北京市丰台区2024-2025学年高二数学上学期期中练习A卷试题含解析

Page18北京市丰台区2024-2025学年高二数学上学期期中练习（A卷）试题第I部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗状况，从中抽取了100户居民进行调查.该小区每位居民被抽到的可能性为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据每个个体被抽到可能性都是相同的，即可计算得答案.【详解】由题意可知了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗状况，从中抽取了100户居民进行调查，该小区每位居民被抽到的可能性都是相同的，故可能为，故选：B.2.已知空间向量，，若，则，的值分别为（）A.， B.， C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用，得到，即可计算求解.【详解】由，得，故，解得故选：D3.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事务为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据条件，得出甲、乙两个元件的故障状况，即可得出结果.【详解】因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事务和同时发生，即事务发生.故选：C.4.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点关于x轴对称的点的坐标是即可得出.【详解】关于x轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为相反数，点关于轴对称的点为.

故选：A．5.在长方体中，，，，点为中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】连结，如图，因为，，所以.故选：A.6.在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看竞赛状况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将全部数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（）A.图中m数值为26B.估计该校观看竞赛不低于3场的学生约为1380人C.估计该校学生观看竞赛场数的中位数小于平均数D.样本数据的第90百分位数为5【答案】C【解析】【分析】由频率和为1求，依据条形统计图计算观看竞赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数推断各选项．【详解】由题意，，A错；不低于3场的人数约为，B错；由已知得中位数是3，平均数是，C正确；由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错．故选：C．7.已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意，对选项逐一求出，再推断是否为即可.【详解】因为，对于A，，故，即，故选项A中的点在平面内，故A正确；对于B，，故，即不相互垂直，故选项B中的点不在平面内，故B错误；对于C，，故，即不相互垂直，故选项C中的点不在平面内，故C错误；对于D，，故，即不相互垂直，故选项D中的点不在平面内，故D错误.故选：A.8.如图，一个质地匀称的正八面体的八个面分别标以数字1到8，随意抛掷一次这个正八面体，视察它与地面接触的面上的数字，设该数字为.若设事务“为奇数”，事务“为偶数”，事务“为3的倍数”，事务“”，其中是相互独立事务的是（）A.事务与事务 B.事务与事务C.事务与事务 D.事务与事务【答案】B【解析】【分析】分别写出，，，包含的样本空间，依据相互独立事务满意的乘法公式，即可推断.【详解】由题意可得，3，5，，，4，6，，,，,,由古典概型概率公式可得：,所以，，,，故ACD错误，B正确．故选：B9.李明父亲从2024年1月起先，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出.已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的改变状况的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】逐项分析选项中4次投资的总金额与卖出时收获的金额即可推断.【详解】由于本次投资中没有亏损，所以须要计算推断4次投资的总金额与卖出时收获的金额，两者持平，即为没有亏损，不妨设李明父亲每月只买1份理财产口，对于A，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，明显这属于亏本，故A错误；对于B，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，明显这属于亏本，故B错误；对于C，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，明显这属于没有亏损，故C正确；对于D，4次投资的总金额为(万元)，卖出时收获的金额为(万元)，明显这属于亏本，故D错误.故选：C.10.在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，则的值为（）A.2 B.1或3C.2或4 D.或【答案】B【解析】【分析】由点到平面的距离是确定的且平面只有一个，可得，且两点在平面同侧，由此可得线段的长，从而求得值，【详解】因为有且只有一个平面，使点到的距离为1，且点到的距离为4，所以，且两点在平面同侧，，，或3．若，则线段与平面至少有下列两种位置关系，即平面至少有两个．若，由上面的图形知，两点到平面的距离的差的肯定值不大于，与已知冲突，即不存在平面满意题意．故选：B．第Ⅱ部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.某校学生共2000人，采纳分层随机抽样抽取一个样本量为50样本，若样本中男生人数为20，则可估计此学校女生人数为______．【答案】【解析】【分析】利用分层抽样比例相等得到关于女生人数的方程，解之即可.【详解】设此学校女生人数为，则样本中女生的人数为，由分层抽样比例相等得，解得，故估计此学校女生人数为.故答案为：.12.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，若取出的产品全是正品的概率为0.85，则取出至少有1件次品的概率为______．【答案】0.2775##【解析】【分析】可用间接法，即用对立事务来求概率.【详解】由已知得，取出2件产品中，1件次品也没有的概率为.所以，取出至少有1件次品的概率为1-0.7225=0.2775.故答案为：0.2775.13.在长方体中，若，，则直线与所成角的余弦值为______.【答案】##【解析】【分析】因为，所以直线与所成的角，即直线与所成的角，在中用余弦定理解三角形，得即为所求.【详解】在长方体中，，所以直线与所成的角，即直线与所成的角，又因为，，所以，，在中，由余弦定理，，所以直线与所成的角的余弦为.故答案为：.14.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量的模是______．【答案】【解析】【分析】先求出投影向量，再求向量的模.【详解】当以坐标原点为始点时，其终点在坐标平面上的投影坐标为，所以向量在坐标平面上的投影向量，.故答案为：15.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点．给出下列三个结论：①三棱锥体积为定值；②存在唯一点使；③点到直线的距离是.其中全部正确结论的序号是______．【答案】①③.【解析】【分析】依据线面平行的判定，线面垂直的判定，结合已知条件，对每个选项进行逐一推断，即可选择.【详解】对①：因为//面，故可得//面，又点在上运动，故点到平面的距离为定值，又△的面积为定值，故的体积为定值，①正确；对②：若点重合，因为面面，则，即；若点不与重合，过点作的垂线，记垂足为，如下所示：因为面面，故可得，又，面，故面，又面，故；综上所述：使的点不唯一，故错误；对③：在△中，，，又，，则，则点到的距离为，故③正确.故答案为：①③.【点睛】关键点点睛：本题考查线面平行，线面垂直的判定和性质，处理问题的关键是娴熟的应用判定定理和性质定理，属综合中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）求；（3）若向量与向量，共面，求实数的值.【答案】（1）４（2）（3）【解析】【分析】（1）依据向量垂直的性质干脆求解；（2）依据向量的模长公式计算求解；（3）依据向量共面的应用干脆求解即可．【小问1详解】解：，，即，，解得．【小问2详解】解：，．【小问3详解】解：∵向量与向量，共面，∴设，，解得，．17.从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参与象棋竞赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间;（2）设事务为“选到1名男生和1名女生”,求事务发生的概率;（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事务为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事务发生的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)依据题意把全部的可能结果列出即可;(2)由(1)知在全部得可能结果中数出事务发生的结果,求出概率即可;(3)由(1)知在全部得可能结果中数出事务发生的结果,求出概率即可.【小问1详解】解:由题知,样本空间为;【小问2详解】由(1)知,全部的可能结果数为6个,其中满意事务得结果数有4个,故;【小问3详解】由(1)知,全部的可能结果数为6个,其中满意事务得结果数有3个,故.18.如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，将问题转化为点到平面的距离，再利用等体积法即可求得所求.【小问1详解】连结交于，连接，因为在直三棱柱中，侧面是平行四边形，所以是的中点，又因为为的中点，所以，又因为平面，平面，故平面；【小问2详解】由（1）知平面，所以直线与平面的距离等价于点到平面的距离，不妨设为，因为，，所以，，则，又因为为的中点，所以，因为在直三棱柱中，面，故，所以在中，，，在中，，所以在中，，则，故，所以由得，即，解得，所以直线与平面的距离为.19.某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”学问实力测评，共有1000名学生参与，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；（2）在（1）的条件下，该校确定在这5名学生中随机抽取2名依次进行沟通共享，求其次个沟通共享的学生成果在区间[90,100]的概率；（3）现需依据学生成果制定评价标准，评定成果较高的前60%的学生为良好，请依据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得[80,90)，[90,100]两个区间样本中的学生人数，依据分层抽样的方法即可求得结果；（2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；（3）依据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.【小问1详解】依题意，设区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人，得成果在[80,90)区间样本中的学生人数为：；成果在[90,100]区间样本中的学生人数为：；所以，解得，所以区间[80,90)中应抽人，区间[90,100]中应抽人.【小问2详解】由（1）得，不妨记区间[80,90)中人为，区间[90,100]中人为，则从中抽取2名学生（留意分先后）的基本领件为共20件，其中其次个沟通共享的学生成果在区间[90,100]（记为事务）的基本领件为共8件，故，即其次个沟通共享的学生成果在区间[90,100]的概率为.【小问3详解】由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，所以成果良好的最低分数线落在区间[80,90)中，不妨记为，故，解得，所以成果良好的最低分数线为.20.某网络平台在2016~2024年销售某种产品的相关数据如下表所示：年份201620172024202420242024年销售件数（单位：万件）6691010年退货件数（单位：件）6562688077注：年退货率年退货件数/年销售件数.（1）从2016~2024年中随机抽取1年，求该年退货率不超过千分之一的概率；（2）网络平台规定：若年退货率不超过千分之一，则该网络平台销售部门当年考核优秀.现有甲、乙两位平台管理人员各从2016~2024年中随机抽取1年进行考查，若甲、乙的选择互不影响，求恰有一人选择的年份该网络平台销售部门考核优秀的概率；（3）记该网络平台在2016~2024年，2024~2024年的年销售件数的方差分别为，.若，请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）【答案】（1）（2）（3）的最大值为11，的最小值为9.【解析】【分析】（1）分别计算出2016，2017，2024，2024，2024年退货率，即可得出；（2）甲、乙两位平台管理人员的选择相互独立，依据独立事务乘法公式计算；（3）分别计算出，.列出不等式，即可解出的