河北省唐山市玉田县2025届高三上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省唐山市玉田县2025届高三上学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，其中满足，故.故选：B2.已知向量，，若，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以，解得，故选：A.3.若与均为定义在R上的奇函数，则函数的部分图象可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为与均为定义在R上的奇函数，所以，又因为的定义域为R且关于原点对称，且，所以hx故图象关于轴对称且，符合要求的只有选项B，故选：B.4.当时，函数，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，解得，或，又，则，故，解得，或，即的取值范围是.故选：D.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，同时除以，得，即，故选：C.6.设的实部与虚部相等，且实部不为，的虚部是实部的倍，且在复平面内对应的点位于第三象限，则“在复平面内对应的点位于第一象限”是“在复平面内对应的点位于第二象限”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，不妨设，，若在复平面内对应的点位于第一象限，则，则，所以的实部，虚部，故对应点在第二象限，所以“在复平面内对应的点位于第一象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第二象限”；若在复平面内对应的点位于第二象限，由上可知，所以3a5b<0-a5b>0且所以“在复平面内对应的点位于第二象限”可以推出“在复平面内对应的点位于第一象限”；由上可知，属于充要条件，故选：C.7.函数的所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，则函数的零点即函数与函数在上的交点的横坐标.对于函数，其最小正周期为，当时，函数单调递减，函数值从3减小到-3,当时，函数单调递增，函数值从-3增大到3.类似可得函数在区间上的图象变化情况.如图分别作出和在上的图象如下.由图可知，两函数在上的图象关于直线对称，故两者的交点与也关于直线对称，故即函数的所有零点的和为故选：C.8.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以在0,+∞上均单调递增，所以，即，对于，构造函数，易知时，f'x>0，即此时函数单调递增，则所以，因为在0,+∞上单调递增，所以，综上.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若复数，是方程的两个根，则（）A.为纯虚数 B.C. D.【答案】ABD【解析】方程，，方程的根为，即方程的根为，，不妨设，，则为纯虚数，故A正确；，故B正确；，故C错误；，则，故D正确.故选：ABD.10.如图，在中，，，点分别边上，点均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（）A.的面积为 B.C.先增后减 D.的最大值为【答案】ACD【解析】取中点，连接，则，且，所以的面积为A正确.过作，垂足为，设与交于点，由等面积法可得，则由，得，则，所以，则，则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，B错误，C，D均正确.故选：ACD11.已知，，且不等式恒成立，则（）A.的最小值为 B.的最大值为C.的最小值为 D.的最大值为【答案】AB【解析】由，，则不等式，令，则，又，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立；则，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当，即时，等号成立；故，当且仅当时，等号成立；所以，解得，因此可得的最小值为，的最大值为，故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.___________.【答案】【解析】原式.13.将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则___________.【答案】【解析】由题可知.由可得：，则，解得.14.已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为______．【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，设Px,y，是中点，则,由可得,故，所以，故当时，取到最小值，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在上的值域为.（1）求；（2）将的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，求的解析式与单调递增区间.解：（1）因为，所以，令，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，，当时，，所以，且，所以.（2）的图象上所有点的横坐标变为原来的可得，的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得；令，所以，所以的单调递增区间为().16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积的最大值．解：（1）由，可得，即，所以，，因，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立．故△面积最大值为．17.如图，某铁皮制成的无盖容器的上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，且圆锥与圆柱同底等高，圆柱与圆锥无铁皮的阻隔，已知圆锥的母线长为分米.（1）忽略铁皮的厚度，求该容器的容积的最大值；（2）设铁皮的价格为每平方分米元，当该容器的容积取得最大值（忽略铁皮的厚度）时，求需要的铁皮的总费用.解：（1）设圆锥与圆柱的底面半径为，则圆锥与圆柱的高为，则圆锥的体积，圆柱的体积，则该容器的容积，，由，，则，则，则，当时，，则在单调递增；当时，，则在单调递减；故当分米，分米时，取得最大值为（立方分米），即该容器的容积的最大值为立方分米.（2）由（1）知当该容器的容积取得最大值时，圆锥与圆柱的底面半径为分米，则圆锥与圆柱的高为分米，则圆锥的侧面积（平方分米），圆柱的侧面积（平方分米），则该容器的表面积为（平方分米），又（元），则需要的铁皮的总费用为元.18已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若曲线与在上至少有一个交点，求的取值范围；（3）若，、，且，，求的最小值．解：（1）当时，，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即．（2）由，得，令，其中，则，其中，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．所以，，所以，则的取值范围为．（3）因为、，且，，所以，设函数，则，可得在上单调递减，所以在上恒成立，即对时恒成立．设，则．设，则，令，解得．当时，，则单调递减，当时，，则单调递增．，，当时，，，则，，所以存在，使得，即．当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，所以当时，取得最大值．，当时，，又整数，所以的最小值为．19.设函数的定义域为D，若，，则称为“循环函数”.（1）试问函数是否为“循环函数”？说明你的理由.（2）已知函数，证明：存在常数C，使得为“循环函数”.（3）已知对任意，函数，都满足.①证明：为“循环函数”.②若，证明：当时，.提示：设，当时，.解：（1）由题可知，当时，fx=所以此时，当时，，此时，当时，，所以此时，故满足，所以fx=e-x-1,x≤0（2）由题可知，显然，，易知的定义域为，要使任意满足，则，所以不妨令，则，此时，故存在常数C，使得为“循