北京市2024-2025学年高一数学上学期期中试题含解析

Page13北京市2024-2025学年高一数学上学期期中试题考生须知1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.2.仔细填写所在班级、姓名、学号.3.请用2B铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.一、选择题.（每题5分，共50分）1.若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用补集的定义可求得结果.【详解】因为，，则.故选：C.2.命题的否定是：，使得.则命题为（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】D【解析】【分析】依据全称命题的否定是特称命题干脆得结果.【详解】依据全称命题的否定是特称命题得命题为，使得.故选：D.3.下列四个图象中，是函数图象的是A.① B.①③④ C.①②③ D.③④【答案】B【解析】【详解】由函数的定义知，对于定义域中的每一个自变量，只能有唯一的与之对应，故②不是函数，①③④是函数.故选B.点睛：函数定义中要求：1.两个函数都是非空集合；2.A中的每个元素在B中都有与之对应的元素；3.对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个对应多个；只有满意了这几个特点的对应关系才是函数关系.本题解题的关键是视察：图象对应的是否是函数；定义域与值域是否是对的.4.已知函数，则（）A.8 B.16 C. D.8或【答案】A【解析】【分析】先计算，再计算的值.【详解】,.故选：A5.若函数为偶函数，则a=A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C6.函数，的值域（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据二次函数的性质即可得解.【详解】解：，则，所以函数的值域为.故选：D.7.若时，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A.2 B.3 C.6 D.不存在最小值【答案】C【解析】【分析】时，不等式恒成立，即，令，求出函数的最大值即可得解.【详解】解：时，不等式恒成立，即，令，故，所以，即实数的最小值为.故选：C.8.“函数在区间上单调递增”一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据二次函数性质可构造不等式求得，依据推出关系依次推断各个选项即可.【详解】若在上单调递增，则，解得：；对于A，是原命题的充要条件，A错误；对于B，，，是原命题的充分不必要条件，B错误；对于C，，，是原命题必要不充分条件，C正确；对于D，，，是原命题的充分不必要条件，D错误.故选：C.9.下列函数中，为偶函数且有最小值的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依据奇偶性定义可推断出ABC错误；依据奇偶性定义和基本不等式可知D正确.【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，；当时，，，为奇函数，B错误；对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；对于D，定义域为，，为偶函数；令，（当且仅当时取等号），的最小值为，D正确.故选：D.10.已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数肯定是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据函数单调性的性质逐一推断即可.【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，所以函数是上的增函数，函数是上的减函数，函数，的单调性无法推断.

故选：B.二、填空题（每题5分，共30分）11.函数的定义域为__________．【答案】【解析】【分析】干脆解不等式即可.【详解】，所以定义域为

故答案为：12.若集合满意，则集合______.（写出一个集合即可）【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】依据题意可知集合中至少含元素1和2，且为集合的子集，从而可求出集合.【详解】因为集合满意，所以，或，或，或，故答案为：（答案不唯一）.13.已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：设考点：幂函数14.已知实数满意不等式，则的取值范围为______【答案】【解析】【分析】依据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式等价于，即，对应方程的根是和，所以不等式的解集是.故答案为：15.某公司购买一批机器投入生产，依据市场分析每台机器生产的产品可获得的年平均利润（万元）与机器运转时间（年数）的关系为.则每台机器的年平均利润的最大值为______万元.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可干脆求得结果.【详解】时，（当且仅当时取等号），当时，.故答案为：.16.已知函数,则（ⅰ）=；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数是偶函数；②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.其中，全部真命题的序号是.【答案】【答题空1】【答题空2】①③【解析】【分析】利用分段函数求值即得；对于①，依据奇偶性的定义可推断，对于②，可以分类判定三角形的形态进行推断，而命题③，可以构造成立的例子．【详解】（ⅰ）因为，所以是的真子集，所以；（ⅱ）对于①：当时，，；

当时，，；所以恒成立，所以函数是偶函数，故①正确；对于②：当都是有理数时，三点纵坐标都是，三点共线，不构成三角形；同理当都是无理数时，也不合题意；所以只有可能两个为有理数，一个为无理数，或两个无理数，一个有理数，对于两个为有理数，一个为无理数的状况，设是有理数，是无理数，对应三点，明显都不行能为直角，

故要为等腰直角三角形，必需为直角，且,所以关于直线对称，于是，此式等号左边为有理数，右边为无理数，不行能成立；对于两个为无理数，一个为有理数的状况，设是无理数，是有理数，对应三点,同样都不行能为直角，故要为等腰直角三角形，必需为直角，且,所以关于直线对称，如图所示：

于是，，但都是有理数，而是无理数，这也不行能成立；综上，②错误；对于③：令,则对应四点坐标为,如图所示：

，四边形为菱形，故③正确.综上，全部真命题的序号是①③.故答案为：；①③.三、解答题（共70分）17.设全集，集合，.（1）当时，求，；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由交集和并集定义可干脆求得结果；（2）由补集定义可得，由包含关系可构造不等关系求得的范围.【小问1详解】当时，，又，，.【小问2详解】由题意知：；，，，即的取值范围为.18.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,（1）当时,求函数的解析式;（2）用函数的单调性定义证明:函数在上是增函数.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)设,则,将代入,再依据函数是定义在上的奇函数即可求出结果.(2)设为区间上随意实数,且,利用作差法和分解因式法比较与的大小即可证明.【小问1详解】设,则,,函数是定义在上的奇函数,,即当时,.【小问2详解】设为区间上的随意实数,且,,,,,函数在上是增函数.19.已知函数和，其中.若函数与的图象的一个公共点恰好在轴上.（1）求证：；（2）求不等式的解集.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求出与轴的交点，然后依据题意可知此点在的图象上，代入化简可得结论；（2）由（1）可得，然后利用一元二次不等式的解法可求得结果.【小问1详解】证明：令，得，所以与轴交于点，因为函数与的图象的一个公共点恰好在轴上，所以点在图象上，所以，因为，所以，所以；【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，，解得，所以不等式的解集为.20.有一张隧道横截面的设计图（如图所示），上部为半圆形，下部为矩形，横截面周长限定为10米，设半圆的半径为米.（1）求取值范围；（2）求此横截面面积与的函数关系式；（3）当半圆半径为多少米时，此横截面面积最大？试求出此最大值.【答案】（1）（2），（3）半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米【解析】【分析】（1）（2）由题意列式求解，（3）由二次函数性质求解，【小问1详解】由题意得，且，得即的取值范围是，【小问2详解】半圆的半径为米，则矩形的长为，宽为，，【小问3详解】由二次函数性质知当时，有最大值即半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米21.已知函数，定义（1）写出函数的解析式；（2）若，求实数的值；（3）已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出全部满意条件的的解析式.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由新定义，探讨，解不等式即可得到所求函数；（2）探讨，由求得，运用恒成立的思想，即可得到的值；（3）将问题转化为不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，利用二次函数的性质解答即可.【小问1详解】定义，当，即时，；当，即时，；当，即时，；可得；【小问2详解】当时，，则，即有恒成立，即上恒成