2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷

-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（

）A．B． C． D．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm3.一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（

）A． B． C． D．4.如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．40°5.如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（

）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．36.如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（

）A．65 B．75 C．85 D．1307.小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，、假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径是（

）毫米．A．6 B． C． D．88.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（

）A． B．C． D．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）11.已知，则的值为．12.在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为．13.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______．14.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于．三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）15.计算：(1)(2)如图，已知，，，求的长．【答案】四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人．（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；(2)求w与x之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，

量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．20.如图，的弦，的延长线交于点P，连接，．(1)求证：；(2)若，，．求的长．六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）21.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图像直接写出不等式时的解集．七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）22.．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值；(3)已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标．八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．）23.【发现问题】如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；②图2中的度数是______．（3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．

2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故选：C．3.一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．【详解】解：画出树状图：根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，∴两次都摸到红球的概率是＝；故选：D．4.如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（

）A．20° B．25° C．30° D．40°【答案】B【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可．【详解】解：∵OC⊥AB，∴∠AHO=90°，∵∠OAB=40°，∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°，∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°，故选：B．5.如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（

）A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3【答案】A【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可．【详解】解：∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，∴S△AOC=×|2|=1，又∵S△AOB=3，∴S△BOC=3-1=2，∴|k|=2，而k＜0，∴k=-4，故选：A．6.如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（

）A．65 B．75 C．85 D．130【答案】C【分析】根据平行可知∠DAB=180°－95°=85°，故旋转了85°．【详解】∵DE∥AB，∴∠DAB＝180°－∠D，∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，∴∠DAB=180°－95°=85°，∴n=85°，故选：C．7.小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，、假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径是（

）毫米．A．6 B． C． D．8【答案】B【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径．【详解】解：如图，设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，则，，∵，∴，在中，，∴．故选B．8.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB．【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，∴，∴（cm），故选：C．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90【答案】B【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可．【详解】解：∵∴米∵∴米∴米故选B．如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把-

代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【详解】解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x=2，所以＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；由图象可知OA＜1，∵OA=OC，∴OC＜1，即-c＜1，∴c＞-1，故③正确；假设方程的一个根为x=，把x=代入方程可得，整理可得ac-b+1=0，两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，即方程有一个根为x=-c，由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）11.已知，则的值为．【答案】【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可．【详解】解：设，∴，，∴=，故答案为：．12.在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为．【答案】8【分析】根据频率估计摸到红球的概率，可以得到摸到黑球概率，从而可以求得总的球数，可以得到红球的个数．【详解】解：由题意可得摸到红球的概率为0.8∴摸到黑球的概率为1－0.8=0.2∴总的球数为2÷0.2=10（个）∴红球有：10－2=8（个）故答案为：8．13.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______．【答案】50【解析】【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°．【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置，，，，//，，，，，故答案为50．14.如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于．【答案】【分析】根据折叠可得四边形ABNM是正方形，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，可求出三角形FNC的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，可得三边的比为3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，通过PG=HN，列方程解方程，进而求出PF的长，从而可求PE的长．【详解】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，由折叠得：四边形ABNM是正方形，AB=BN=NM=MA=5，CD=CF=5，∠D=∠CFE=90°，ED=EF，∴NC=MD=8-5=3，在中，∴MF=5-4=1，在中，设EF=x，则ME=3-x，由勾股定理得，，解得：，∵∠CFN+∠PFG=90°，∠PFG+∠FPG=90°，∴∠CFN=∠FPG，又∵∠FGP=∠CNF=90°∴，∴FG：PG：PF=NC：FN：FC=3：4：5，设FG=3m，则PG=4m，PF=5m，四边形ABNM是正方形，∴GN=PH=BH=4-3m，HN=5-（4-3m）=1+3m=PG=4m，解得：m=1，∴PF=5m=5，∴PE=PF+FE=，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）15.计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解；（2）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：．如图，已知，，，求的长．【答案】【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，得出，然后代入数据计算即可．【详解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．）17．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人．（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图．（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率．解：（1）本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人），故答案为：80；(2)被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人），补全的条形统计图如下所示：把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图如下：共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是个；(2)求w与x之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)(2)(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．【详解】（1）解：在中，令得，，故答案为：；（2）解：根据题意得，，即w与x之间的函数关系式为：；（3）解：，∵，∴当时，w取最大值，最大值为，即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，

量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，)(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm(2)点A到直线的距离约为21.5cm【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N由题意可知，，在中，，∴．答：点C到直线的距离约为．（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，∴在中，，，∴，∴．答：点A到直线的距离约为21.5cm．20.如图，的弦，的延长线交于点P，连接，．(1)求证：；(2)若，，．求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据圆内接四边形的性质证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论；（2）根据相似三角形的性质得出，代入数据求出，再根据线段之间的关系即可得出结果．【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，又，∴．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴．六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）21.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图像直接写出不等式时的解集．【答案】(1)(2)6(3)或【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案.（3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案.【详解】（1）解：把代入得：所以反比例函数的解析式为：把代入得把代入得：解得：所以一次函数的解析式为：（2）解：为令则即（3）解：由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，所以：或七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．）22.．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值；(3)已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标．【答案】(1)(2)当时，有最大值，最大值是(3)点的坐标为，，，【分析】（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入