,2两点，设直线方程为y-l=k(x-4)其中k<0.令x=0,

y=1-4k=OB；令y=0,x=4--=OA,所以

k

当一J时取等号,y

S=-xOAxOB=-|l-4k|x4--==8

2211k

【点睛】本题较难，考查直线恒过定点的知识，三角形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力,

转化思想的应用.

19.在四棱锥P-ABCD中，ARIB是等边三角形，四边形A8CO是矩形，AB=2,AD=2百，PB±AD,E是棱

尸。的中点.

⑴求证：PA±BE；

⑵求二面角P-AE-B的正切值.

【答案