巧解圆锥曲线的离心率问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】................................................2

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】................................................3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】............................................3

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】..................................................4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】......................................................5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】......................................................5

【题型7函数法求离心率或其范围】............................................................6

【题型8坐标法求离心率或其范围】............................................................7

►命题规律

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或

填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何

关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线的离心率】

1.椭圆的离心率

⑴离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比反称为椭圆的离心率用e表示，即e=£.

aa

(2)离心率的范围：0<e<l.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于0,从而b=7金一c1越小,因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0,从而钎不越接近于。，因此椭圆越接近于圆；当且仅当。=6时，c=0,这时两个焦点重合，

图形变为圆，它的方程为/+*=

2.求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：

(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=;求解.

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=—与求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出。与。的关系，从而求得

e.

3.双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比(，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e>l.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为所以e越大，，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=，5.

4.求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有凡4c的齐次方程(或不等式)，借助于〃=>一消去从转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

5.抛物线的离心率

抛物线的离心率e=l.

【知识点2离心率的范围问题的求解方法】

1.不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的

斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等关系进行求解.

2.函数法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3.坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

►举一反三

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】(2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测)已知双曲线的两个焦点分别为(4,0),(-4,0),点(4,—6)在该双

曲线上，则该双曲线的离心率为()

A.V3B.3C.2D.V2

【变式1-1](2024・广西贵港•模拟预测)已知正方形N3C。的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分

别为边AD和8c的中点，则该椭圆的离心率为()

【变式1-2]（23-24高二下•山西晋城•阶段练习）已知尸0尸2是椭圆。捺+/=1（（1>匕>0）的两个焦点，

M为C的顶点，若△MFiE的内心和重心重合，则C的离心率为（）

A.—B.—C.-D.-

3223

【变式1-3]（2024•陕西商洛•三模）已知双曲线。捺―，=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,，若C

上存在点P,使得|PFil=3IP&I，则C的离心率的取值范围为（）

A.[V2,+oo）B.（1,V2]C.[2,+oo）D.（1,2]

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】

【例2】（2024•浙江杭州三模）已知双曲线捺―9=1（“>°）上存在关于原点中心对称的两点4B,以

及双曲线上的另一点C,使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A.（V2,+oo）B.（V3,+oo）C.（2,+oo）D.律,+8）

【变式2-1]（23-24高二下•山西运城・期中）已知Fl,分别是椭圆。《+9=1（。>0）的左、右焦点，过

点6的直线交C于A,B两点，若|加引+出尸21的最大值为8,贝IJC的离心率为（）.

A.遗B・里C.渔D.i

3232

【变式2-2]（2024•四川•模拟预测）已知双曲线E:5一，=l（a>0,6>0）,£4分别为E的右焦点和左顶点，

点M（—2,3）是双曲线E上的点，若的面积为玄则双曲线E的离心率为（）

A.V3B.2C.yD.V6

22

【变式2-3]（2024•陕西铜川•模拟预测）已知FI，F2是椭圆后:a+左=1（。>b>0）的左、右焦点，若E上

存在不同的两点A,B,使得互1=7^贝UE的离心率的取值范围为（）

A.（0,V2-1）B.（0,V2-1]C.（3-2V2,1）D.[3-2&,1）

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】

【例3X2024•广东深圳•二模）P是椭圆C：5+，=l（a>6>0）上一点,鼻、尸2是C的两个焦点，耐•可=

。，点Q在4尸正尸2的平分线上，。为原点，OQIIPFi，且|0Q|=6.贝UC的离心率为（）

【变式3-1］（2024•江西南昌•三模）已知双曲线C:?-9=l（a>03>0）的左、右焦点分别为%,吃.过户2

作直线/与双曲线C的右支交于4B两点，若AFiTlB的周长为106,则双曲线C的离心率的取值范围是（）

.停，网停，网

AB.D.[2,+oo)

【变式3-2］（2024•河北邯郸•模拟预测）已知双曲线C：l（a>0,b>0）,。为坐标原点，％、F2

分别为C的左、右焦点，点尸在双曲线上，且PF2，久轴，初在NF2PF1外角平分线上，且无标•两=0.若1。921=

\F2M\,则双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3

【变式3-3］（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆C:5+，=l（a>b>0）,直线I:y=+a）与椭圆C

交于4B两点（B点在4点上方），。为坐标原点，以。为圆心，|0阴为半径的圆在点B处的切线与%轴交于点D,

若48。力〉NB力。，贝IJC的离心率的最大值为（）

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】

【例4】（2024•广西桂林•模拟预测）已知％、或是双曲线C：5—，=1的左、右焦点，过B作双曲线一条

渐近线的垂线，垂足为P,且|P%|2+|PF2|2=862,则双曲线C的离心率为（）

A.-B.-C.—D.—

3433

【变式4-1］（2024・陕西安康•模拟预测）设4B分别为椭圆嗒+/=1（（1>6>0）的左、右顶点，M是C

上一点，且|M川:|MB|:|4B|=3:5:7,则C的离心率为（）

A3n3八底C7V286

A.-B.-C.--D.——

5711143

【变式4-2］（2024•四川成都•模拟预测）设点%,4分别为双曲线。《一/=l（a>0,b>0）的左、右焦点,

点4,2分别在双曲线C的左，右支上.若序=6及I,AF21BF2,且I祈I>I两I，则双曲线的离心率为

（）

,17-13V85V65

A-TB.《C.—D.—

【变式4-3］（23-24高二上•浙江杭州•期中）双曲线C：S-9=1（（1>0">0）的左，右焦点分别为％,F2，

O为坐标原点，过乙作。的一条渐近线的垂线，垂足为。，且|。尸21=夕1。/，则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.3

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】

【例5】（23-24高二上・安徽黄山•期末）已知点%是椭圆5+，=19>。>0）的左焦点，过原点作直线2

交椭圆于4、B两点，M、N分别是4％、BFi的中点，若NMON=90。，则椭圆离心率的最小值为（）

A.-B.—C.-D.—

4422

【变式5-1]（23-24高三上・云南曲靖•阶段练习）已知Fi，F2,分别为双曲线9一，=1（a>0,b>0）

的左、右焦点，M为双曲线左支上任意一点，若黑的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是（）

A.（I,1]B.（2,4]

C.（1,3]D.（3,5]

【变式5-2]（23-24高二•全国•课后作业）已知％,尸2分别为双曲线捻一，=19〉。">0）的左、右焦点,

P为双曲线右支上任意一点，若鬻的最小值为8a,则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,2）B.（1,3）C.（1,3]D.（2,4）

22

【变式5-3]（2024・河南•二模）从椭圆。会+3=l（a>b>0）外一点PQo，yo）向椭圆引两条切线，切点分

别为4B,则直线称作点P关于椭圆C的极线，其方程为簧+皆=1.现有如图所示的两个椭圆的,。2,离

心率分别为ei，e2，C2内含于右，椭圆的上的任意一点M关于C2的极线为若原点。到直线/的距离为1,则好-

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】

【例6】（2024•安徽合肥•模拟预测）已知椭圆的：5+y2=1（根>1）与双曲线。2：5―y2=i（n>0）的

焦点重合，e1；02分别为Ci，C2的离心率，则（）

A.ere2>2B.g+3>2

C.0VV2D.0V+e2V2

2222

【变式6-1］（2024•山东荷泽•一模）已知e。生分别为椭圆滔■+表■=1（。>b>。）和双曲线滔■一,=1的离心

率，双曲线渐近线的斜率不超过丝，则丝的最大值是（）

5ei

A.2B.3C.4D.5

【变式6-2X2024•全国•模拟预测）已知椭圆的:《+5=l（m>n>0）与双曲线。2：5—，=l（a>0,b>0）

有共同的焦点%,尸2，点P为两曲线的一个公共点，且N%PF2=60°,椭圆的离心率为ei，双曲线的离心率

为02，那么修+用最小为（）

A2+V3-2+V3C3+2V2c3+2V2

A.-----B.-----C.-------D.-------

4242

【变式6-3］（23-24高二上•湖北荆州•期末）已知B,&是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共

点，且|P%|>|PF2l，线段PFi的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为双曲线的离心率为62,则?

的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

【题型7函数法求离心率或其范围】

【例7】（2024•全国•模拟预测）已知椭圆「:5+，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi'，点P在椭圆「

上，且西•配=0.若瞿6［1,3］,则椭圆「的离心率的取值范围是（）

1"户2|

A•层1）B.性用C.盟D.［1,4-2V3］

【变式7-1］（2024•河北邯郸•二模）已知直线2：ab久一（4a-l）y+m=0（a>4）与双曲线表一三=

l（a>0,b〉0）的两条渐近线交于48两点，。为坐标原点，若△0/8为直角三角形，则双曲线的离心率

e的最大值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【变式7-2］（2024•辽宁・模拟预测）已知Q是椭圆”:£+，=1（0<b<3）上的动点，若动点Q到定点P（2,0）

的距离|PQ|的最小值为1,则椭圆M的离心率的取值范围是（）

A.肉1）B.（0百C.怜1）D.（0,弓

【变式7-3］（2024・四川・模拟预测）已知双曲线。《一'=1（（1>03>0）,七,尸2为。的左、右焦点，8（0,4幼,

直线8尸2与C的一支交于点P，且耨=2（221）,则C的离心率最大值为（）

A.V5B.2C.2V2D.2V5

【题型8坐标法求离心率或其范围】

22

［例8］（23-24高二下•湖北武汉•阶段练习）已知4F分别为椭圆为+>=l（a>b>0）的左顶点和左焦点,

直线y=依与椭圆交于B,C两点，若直线CF交线段AB于M,前=［荏，则椭圆的离心率为（）

A.坦B.iC.小D.辿

3245

【变式8-1］（23-24高三上•河北保定•阶段练习）已知双曲线。/一/=1（6>0）,点P（2,0）,（?（3,0）,若C

上存在三个不同的点M满足|MQ|=2|MP|,贝!|C的离心率的取值范围为（）

AV15.口V30.八V15、门V30、

A.（1）—）B.（1,—）C.r（—,+oo）D.r（—,+oo）

【变式8-2］（2024•福建泉州•模拟预测）椭圆E：5+，=1（。>6>0）的左右焦点分别为％/2，点

—>

P（0,m）（m>b）,线段P%,PB分别交E于4B两点，过点B作E的切线交P%于C,且BLP%=0,P8=2BF2,

则E的离心率为（）

A.iB.也C.3D.班

2223

【变式8-31（23-24高二上•湖北•期中）己知双曲线一5=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别为Fi（-c,0）,

F2（c,0），过点Fi的直线।与双曲线C的左支交于点力，与双曲线C的一条渐近线在第一象限交于点B,且IBF2I=

2\OB\（。为坐标原点）.下列三个结论正确的是（）

①B的坐标为（a,b）；②|B%|—|B&I>2a；③若荏=3帝,则双曲线C的离心率上严；

A.①②B.②③C.①③D.①②③

►过关测试

一、单选题

1.（2024・湖北武汉•模拟预测）设椭圆E:5+，=l（a>匕>0）的左右焦点为91，尸2,右顶点为4已知点P

在椭圆E上，若=90°,NPHF2=45。，则椭圆E的离心率为（）

A.1B.yC.2-V2D.V3-1

2.（2024•四川雅安•三模）设％分别为双曲线C。—，=l（a>0">0）的左右焦点，过点尸2的直线交

双曲线右支于点M,交y轴于点N,且尸2为线段MN的中点，并满足互行1,，则双曲线C的离心率为（）

A.B.V3+1C.2D.V5+1

22

3.（2024•陕西咸阳•模拟预测）设%,尸2分别是椭圆日出+与=l（a>b>0）的左、右焦点，过的直线

交椭圆于A,B两点，且丽•用=0,旃=2取，则椭圆E的离心率为（）.

A.—B.—C.-D.-

2345

4.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知双曲线C5—，=l（a>0,b>0）,%（—c,0）、分别为左、右

焦点，若双曲线右支上有一点尸使得线段PFi与了轴交于点E,\PO\=\PF2\,线段E&的中点X满足布•

恒=0,则双曲线的离心率为（）

22

5.（2024・广东・一模）已知点尸，/分别是椭圆讶+方=l（a>b>0）的左焦点、右顶点，3（0㈤满足

丽•适=0,则椭圆的离心率等于（）

AV3+1DV5-1cV3-1nV5+1

A.---D.---C.---D.-------

2222

6.（2024・辽宁・模拟预测）已知椭圆的与双曲线。2有共同的焦点％,F2，P是椭圆的与双曲线。2的一个公共点,

且*，其离心率分别为ei，02,则3e”e湖最小值为（）

A.3B.4C.6D.12

22

7.（2024•河南濮阳・模拟预测）点M是椭圆表+会=1（（1>6>0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭

圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点，若APOM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（2-V3,1）B将，1）

C.胃1）D,胃冷）

8.（2024•四川德阳•模拟预测）已知双曲线/:胃—/=19>0为>0）的焦距为2°,右顶点为/,过/

作x轴的垂线与E的渐近线交于M、N两点，若SMONN*2,则E的离心率的取值范围是（）

B.殍回C.[V2-V3]D.[V3,2]

二、多选题

9.（2024•甘肃酒泉•三模）已知椭圆《+，=1（。>6>0）上存在点「，使得|PFi|=4|P&I，其中F1/2分

别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）

D.V3-1

10.（2024・河南信阳•模拟预测）已知双曲线C。—/=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为尸式一。,0）,尸2匕0），

直线2:bx+ay-%=0与C相交于点M,与C的一条渐近线相交于点N,C的离心率为e,则（）

A.若NF11NF2，贝！k=2B.若MF1I.MF2，则e=2夜

C.若|N4I=2|MF21，贝卜=/D.若IMF/25|"41，贝！JeW加

11.（2024・贵州贵阳•三模）双曲线C:《—/=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为点%,去，斜率为正的渐

近线为过点F2作直线。的垂线，垂足为点4交双曲线于点P，设点M是双曲线C上任意一点，若|P&I=

^\AF2\,SApF1p2=则（）

A.双曲线C的离心率为遥

B.双曲线C的共辗双曲线方程为产―1

4

C.当点M位于双曲线c右支时，旨e（i,萼]

D.点M到两渐近线的距离之积为3

三、填空题

12.（2024•山东济南•三模）已知％、%是椭圆5+，=1。>力>0）的左，右焦点，点P为椭圆上一点，。

为坐标原点，△PO&为正三角形，则