广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市越秀区2023-2024学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则的子集个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】令，解得或，故，则的子集个数是个.故选：D.2.已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由函数在上为增函数，故当时，，当时，，故“”是“”的充要条件.

故选：B.3.函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，，函数在定义域上单调递增，，，，，∴零点所在的一个区间是.故选：D.4.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，又定义域为，故函数为偶函数，可排除B、D，当时，，故可排除C.故选：D.5.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为，，故点在第三象限，故，，AB错误；，因为在上单调递减，所以，故，，所以，C错误，D正确.故选：D.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，即，即，故或，由，故需舍去，即，又，故，则.

故选：A.7.在当今这个时代，的研究方兴未艾．有消息称，未来通讯的速率有望达到，香农公式是通信理论中的重要公式，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的的大小．其中叫做信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比从3提升到99，则最大信息传递率C大约会提升到原来的（）（参考数据）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】，，则.故选：B.8.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，即，，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】解一元二次不等式，得，所以；，由于，结合补集的定义，显然，选项A不正确；同时可得，选项B正确；由于，且，可得，选项C正确；由于，且，可得，选项D正确.故选：BCD.10.已知定义域为的函数，使，则下列函数中符合条件的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A选项，，故A选项符合题意；对于B选项，，当，即时等号成立，故B选项不符合题意；对于C选项，，故C选项符合题意；对于D选项，由题意得，故D选项不符合题意.故选：AC.11.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，所以振幅且，可得，所以A、B正确；又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误；根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.故选：ABC.12.已知函数，则（）A. B.的最小正周期为C.的图象关于直线对称 D.的最大值为【答案】BC【解析】由于，所以，即，如图所示：对于选项A，，，不满足，选项A不正确；对于选项B，，结合图象，的最小正周期为，选项B正确；对于选项C，，的图象关于直线对称，选项C正确；对于选项D，函数在区间和上单调递减，在区间和上单调递增，由于，，的最大值为，选项D不正确.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分．共20分.13.命题“”的否定是___________________．【答案】“”【解析】命题“”的否定是“”.故答案为：“”.14.已知，则______________．【答案】【解析】由题意，，∴，.故答案为：.15.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是______________．【答案】【解析】由函数的函数值表示不超过x的最大整数，当时，可得，则，可得，因为，可得，所以函数的值域是.故答案为：.16.如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为_________，此时_________．【答案】【解析】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮，可得且，在直角中，，所以，所以，所以矩形的面积为，因为为的中点，所以，所以矩形的面积为，所以两块矩形铁皮的面积之和为：，其中，且，所以，当时，取得最大值，此时，即，所以，因为，所以，即，解得或（不合题意，舍去），综上可得，当时，取得最大值.故答案为：9.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）求函数的最大值；（2）求不等式的解集．解：（1），当且仅当，即时，等号成立，故函数的最大值为.（2），，即，解得或，又，故或，即不等式的解集为或.18.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若，求的值．解：（1），则，即函数的最小正周期为.（2），故，又，故，.19.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）讨论函数在上的单调性，并加以证明．解：（1）为奇函数，理由如下：定义域为R，又，故为奇函数.（2）当时，单调递减，当时，单调递增，，且，则，因为，且，所以，当时，，即，故单调递减，当时，，即，故单调递增.20.已知函数．（1）求函数的单调递减区间；（2）把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．解：（1），令，则，故函数的单调递减区间为.（2）将函数的图象向左平移个单位长度，则，当时，，则当时，即时，有最小值，且最小值为，即在区间上的最小值为.21.某地建设了一个文化馆，该文化馆对外开放后第1年参观人数为12万人，第2年参观人数为14万人．某课外兴趣小组综合各种因素进行预测：①该文化馆每年的参观人数会逐年增加；②该文化馆每年参观人数都不超过16万人．该兴趣小组想找一个函数来拟合该文化馆对外开放后第年与当年参观人数y（单位：万人）之间的关系．（1）若选函数，试确定的值，并判断该函数是否符合预测①与预测②；（2）若选函数，要使得该函数同时符合预测①与预测②，试确定的取值范围．解：（1）由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，所以，设，，且，得，，所以，即，所以在区间上单调递增，符合预测①，同时，，符合预测②.（2）由于函数，第1年参观人数为12万人，即；第2年参观人数为14万人，即；联立可得：，由指数函数的性质可知：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；若符合预测①，则或，当时，，符合预测①，此时，，，，再符合预测②，只需即可，由，且，得：；当时，，符合预测①，此时函数在区间上单调递增，同时，，解方程，可得，其中，，，即当时，，不符合预测②；综上所述，的取值范围是：.22.已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．（1）求证：；（2）求的值；（3）当时，求不等式的解集．解：