2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷

-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（）A． B． C． D．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+14.如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（）A．25° B．30° C．28° D．32°5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．45°6.如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为（）A． B． C． D．如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，若△ABC的面积为2，则k的值是（）A． B． C． D．8.如图所示，直径为的经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则为（）

A． B． C． D．9.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（）A． B．C． D．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知，则的值为．12.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____．13.如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．16.如图，，，，，．求的长度．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；（2）将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE的距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，）20.如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．六、（本大题1小题，满分12分）21.如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；(2)连接、，求的面积；(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．七、（本大题1小题，满分12分）22.在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）若时，，则d的取值范围是______．（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．八、（本大题1小题，满分14分）23.（1）问题如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．（2）探究若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．

2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选B．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题目的已知设AC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出BC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】在△ABC中，∠C＝90°，，∴设AC＝4a，AB＝5a，∴，∴．故选：A．将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x+2）2+1 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣3（x+2）2﹣3 D．y＝﹣3（x﹣2）2+1【答案】C【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3．故选：C．4.如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（）A．25° B．30° C．28° D．32°【答案】C【分析】由旋转性质可得出是等腰三角形，即可得出，即可得出的度数．【详解】解：由旋转可知：，∴，∴，∴，∴．故选：C．5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．45°【答案】C【分析】连接CD，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=55°，再利用互余得出∠CAD的度数．【详解】如图所示：连接CD，∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=55°，∴∠CAD=90°-∠D=90°-55°=35°．故选：C．6.如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，，，故选：B．如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，若△ABC的面积为2，则k的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点B的坐标，根据平行知点A、B的纵坐标相同得到点A的纵坐标，再代入y1的解析式求出点A的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：点B在上，设B(a，)，∵AB∥x轴，∴∵点A在上，∴∴∴A∴AB==a-ak，∴即1-k=4，解得k=-3．故选A．8.如图所示，直径为的经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】设交x轴于D点，连接，如图，根据圆周角定理得到为的直径，，再利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求出，从而得到的值．【详解】解：设交x轴于D点，连接，如图，

∵，∴为的直径，即，∵点，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A．9.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵抛物线与y轴交点在负半轴，∴，∵对称轴为，∴，∴，故①正确；∵抛物线的对称轴为，∴，∴，故②正确；∵函数与直线有两个交点．∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；∵时，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，故④正确，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知，则的值为．【答案】/0.4

【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．【详解】解：设，∴，，∴=，故答案为：．12.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____．【答案】【解析】【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【详解】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，设小正方形的边长为1，则AE=3，BE=4，所以tan∠ABC=，故答案：13.如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是．【答案】【分析】连接，可得，利用等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：连接，如下图：则，∵，∴，故答案为：14.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝．【答案】【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．【答案】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：原式=﹣+=．【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数值，掌握运算法则是解本题的关键．16.如图，，，，，．求的长度．【答案】【分析】先证明，再证明，得出，代入数据求值即可．【详解】解：，，，，，，，．95．【发现问题】四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径．

【答案】该门洞的半径为．【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为，根据题意，得，，

根据勾股定理，得，解得，答：该门洞的半径为．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0.（1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；（2）将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．【小问1详解】解：如图，△A1B1C1即为所求；【小问2详解】解：如图，△A2B2C2即为所求．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE的距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，）解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为∴四边形是矩形，在中，在中，即∴点C到直线AE的距离为20.如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）可利用是圆的切线来求证，根据切于点，于点，得到（都和垂直），可根据内错角相等和等边对等角，将相等角进行替换即可得出；（2）连接交于，交于，得到，从而，有，由（1）知，，由垂径定理可得，，由三角形中位线定理可知，，由得到，，代入得到，解得．【详解】（1）证明：切于点，，于点，，，在中，，，，平分；（2）解：连接交于，交于，如图所示：，由（1）知，，由垂径定理可得，由三角形中位线定理可知，，由（1）知，，，，，，，，，即，解得．六、（本大题1小题，满分12分）21.如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点．(1)求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式；(2)连接、，求的面积；(3)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】(1)、；(2)4(3)【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；（2）求得C的坐标，然后根据求得即可；（3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．【详解】（1）解：把，两点的坐标代入，得，，解得，则、，把代入，得，∴反比例函数的表达式为；（2）解：∵一次函数的图象与y轴交于点C，∴，∴，∵、，∴；（3）解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，∵，∴此时的值最小，设直线的解析式为，把点，的坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，当时，，解得：，∴点P的坐标为．七、（本大题1小题，满分12分）22.在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物线的解析式．（2）若时，，则d的取值范围是______．（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够