广东省茂名市化州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省茂名市化州市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第一部分选择题（共58分）一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，所以.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,,故选:C.3.已知向量，，则与的夹角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，，所以，又，所以.故选：C.4.圆的圆心到直线的距离是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由题意可得：圆的一般方程为，转化为标准方程：，即圆的圆心坐标为，因为直线方程为，所以圆心到直线的距离为故选：D.5.在空间四边形中，、分别是、的中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意易知是的中位线，即，所以.故选：C.6.已知为锐角，，角的终边上有一点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为为锐角，，则，所以，，由三角函数的定义可得，因此，.故选：A.7.过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过点定点，过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点，有，故,当且仅当时取等号，所以面积的最大值为故选:8.已知是定义在上的偶函数，，当时,=，则（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，，可得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，可得，又因为当时，，可得，所以.故选：C.二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选得对应分，错选和不选得0分.9.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取两个球，则下列选项中的两个事件为不是互斥事件的是（）A.至多有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球C.恰好有1个白球；都是红球 D.至多有1个白球；全是白球【答案】AB【解析】对于A：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“至多有1个白球”与“都是红球”不是互斥事件．故A正确；对于B：“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，所以“至少有1个白球”与“至少有1个红球”不是互斥事件．故B正确；对于C：“恰好有1个白球”包含一红一白，“都是红球”包含都是红球，所以“恰好有1个白球”与“都是红球”是互斥事件．故C错误；对于D：“至多有1个白球”包含都是红球和一红一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1个白球”与“全是白球”是互斥事件．故D错误．故选：AB．10.已知直线的方程，则（）A.恒过定点B.存在实数使直线在坐标轴上截距互为相反数C.直线的斜率一定存在D.点到直线的距离最大值为【答案】ABD【解析】A.联立，得，所以点满足方程，即直线恒过定点，故A正确；B.当时，，，当时，，，当，得，故B正确；C.直线的方程，当，时，直线的斜率不存在，故C错误；D.点到直线距离的最大值为点与定点之间的距离，即，故D正确.故选：ABD11.如图，已知在长方体中，，点为棱上的一个动点，平面与棱交于点，则下列命题正确的是（）A.当点在棱上的移动时，恒有B.在棱上总存在点，使得平面C.四棱锥的体积为定值D.四边形的周长的最小值是【答案】ACD【解析】对于A，当点为棱上的移动时，平面，由于平面，故，故A正确；对于B，当点在时，平面，故B错误；对于C，长方体中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，则四边形为平行四边形；故，由于，故，故，故C正确；对于D，如图，将长方体展开，使四个侧面在同一个平面内，连接（左侧）交于F点，由于,则F为的中点，同理E为的中点，则四边形的周长的最小值是,则D正确，故选：ACD.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卷的横线上.12.已知向量，，且，则______.【答案】【解析】因为，，所以，又，所以，即.故答案为：.13.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______.【答案】【解析】直线为：，显然时，两条直线平行，所以这两条直线间的距离为.故答案为：.14.设动点在棱长为的正方体的对角线上，且异于点，记当为锐角时，的取值范围是__________．【答案】【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则,，由可得，，，由图可知，不共线，所以当为锐角时，即，解得或，又，所以.所以的取值范围是.四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在△OAB中，O是坐标原点，，．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求△OAB的外接圆方程解：（1）∵直线AB的斜率，∴AB边上的高所在直线的斜率，又AB边上的高所在直线过原点O，∴AB边上的高所在直线的方程为．（2）设的外接圆的方程为（），则，解得，∴的外接圆方程为．16.记的内角的对边分别为，已知．（1）求角；（2）设的中点为，若，且，求的面积．解：（1）由题意得，由正弦定理得，即，在中，因为，，，，．（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②两式消去，得，所以，又，解得，．所以的面积.17.如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.解：（1）连接.因为是边长为2的正方形，所以，因为，所以，，所以，则.因，所以.因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，故，，.设平面的法向量为，则，令，则.设平面的法向量为，则，令，则.，记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则.18.航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：（1）若从成绩不高于60分同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数；（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．解：（1）因为抽取的200名学生中,不高于50分的人数为（人），50分到60分的人数为（人），所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）.（2）由，解得，平均数，因为成绩不高于70分的频率为，成绩不高于80分的频率为，所以中位数位于内，则中位数为.（3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为，.19.已知函数与函数，函数的定义域为.（1）求的定义域和值域；（2）若存在，使得成立，求的取