内蒙古赤峰市2024-2025学年高二数学下学期第一次月考理试题含解析

Page172024级高二数学下学期第一次月考一、单选题（每小题5分）1.设，则z的共轭复数对应的点在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出的共轭复数，依据复数的几何意义可得答案.【详解】因为，所以，所以z的共轭复数为，它对应的点在第四象限.故选：D2.用数学归纳法证明“”时,第一步须要验证的不等式是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】第一步验证是的状况，即，得到答案.【详解】第一步验证时的状况，即故选C【点睛】本题考查了数学归纳法，属于简洁题型.3.若随机变量的分布列如表所示，则当时，的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据分布列可求得，，由此可确定范围.【详解】由分布列知：，，当时，，即的取值范围为.故选：B.4.将40件产品依次编号为140，现用系统抽样（按等距离的规则）的方法从中抽取5件进行质检，若抽到的产品编号之和为90，则样本中的最小编号为A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【详解】该系统抽样的抽取间隔为=8；设抽到的最小编号x，则x+（8+x）+（16+x）+（24+x）+（32+x）=90，所以x=2．故选A．5.在区间上随机取两个数x、y，则满意的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用几何概型计算公式即得.【详解】由题可知试验的全部结果所构成的区域为，满意的结果构成的区域为，结合几何概型计算公式可得满意的概率为.故选：A.6.已知执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依据已知输入数据，结合条件语句的执行逻辑确定输出结果.【详解】由题设，，所以，则，故输出.故选：A7.若的绽开式中的系数为12，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由二项式定理写出绽开式通项，依据乘积形式确定含的项，结合其对应系数求出参数m.【详解】由的绽开式通项为，含的项包含了和两项，所以含的项为，即，可得.故选：B8.将数字“234467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）A.72 B.120 C.192 D.240【答案】D【解析】【分析】依据题意，按个位数字的不同分2种状况探讨，由加法原理计算即可【详解】解：依据题意，按个位数字的不同分2种状况探讨：（1）个位数字为4，将剩余的5个数支配在前5个位置，有个偶数，（2）个位数字为2或6，先从2或6中选1个放在个位，有种，然后从前5位中选2个位置放入2个4，有种，最终剩下的3个数填入剩余的3个位置，有，由分步原理可知有个偶数，由分类加法原理可知共有个偶数，故选：D9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当

时的值为（）A.5 B.14 C.27 D.55【答案】B【解析】【分析】把多项式改写成用加（减）法和乘法形式，然后依据定义依次计算可得．【详解】由已知，时，，，．故选：B．10.在二项式的绽开式中，只有第四项的二项式系数最大，把绽开式中全部的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，，可得绽开式的通项公式为，当时为有理项，依据不相邻问题插空法及古典概率模型即可求解.【详解】解：因为二项式的绽开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以绽开式共有7项，，所以绽开式的通项公式为，，因为的指数幂为整数即时为有理项，所以绽开式的第项为有理项，所以把绽开式中全部的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为，故选：C.11.某班男女生各10名同学最近一周平均每天的熬炼时间（单位：分钟）用茎叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的熬炼时间是相互独立的.①男生每天熬炼的时间差别小，女生每天熬炼的时间差别大；②从平均值分析，男生每天熬炼的时间比女生多；③男生平均每天熬炼时间的标准差大于女生平均每天熬炼时间的标准差；④从10个男生中任选一人，平均每天的熬炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生熬炼时间超过65分钟的概率大.其中符合茎叶图所给数据的结论是（）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】依据茎叶图，计算出平均数，由古典概型的概率计算公式计算出概率，以及由数据的分散程度可说明方差的大小，即可推断.【详解】解：由茎叶图知，男生每天熬炼时间差别小，女生差别大，①正确.男生平均每天熬炼时间超过65分钟的概率，女生平均每天熬炼时间超过65分钟的概率，，因此④正确.设男生、女生两组数据的平均数分别为，，标准差分别为，.，知，②正确.又依据茎叶图，男生熬炼时间较集中，女生熬炼时间较分散，∴，③错误，因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.故答案为：①②④【点睛】本题考查茎叶图中数据的分析问题，属于基础题.12.如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A.40320种 B.5040种 C.20160种 D.2520种【答案】D【解析】【分析】先从7种颜色中随意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结合图形的对称性，即可求解.【详解】先从7种颜色中随意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.故选：D.【点睛】本题主要考查了排列、组合及分步计数原理的应用，其中解答中留意图形的对称性，着重考查分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.二、填空题（每小题5分）13.若复数z满意|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________.【答案】9π【解析】【分析】干脆推断出点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，即可求出.【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.故答案为：9π14.为纪念北京冬奥会申奥胜利，中国邮政发行纪念邮票，每套图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会“会徽飞跃”、冬奥会祥瑞物“冰墩墩”、冬残奥会祥瑞物“雪容融”及“志愿者标记”．现从一套5枚邮票中任取3枚，则恰有1枚祥瑞物邮票的概率为______________．【答案】##【解析】【分析】由古典概型的概率公式求解即可.【详解】从一套5枚邮票中任取3枚的不同取法有种，恰有1枚祥瑞物邮票的状况有种，则恰有1枚祥瑞物邮票的概率，故答案为：15.邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格8.591111.5销售量12675已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回来方程是，且，则其中的______.【答案】10【解析】【分析】先求样本平均值，，再依据样本中心点在回来直线上列方程求解即可得答案.【详解】解：依题意，，代入回来直线方程得①，依据题意②，解①②组成的方程组得.故答案：.【点睛】本题考查已知回来方程求原始数据，考查运算实力，解题的关键是样本中心点在回来直线上，是基础题.16.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到．依次类推，则该数表中，第n行第1个数是____________．【答案】【解析】【分析】视察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为，设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，化简计算可得出结果.【详解】视察数表，得出每一行都成等差数列，且第n行公差为，因此设第n行第1个数是，则第n行第2个数是，从而可得，从而，所以是等差数列，公差为，所以．故答案为：．三、解答题17.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中随意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）易得的全部可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列.【详解】（1）令表示事务“三种粽子各取到1个”，则由古典概型概率计算公式有.（2）由题意，得的全部可能取值为0，1，2，则，，.所以的分布列为01218.法国闻名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行沟通”阅读会让精神世界闪光．某探讨机构为了解某地年轻人的阅读状况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：（1）求a；（2）依据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，探讨机构采纳分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于的概率．【答案】（1）（2）74.4分钟（3）【解析】【分析】(1)依据全部矩形面积之和为1求a即可；(2)找出中位数位于区间内，设中位数为x,，求解即可；(3)先求出阅读时间位于、、的人数，再用列举法求解即可.【小问1详解】解：因为频率分布直方图的全部矩形面积之和为1，所以，解得【小问2详解】∵，则中位数位于区间内，设中位数为x，则，解得，所以估计该地年轻人阅读时间的中位数约为74.4分钟．小问3详解】由题意，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，阅读时间位于的人数为人，则抽取的5人中位于区间有1人，设为，位于区间有2人，设为，位于区间有2人，设为，则从5人中任取2人，样本空间含有10个样本点．设事务A为“恰有1人每天阅读时间在”，，含有6个样本点：∴．19.画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点．某师傅制作了一种新造型糖画，为了合理定价，先进行试销售，其单价x（元）与销量y（个）相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（个）1211976（1）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回来方程；（2）若该新造型糖画每个的成本为5.7元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求出的线性回来方程确定单价应当定为多少元？（结果保留到整数）参考公式：线性回来方程yx中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：．参考数据：．【答案】（1）y＝﹣3.2x+39.4（2）9元【解析】【分析】（1）利用公式干脆计算得到答案.（2）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），依据二次函数单调性得到答案.【详解】（1）（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，（12+11+9+7+6）＝9，则32，9﹣（﹣3.2）×9.5＝39.4，∴y关于x的线性相关方程为y＝﹣3.2x+39.4.（2）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣3.2x+39.4）（x﹣5.7），其中x≥5.7，则y＝﹣3.2x2+57.64x﹣224.58，∴对称轴x9（元）．故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应当定为9元．【点睛】本题考查了回来方程的计算，求最值，意在考查学生的应用实力和计算实力.20.如图，在三棱柱中，，，，.（1）证明：平面平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)在和中，利用勾股定理可得，，再依据面面垂直的判定定理证明即可；(2)以为坐标原点建系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，再计算法向量夹角余弦值，即可求出二面角的余弦值.【详解】(1)证明：如图，连接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.(2)解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得，所以.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当空间直角坐标系；其次，破“求坐标关”，精确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21.已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.（1）求椭圆的方程；（2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解