安徽省合肥市肥西县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

~2024学年度（上）教学诊断练习九年级数学（满分100分考试时间100分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.2.如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（）A. B. C. D.3.如图，中，，，若，则（）A. B. C. D.4.小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（）A.m B.150m C.m D.100m5.将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）A. B.C. D.6.如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A.3 B.3或 C.3或 D.8.如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.9.二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个10.如图，中，，，是角平分线，则的面积与面积的比值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.已知，则___________．12.比较大小：_______（用“”或“”填空）．13.已知反比例函数，当时，x的取值范围是____________14.烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．15.如图，是斜边上高，是中点，连接并延长交于点E，已知，求____________（用含k的代数式表示）．三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19、20题每题10分，第21题12分，共50分，要有解题的主要过程）．16.计算：．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．（1）画出关于y轴的轴对称图形；（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．18.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（）与燃烧时间（）之间关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求一次函数和反比例函数表达式；（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？19.夏季炎热，某景点想修建如图所示的简易遮阳棚．点D，A，E在同一水平线上，测得，，米，米，求遮阳棚最高点B到地面的距离的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）20.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是第二象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点P纵坐标为5，求的面积；（3）设四边形的面积为S，求S的最大值．21.为等边三角形，D为上一点，以为边作，与外角平分线交于点E．（1）如图1，求证：；（2）若的边长为6；①如图1，当时，求的长；②如图2，设与相交于点G，连接，当时，求线段的长．

2023~2024学年度（上）教学诊断练习九年级数学（满分100分考试时间100分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每个小题的下面给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个答案是正确的，请把所选项前的字母代号填入下表内．1.下列函数中，是二次函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；B项，不是二次函数，故本项不符合题意；C项，不是二次函数，故本项不符合题意；D项，不是二次函数，故本项不符合题意；故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中

．2.如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则下面四个等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据∠B的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴c=，A选项等式不成立；∵cosB=，∴a=c•cosB，B选项等式成立；∵tanB=，∴a=，C选项等式不成立；∵tanB=，∴b=a•tanB，D选项等式不成立；故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．3.如图，在中，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，可得再建立方程即可．【详解】解：，，，解得：经检验符合题意故选C【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键．4.小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（）A.m B.150m C.m D.100m【答案】B【解析】【分析】根据题意，画出图形，如下，根据坡比为，可设米，则米，根据勾股定理求解即可．【详解】解：根据题意，画出图形，如下：由题意可得，，设米，则米，由勾股定理可得：，即解得，即米，他升高了150m，故选：B【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的概念，根据题意，正确画出图形．5.将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解．【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是，即，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．6.如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．【详解】解：∵高BD、CE相交于点F，

∴∠BEC=∠BDC=90°，

∵∠BFE=∠CFD，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACE，

∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA，

∴△FBE∽△ABD，

同理可得△FCD∽△ACE，

∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD．

故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.7.如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为()A.3 B.3或 C.3或 D.【答案】B【解析】【详解】如图，当△APQ∽△ABC时，，即，解得AQ=，如图，当△AQP∽△ABC时，，，解得AQ=3，故选B．【点睛】相似常见图形：（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图，有“A型”与“X型”图）（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：8.如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象，逐项判断符号，即可求解．【详解】解：A、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C、由二次函数图象，可得，一次函数图象，可得，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D、由二次函数图象，可得，，一次函数图象，可得，，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到符号是解题的关键．9.二次函数的部分图象如图．对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】C【解析】【分析】抛物线开口向下，且交y轴于正半轴及对称轴为x=，推导出a＜0，b＞0、c＞0以及a与b之间的关系：b=-a；根据二次函数的对称性可得出4a-2b+c＜0；当a＜0时，距离对称轴越远x所对应的y越小；由抛物线开口向下，对称轴是x=，可知当x=时，y有最大值．【详解】∵抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵对称轴，即b=-a，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），∴4a+2b+c=0，又可知b=-a，∴0=-4b+2b+c，即-2b+c=0，故②正确；∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（2，0），且对称轴为直线x=∴点（2，0）关于对称轴的对称点为（-1，0），∴当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③不正确；∵抛物线开口向下，对称轴是直线x=，且，∴y1＞y2，故选④正确；∵抛物线开口向下，对称轴是x=，a=-b，∴当x=时，抛物线y取得最大值，当x=m时，ym=am2+bm+c=m（am+b）+c，且m≠，∴ymax＞ym，故⑤正确，综上，结论①②④⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，需要充分掌握二次函数各系数的意义，以及它们跟二次函数图象之间的联系．10.如图，中，，，是角平分线，则的面积与面积的比值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，可以求得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线定义，可得∠BCD=∠ACD=36°；根据两角对应相等，得△DBC∽△BCA，则相似三角形的面积比是相似比的平方．设AB=x，BC=y，根据等腰三角形的性质，则AD=CD=BC=y，则BD=x-y．根据相似三角形的性质求得y：x的值即可．【详解】设AB=x，BC=y.∵△ABC中,AB=AC,∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CD角平分线，∴∠BCD=∠ACD=36°.∴AD=CD=BC=y，∴BD=x−y.∵∠BCD=∠A=36°,∠B=∠ACB=72°，∴△CDB∽△ABC.∴.即，x2−xy−y2=0，x=y(负值舍去).则∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是.故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解一元二次方程-公式法,三角形的面积,等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的性质和二次方程的运用.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11.已知，则___________．【答案】##0.2【解析】【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．【详解】解：由条件得：，则，故答案为：．【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．12.比较大小：_______（用“”或“”填空）．【答案】＞【解析】【分析】根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）即可得结论．【详解】解：∵45°＜55°，

∴cos45°＞cos55°．

故答案为：＞．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）．13.已知反比例函数，当时，x的取值范围是____________【答案】或【解析】【分析】本题考查求反比例函数自变量的取值范围．根据反比例函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵，∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，随的增大而减小，当时，，∴当时，，又当时，，符合题意；∴当时，x的取值范围是或；故答案为：或．14.烟花厂某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s．【答案】5【解析】【分析】由，可得当时，函数取最大值，从而可得答案.【详解】解：，当时，最大高度为所以从点火升空到引爆需要的时间为5s.故答案：5【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解函数取得最大值时的值是解本题的关键.15.如图，是斜边上的高，是中点，连接并延长交于点E，已知，求____________（用含k的代数式表示）．【答案】【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．先证明，得到，设，求出的长，进而求出的长，过点作，交的延长线于点，证明，，进而得到，，求解即可．解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形．【详解】解：∵是斜边上的高，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则：，∴，∴，过点作，交的延长线于点，∴，∵是中点，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴；故答案为：．三、解答题（本题共6题，第16题4分，第17题6分，第18题8分，第19、20题每题10分，第21题12分，共50分，要有解题的主要过程）．16.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案，熟记特殊角三角函数值是解题关键．【详解】，，．17.如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，按要求解决下列问题．（1）画出关于y轴的轴对称图形；（2）以点O为位似中心，在第一象限中出画出，使得与位似，且相似比为．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查轴对称及位似，熟练掌握轴对称及位似性质是解题的关键；（1）分别得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后连线即可；（2）由（1）及位似的性质可进行作图【小问1详解】解：如图所示，即为所求．【小问2详解】解：如图所示，即为所求．18.某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（）与燃烧时间（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求一次函数和反比例函数表达式；（2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？【答案】（1），（2）分钟【解析】【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，令，分别代入（1）中解析，求得的值，由函数图象可得：当时，毫克，即可求解．【小问1详解】设反比例函数解析式为，将代入解析式得，反比例函数解析式为，将代入解析式得，，，故A点坐标为，反比例函数解析式为，设正比例函数解析式为将代入得：，正比例函数解析式为【小问2详解】由可得：当时，，由可得：当时，，由函数图象可得：当时，毫克，分钟，师生至少在60分钟内不能进入教室．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．19.夏季炎热，某景点想修建如图所示的简易遮阳棚．点D，A，E在同一水平线上，测得，，米，米，求遮阳棚最高点B到地面的距离的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）【答案】遮阳棚最高点到地面的距离的长为米【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，以此得到，，根据平行线的性质可得，进而得，根据三角函数分别求出、，以此即可求解．本题主要考查解直角三角形的应用，结合题目意思，构造合适的直角三角形解决问题是解题关键．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，，，，，在中，，，，，在中，，．遮阳棚最高点到地面的距离的长为米．20.如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，点P是第二象限内抛物线上的一点．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）若点