数字信号处理 教案全套 陈天华 第1-9章 数字信号处理概述 -有限字长效应

理工科课程教案教 师 教 案( — 学年第 学期)课课程程名编称：数字信号处理号： 授课学时： 48 授课班级： 任课教师： 教学师职称： 院： 年 月大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 课程名称数字信号处理授课专业班级年级课程编号修课人数课程类型必修课通识基础课（ ）;专业基础课(√);专业方向课( );实践、素质教育专项课（ ）选修课专业选修课（；通识选修课（）授课方式理论课(√)实践课( )考核方式考试(√)是否采用多媒体是是否采用双语否学时分配课堂讲授36学时；实践课12学时。名称作者出版社及出版时间教材数字信号处理陈天华清华大学出版社2024.10参考书目数字信号处理授课时间说明此教案配合数字信号处理课件使用。第2页 共208页第第39页 共208页数字信号处理第1章数字信号处理概述（绪论）二、绪论教学重点三、绪论教学难点四、教学方法和手段板书、讲授、演示和多媒体相结合的教学方法；观看一个数字信号处理的应用系统，了解数字信号处理应用的前沿领域。五、绪论教学内容1.1数字信号处理基本概念信号——带有信息的随时间和空间变化的物理量或物理现象。信号是信息的物理表现形式，或者说是传递信息的函数，而信息则是信号的具体内容。信号及系统1．信号的分类（1）按变量个数分类（M（M≥2）（M。（2）按信号周期性分类根据信号的周期特性可以分为周期信号和非周期信号。（3）根据信号概率特征分类根据信号的概率特征，信号可以分为确定信号和随机信号。（4）根据能量特性分类EPEP周期信号和随机信号属于功率信号，而非周期的绝对可积（和）信号属于能量信号。（5）根据变量的连续性分类信号可以分为以下四种情况：①模拟信号：时间和幅值均是连续的信号。②连续时间信号：自变量时间是连续的信号。③④数字信号：时间是离散的，幅值是量化的信号。2．信号的描述信号的描述方法主要包括数学描述和图像（波形）描述两种。数学描述：指将信号表示为一个或若干个自变量的函数、数列或表格的形式。图像描述：指根据信号随自变量变化的函数关系，将信号的波形绘出。3.系统信号处理中的系统一般指对各种信号进行处理或变换的设备，即对信号进行变换以满足应用需求的各种装置和设备都可以称为信号处理系统。（1）模拟系统：全过程所处理的信号均为模拟信号的系统称为模拟系统。（2）数字系统：能处理数字信号的系统称为数字系统。信号处理1、信号：信号是传递信息的函数，是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等，也可以是一维变量和多维变量函数。2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点之外，在全区间内均有确定值。3、模拟信号：信号在时间上和幅度上均连续。4、离散信号：时间上不连续，幅度上连续。5、数字信号：幅度是量化的，时间和幅度均不连续。2 数字信号处理系统数字信号处理系统的组成典型的数字信号处理系统如图1所示，包括前置预滤波器、A/D转换器、DSP处理器、D/A转换器和模拟滤波器等部分。图1 字号理统框图2a所示，用xt置预滤波器先对信号xtAD0，T2TT对信号xtxT)1-2(b)所示。（a）输模拟信号 （b）输信的样图2输信及样A/DA/DA/D转x(n)，数字信号x(n)3(a)x(n)y(n)3(b)所示。字号器输号x(n) (b)数信处器出号y(n)图3数字信号处理器的输入与输出y(n)D/Ay(t)4ya(t)。图4 输模信号ya(t)数字信号处理的实现数字信号处理器的实现既可以采用硬件芯片实现，也可以采用软件算法实现。1．软件实现2．硬件实现硬件实现方法包括采用数字硬件组成专用处理机或采用专用数字信号处理芯片作为数字信号处理器两种形式。（1）专用DSP芯片。（2）通用DSP芯片。1.3数字信号处理学科数字信号处理的研究内容由于数字信号处理在许多领域正得到日益广泛而深入的应用，由于应用的不断普1．时不变离散时间系统分析；2A/DD/A3．（DT4．（T5．信号处理的其他算法，如同态处理、抽取与内插、信号重建等；6．数字滤波技术和自适应信号处理；7．功率谱估计及相关函数估计等信号估计理论，现代谱分析理论；8．语音与图信号分析、理解与识别，信号的压缩等理论；9．现代生物医学信号处理及信号重构；10．信号的建模，如AR、MA、ARMA、CAPON、PRONY等模型；11．包括并行信号处理、阵列信号处理等在内的高速数字信号处理技术及应用；12．数字信号处理与深度学习、人工智能的融合以及信号处理的实现与应用。数字信号处理的特点提示分析数字信号处理的特点应与数字信号处理系统的硬件和算法进行关联，强调在理解的基础上，再进行关联记忆，任何知识均不可死记硬背。提示分析数字信号处理的特点应与数字信号处理系统的硬件和算法进行关联，强调在理解的基础上，再进行关联记忆，任何知识均不可死记硬背。精度高模拟系统的精度由元器件决定，模拟元器件的精度很难达到0.001以上的精度，而数字系统字长为10bits就可达到0.001的精度，，若采用17位字长，则精度可以达到DFT2、灵活性好3、可靠性高14、可实现多维信号处理5、缺点（1）一定程度上增加了系统的复杂性，处理模拟信号时，需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。（2）由于受A/D转换的抽样频率的限制，频率范围受到限制。（3）复杂数字系统的功耗可能较大。数字信号处理系统集成了百万级甚至更庞大的4 数字信号处理的应用与发展由于信息技术和计算数学的发展和成熟，数字信号处理技术得到快速发展和广泛应用。数字信号处理的应用领域信号处理技术已经从最初的国防军工等少数尖端领域向现代社会经济生活的各个领域和方向渗透，主要表现在以下几个方面。1．通信技术对于现代通信技术而言，从3G、4G到5G，几乎所有通信技术均与数字信号处理密不可分。2．语音处理3．图形图像处理4．科研与国防军工5．医疗与消费电子XCT6．仪器仪表与工业在民用设施领域，仪器仪表是较早采用数字信号处理技术的领域之一，主要包括电力仪器仪表、频谱分析仪、函数发生器、地震信号处理器、瞬态分析仪、高精密仪器、导航仪、校准仪器、锁相环、模式匹配等。数字信号处理的发展方向数字信号处理的发展既包括数字信号处理的算法，也包括信号处理的硬件。由于应用的需求，硬件在朝更小面积、更低功耗和更高性能的高集成度解决方案上发展，DSP芯片业开始从纯粹的DSP芯片供应商向广义的DSP解决方案供应商转变。（1）智慧信息处理。（2）网络融合。（3）个人信息终端。（4）DSP内核结构提升。（5）超高速和超微尺寸。（6）DSP和微处理器的融合（7）定点DSP技术DSPDSP（8）DSP与可编程器件融合FPGADSPDSPDSPDSPDSP本课程课程章节安排：数字信号处理及应用概述离散时间信号与系统（ch2）Z变换及序列的傅里叶变换（ch3）离散傅立叶变换DFT（ch4）快速傅立叶变换FFT（ch5）数字滤波器的网络结构(ch6)无限长单位抽样响应（IIR）滤波器(ch7)有限长单位抽样响应（FIR）滤波器(ch8)有限字长效应(ch9)第2章离散时间信号与系统一、学习要求：一、学习要求：分析信号抽样的工程问题。分析信号抽样的工程问题。二、本章知识体系三、本章教学重点S四、本章教学难点◆连续时间信号抽样；◆奈奎斯特抽样定理。五、教学方法与手段六、本章教学内容

离散时间信号一、主要常用序列（１）单位抽样序列(n)1,0,（２）单位阶跃序列u(n)1,0,

n0n0n0n0

图2-1.单位抽样序列要求熟练掌握6种典型离散时间信号（要求熟练掌握6种典型离散时间信号（。（３）矩形序列R(n)1,N

0nN1n0,nN（４）实指数序列

图2-3.矩形序列x(n)anu(n)（5）复指数序列

图2-4.实指数序列（0<a<1）复指数序列定义如下：或n)en式中，ω0是复正弦的数字域频率。复指数序列可用欧拉公式展开为如下复数：en(cosnjsinn)en

cosnsinn0 0 0 0（6）正弦序列正弦型序列定义如下：

A)Aω881.序列的移位设序列为x(m)，当m为正时，则x(n-m)表示依次右移m位；x(n+m)表示依次左移m位。图2-5 列x(n)左移列x(n+1)y(n)=x1(n)+x2(n)是指同序号n的序列值逐项对应相加得一新序列。【例】两序列相加如图2-6所示。序列x1(n) （b）列x2(n)（c）序列y(n)图2-6 两列加f(n)=x(n)y(n)是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。x(n)x(-n)n=0x(n)x(n)x(-n)2-7ny(n)x(k)nk

（a）序列x(n)的形 （b）列x(-n)的形图2-7序列x(n)及翻序列x(-n)表示n以前的所有x(n)的和。前向差分：后向差分：

（；（先右移再减）图2-8.(a)序列x(n)图2-8.(b)序列x(n)的前向差分 图2-98(c)序列x(n)的后向差分图2-8序列x(n)的差分抽取：x(n) x(mn)，m为正整数插值：x(n) x(n/m)，m为正整数尺度变换是指序列的时间尺度变换，又称为序列自变量坐标的比例变换，序列x(n)n的时间尺度变换有两种形式，分别用x（mn）和x（m

）表示，m为正整数。x（mn）表示下抽样运算，也称为下抽样变换，相当于自变量时间轴压缩了m倍，每m个抽样值中取一个抽样值；nmm两点之间补（m-1）个零值点。【例】序列x(n)及x(2n)的波形分别如图2-9所示。图2-9序列x(n)的及其抽取序列x(2n)提示：意线性卷积计算的设序列x(n)提示：意线性卷积计算的

*

m

m)卷积和计算分四步：折迭(翻褶)，位移，相乘，相加。2-10（1）翻褶分别绘出序列x(m)和h(m)的波形，h(m)以m＝0的纵轴为对称轴翻褶成h(－m)。（2）移位将h(－m)移n位得h(n－m)。n为正整数时，右移n位。当n为负整时，左移n位。（3）相乘再将h(n－m)和x(m)的相同m值的对应序列值相乘。（4）相加将以上全部对应的点乘积进行求和，就是卷积序列y(n)的值。【例】序列卷积运算。已知序列x(n)和h(n)如下：1n,

1n3x(n)2,

其它n大学备课用纸大学备课用纸 备 注 求两序列的卷积

h(n)1,0,*。

0n2其它n【解】根据已知条件可得：3y(n)x(n)*h(n)x(m)h(nm)3m1由序列的定义和卷积计算方法，分区间计算如下：（1）当n＜1时x(m)和h(n－m)相乘，每一点均为零，因此，有y(n)=0， n＜1（2）当1≤n≤2时卷积公式乘积项中，x(m)和h(n－m)存在交叠相乘的非零项是从m=1至m=n，因此n有n3y(n)3

1m11n(1n)由此可得

1,2

2 2 2y(2)32（3）当3≤n≤5时x(m)h(n－m)m时对mm=1，2，3m。

m)1m 233n1m13n1

m12 2

m)1m 5331m2331

m22 2 2

1332 2（4）当n≥6时x(m)和h(－m)之乘积不存在非零值的重叠区域，因此，可得y(n)=0本例卷积的计算过程图解如图2-10所示。大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 序列x(n) (b)列h(m)(c)n=0（列h(m)褶） (d)n=-1列h(m)移1位(e) n=1（序列h(m)右） (f)图2-10列x(n)列h(n)之卷积提示：准确理解序列周期性的定义。连续时域周期信号，经抽样以后不一定是周期序列，须根据序列的周期性定义进行具体分析，并以连续正弦信号作为例子进行推导，使学生加深理解序列周期性和连续时间信号周期性的区别与联系。提示：准确理解序列周期性的定义。连续时域周期信号，经抽样以后不一定是周期序列，须根据序列的周期性定义进行具体分析，并以连续正弦信号作为例子进行推导，使学生加深理解序列周期性和连续时间信号周期性的区别与联系。x(n)为现在讨论正弦序列的周期性。由于则有上式中，若

x(n)sin(n)nN)nN])则有

2m，m为整数)nN]即x(n)=x(n+N)若N为整数，根据序列周期性的定义，则正弦序列x(n)sin(n)为周期序列。根据式（2-20）可得，其周期如下：N2mNω（1）若2为整数若2

m=1N

即为满足条件的最小正整数，这时序列的周期为2

。例如，若/5，则

=10，序列的波形如图2-11所示。（2）

为既约分数

图2-11周期N=10的正弦序列若2不是整数，而是既约分数，则既约分数可表示为如下形式N mN由于 为既分即为互整这序列周期于m

的最小整数N为

N2m（3）2为无理数若2为无理数，则m取任何整数均不能使N为正整数，因此，根据序列周期性定义，这时正弦序列不是周期序列。序列周期性的讨论说明，正弦型序列的周期性和连续正弦信号的周期性是有差异2件就是必须是整数或者既约分数。四、用单位抽样序列表示任意序列.m

m)

*x(n)x(n)δ(n)五、序列的能量和功率序列能量用E表示，序列x(n)的能量定义为该序列所有抽样值之平方和，即信号的功率定义如下

E|mNP 1 |N

)|21mN一、线性系统

线性移不变系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，离散时间系统表示对输入序列的一种运算，如图2-12所示y(n)=T[x(n)]图2-12离散时间系统线性系统具有均匀性和迭加性：a1y1(n)a1T[x1(n)]T[a1x1(n)]a2y2(n)a2T[x2(n)]T[a2x2(n)]加权信号和的响应=响应的加权和。先运算后系统操作=先系统操作后运算。提示：提示：（T（S。x(n)y(n)x(n-m)y(n-m)统，若则

T[x(n)]=y(n)T[x(n-m)]=y(n-m)其中，m为任意整数。三、单位抽样响应与卷积和图2-13线性移不变系统四.线性移不变系统的性质1.交换律卷积运算的结果与序列的先后顺序无关，即y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)h(n)x(n)y(n)2.根据卷积的定义可知，卷积运算满足结合律的运算规律，即x(n)*h1(n)*h2(n)=[x(n)*h1(n)]*h2(n)=x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h2(n)]h1(n)3.对加法的分配律根据卷积的运算规律，卷积运算也满足分配律的运算规律：x(n)*[h1(n)]+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)五.因果系统y(n)=x(-n)是非因果系统，因n<0的输出决定n>0时的输入。线性移不变因果系统的充要条件为h(n)=0，n<0。六.稳定系统如果系统在有界输入激励下，产生的输出（BIBO）有界，则称为稳定系统。即若 M则y(n)Ppn常系数线性差分方程提示：提示：（）（2）一.表示法与解法mm0k0MNky(nk)m(n)常系数：a0，a1，…，aN;b0，b1，…，bM 是数（含n）.阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差线性：y(n-k)，x(n-m)各项只有一次幂，不含它们的乘积项。2.解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系统的输出起始状态为零的系统称为松弛”系统。这种系统用的输出为：y(n)x(n)h(n)因此，已知h(n)就可求出y(n)。2.迭代法（以求h(n)为例）【例】已知常系数线性差分方程如下y(n)-ay(n-1)=bx(n)系统的初始状态（边界条件）为y(0)=0（1）求该系统的单位抽样响应；（2）分析系统的因果特性。解：（1）求单位抽样响应h(n)令x(n)=(n)，则y(n)=h(n)，根据边界条件y(0)=0，可得n＞0时y(n)=h(n)=0，n≤0y(n即：

1an＞0时

1a

1)]y(n)=h(n)=0n<0时，单位抽样响应h(n)可用递推法求解如下：h(0)

10a

1a

h(2)

1a

2b因此，可得

a

anb上式也可表示为

hn

0,a

n0nb,n0h(n)=-anbu(-n-1)（2）系统因果性分析根据系统的单位抽样响应可知h(n)≠0，n<0a

1则系统为稳定系统。注意：需根据初始条件确定。(2)通常情况下，如果没有特别说明，本课程所讨论的假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且认为是因果系统。三.系统结构/【例】若系统的差分方程如下:试确定该系统的算法结构。解：对差分方程进行移项，可得

1)根据差分方程，表示该系统需要使用乘法器、加法器和延时单元，设+×12-14一.抽样器与抽样(1)抽样器(2)抽样

图2-14 阶分程运算构图连续时间信号的抽样模信号xt) （）拟号xt) （b）等隔样冲号 （b）冲函数列（c）实抽信号 （c）想样信号图2-15信的际样 图2-16号理抽样（）；）；2.实际抽样与理想抽样提示：注意实际抽样和理想抽样数学模型及意义。分析连续时间信号抽样之后信号频谱的变化。实际抽样：p(t)提示：注意实际抽样和理想抽样数学模型及意义。分析连续时间信号抽样之后信号频谱的变化。抽样器可以认为由电子开关完成，开关每间隔Ｔ秒快速闭合一次，实现一次抽样。若开关闭合时间为τ秒，则抽样器的输出是周期为T，宽度为τ的脉冲串，脉冲的Tp(t)xa(t).一般情况下,τ的持续时间很短，τ越小，抽样输出信号值越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。理想抽样：

p(t)T(t)（冲激序列）当抽样器的电开关闭合时间τ→0时，为理想抽样。理想抽样信号的数学表示：T

Tt)a为a

mmT)x(t)x(t)(t)由此可得

a a TaxmT)aam根据冲激函数的性质，(tmT)仅在t=mT时刻不为零，因此有aaxaam)说明：τ=0τ→0τ<<T3.抽样信号的频谱(1)频谱延拓问题：理想抽样信号的频谱有何特点？它与连续时间信号的频谱有何关系？1/TsaasXˆ(j)1X(jjk)aasTk其中样号谱为连信的里变换显，数字角频率果义 并且将 的变量ω示周用ωs表示，则：

ωs=ΩsT=2π即： 的周为2π。ω数字角频率，它是拟频率对抽样频率fs的归一化提示：注意连续时间信号经抽样之后频谱的变化规律，引导学生从混叠现象临界点发生的频谱图形中，得出抽样定理的有关结论。频率。数字角提示：注意连续时间信号经抽样之后频谱的变化规律，引导学生从混叠现象临界点发生的频谱图形中，得出抽样定理的有关结论。（a）原信号频谱（b）Ωs〉2Ωh时抽样信号频谱(2)抽样定理

（c）Ωs<2Ωh样号谱生叠现象图2-17 号理抽后频示图抽样定理。对连续时间信号进行抽样，若抽样频率fs大于等于信号谱的最高频率fh的22h（sh奎斯特抽样定理。习惯上，一般将抽样频率的一半，即s/2称为折叠频率，即/2/T当信号频谱超过s

/2如果信号xa(t)是实带限信号，且最高频谱不超过s/2，即X

0,

||

s2s2s/2实际工作中，为避免发生频谱混淆，抽样频率总是选得比两倍信号最高频率h更大些，如s>(2.5~3.5)h。(3)抽样信号的拉氏变换理抽后信的变在S平上虚期延，即在S平面4、信号的频域恢复根据奈奎斯特抽样定理，若信号谱的最高频率小于折叠频率s/2，则连续时间信号经过抽样后不会产生频谱混叠，根据频谱之间的关系,可得 1 XT

X)k2-18Xak=0图2-18 想通波器低通波器的学达如下滤波器的输出为

T,

s2s2XaXxt219图2-19 抽信的复5、信号的时域重建抽信示原续间号抽样信号通理低滤波H(j)内插公式推导1先讨论理想低通滤波器H(j)的单位抽样响应，对理想低通滤波器进行傅立叶逆1变换，可得令

T2

/2es/2)则有

)x

st

ta 2 T a通过a yt)

t

[nnT

)d

nT

nT)n mx(mT)

an

Sa T上式是信号重建的抽样内插公式。T（1由xt抽样值xT与内插函数t的乘积重建连续信号xt。2-20nT0，即xt等于各xTn（3xt2-21图2-20 插数内插函数特点：

图2-21由内插函数的抽样值重建原信号在抽样点nT上，函数值为1，其余抽样点上为零。内插函数公式表明若满足抽样频率高于两倍信号最高频率，整个连续信号就可以用它的抽样值完全代表，而不损失任何信息，这就是奈奎斯特定律。总结：欲使信号经抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即s2h这就是奈奎斯特取样定理。s.2第3章 z变换及引用Z变换Z逆变换ZZDFT（DTFT）ZZZZZ二、本章知识体系三、本章教学重点ZZZZ四、本章教学难点ZZZ◆频率响应几何确定法及应用。五、教学方法和手段板书和多媒体相结合的教学方法，除例题之外，随堂解析部分典型习题；实验演示加深对基本概念和基本原理的理解；上机实验进一步提升对本章知识的掌握程度；安排讨论课，引导学生思考三大变换之关系，掌握和理解三大变换的内在逻辑关系。六、本章教学内容3-1 引言信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析。2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程。3-2 Z变换的定义与收敛域.Hurewicz）1947949~952（.Rgazzn（A.Zadeh）在霍尔维兹的基础上分别提出和完善了Z变换，使序列和离散系统的分析变得更方便，并极大地简化了运算步骤。提示：要求熟练掌握序列Z提示：要求熟练掌握序列ZZZ握DTFTDFTZ直接推导出DTFT和DFT，Z若序列为x(n)，则幂级数X(z)x(n)znn称为序列x(n)的z变换，其中z为变量，也可将z变换简单表示为二．z变换的收敛域

X(z)Z（3-1）znzzX)CRegnofConegence按照级数理论，式（3-1）的级数收敛的充分必要条件是幂级数满足绝对可加性，即x(n)znn

M(3-3)zx(n)z四种序列的Z变换收敛域（1）有限长序列（nzXzx(n)zn通过典型序列收敛域的求解进一步加深对收敛域的理解，熟悉确定不同序列收敛域的原理和方法。nn1通过典型序列收敛域的求解进一步加深对收敛域的理解，熟悉确定不同序列收敛域的原理和方法。收敛域为0<|z|<∞。由于X(z)有项级之和若和每项界限和有界故z变换的收域决于|z|-n<∞， ≤n≤ 。然在整个（0，∞）都满以条。0n1，n2n1<0，n2≤0时，zzn1<0，n2>0时，收敛域既不包含原点0，也不包含∞。收敛域的具体情况如下所示。大学备课用纸大学备课用纸 备 注 n1n1n1

时，0z时，0z时，0zx(nRx(n)zzZRn（2）右边序列

55n0

zn

1z1-z1

z1右边序列是指序列的起点序号为某一有限值，终点序号为无穷大的序列，即当nn1时，x(n)有值，n<n1时，x(n)=0，其z变换为 X(z)x(n)znx(n)zn

x(n)znnn1

nn1

n0收敛域为收敛半径Rx-以外的z平面，即收敛域为：Rxz10n≥0有值，n〈0时，x(n)=0。z变换的收敛域包括∞点是因果序列的特征。（3）左边序列n时，x(n)n>n2时，x(n)=0z0 X(z)x(n)znx(n)znx(n)znn n 左边序列z变换的收敛域为0zRx【例】证明左边序列的收敛域为：0zRx证明：若X（z）在|z|=R上收敛，即则在0〈|z|〈R上也必收敛，任选一整数n1≤0，∴因此，整个级数在|z|〈R上有即收敛域|z|<Rx+。（4）双边序列双边序列是指序列的起点序号为负无穷大，终点序号为正无穷大的序列，x(n)皆有数值的序列。双边序列可以视为一个右边序列和一个左边序列之和，即 X(z)x(n)znx(n)znx(n)znn其收敛域为：RxzRx

n0

n如果Rx+>Rx-，则存在公共的收敛区间。如果Rx+<Rx-，无公共收敛区间，不收敛。z变换收敛域的特点：x(n)=δ（n）zx（z）z变换表示法：(1)级数形式；(2)（。3-3 Z逆变换已知X(z)及其收敛域，求序列x(n)的变换称为z逆变换，常用Z-1[X(z)]表示。ZZx(n)

12jc

X(z)zn1dz,c

,Rx)xz逆变换是一个对X（z）zn-1的围线积分，围线C是一条在X（z）收敛域（Rx-，xRx+）以内绕原点一周的单围线。证明：1 Xzznz

1[

mzmznc

2j

cmz(nmm cx- x+设积分路径C为半径等于R的圆周，k=n-m，即z=Rejθ，R<R<R，则x- x+1 zk

eke]

1ak1ej(k]c c cak2

e

k0k0,k为整数上该式就是柯西积分定理。因此有或Zz◊留数定律法◊部分分式法◊长除法或幂级数法k kznRe[X(z)n-1，zX(z)zn-1C{zk k如果zk是单阶极点，则有：k；Res[Xz)zn-1，z]＝ｚzk)Xz)zn-1=zzkNk；Re

n1]

1 dm1

z

n1]z

zzi

dzm1 i

zzi大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 3-4z变换的基本性质和定理z3-4z变换的基本性质和定理z变换的性质具有广泛的应用，z变换常用的性质如表3.1所示。表3.1 z变的要质序号序列Z变换收敛域1x(n)X(z)RxzRx2h(n)H(z)RhzRh3bH(z)RxRh-]zRxRh]4x(nm)zmX(z)RxzRx5xX*)RxzRx6x(n))Rxz R-1x7xX/z*)Rxz R-1x8anX(z)aRxzRxa9初值定理zzRx10初值定理1)X(z)z zzmax[Rx,1]11nm dmz X(z) dzRxzRx12*X(z)H(z),Rh]z,Rh]13Rex(n)1X*2RxzRx14j1X*2RxzRx15x(n)h(n)1XzHv1c vRxRh-zRxRh16n 1XvH*1vc v*RxRh-zRxRhzZ2.18【例】性质8）性质11）提示：准确理解和熟练掌ZZ变换的各性质，能从工程上和物理意义上理解相关性质。帕塞瓦尔（Parseval）定理——z变换的重要性质之一若H(z)

RxzRhz

RxRh且 RxRh

1

RxRh则

1

XvH*1v *c *

1dvn cX(v)和H*1 v*max[Rh

,1Rx

]v

1]Rx如果X(v)、Y(v)在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时v=ejωh(n)

h(n)=h*(n)若X(z)，H(z)均在单位圆上收敛，则围线c可选为单位圆，即：vej于是，式（3-49）可简化为：1

n若h(n)=x(n)，则可得到： 2

21 2x(n)n

)帕塞瓦尔定理是能量守恒定理在数字信号处理领域的表现形式，该定理可以由复卷积定理导出。序列能量的计算：ZZZ变换和傅立叶变换之关系，逐一解开三大变换之联系。在知识的获取上，让学生尝试自己种树自己摘桃。由此可见，序列求能量在时域中计算与频域中计算是一致的。3-5Z变换，拉氏变换与DFT傅里叶变换之关系大学备课用纸大学备课用纸 备 注 zX(z)

即X))znn连续时间信号的Laplace变换：x(t)X(s)即X(s)

x(t)estdta a

aFourierx(t)X

(j)即X(j)x(t)ejtdta a一.Z变换与拉氏变换的关系

a a设at)ˆatapaceXs)xtXs)]

ast

a(t)

x(t)(tnT)则Xa)at)et 而 a

an-故

(s)[ˆt]ˆtestdta a a[nTtnTestdt

anx(nT)est(tnT)dtn

ax(nTenTsx(nTesT)nan

an

(s)L[xˆ(t)]x(nT)(esT)na a ana序列n的z变为 X(z)zn，于)xT)，然当a

zesT时，nx(n)z|zeX(z|ze

)

Xˆ(s)aZ、Z平面映射关系）aS平面用直角坐标表示为：sZ平面用极坐标表示为：zesT因此：

zrejzrejejTreT即：Z的模只与S的实部相对应，Z的相角只与S虚部Ω相对应。(1).r与σ的关系σ=0，即S面虚轴 r=1，即Z面位圆；σ<0，即S左平面 r<1，即Z单圆内；σ>0，即S右平面 r>1，即Z单圆。zesTsz3-1图3-1. s面与z平之与r映射系其中，σ>0，为r>1;σ=0，映为r=1;σ<0，映为r<1。(2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）ω与Ω之映射关系如图3-1所示，ω与Ω之映射关系如表3.2所示。表3.2 ω与Ω映射s复平面z复平面Ω=0（s平面实轴）ω=0（正实轴）Ω=Ω0（平行于实轴的直线）ω=Ω0T（辐角为ω=Ω0T射线）Ω由-π/T~π/Tω由-π~π根据ω=ΩT及表2.2可得出，当Ω由-π/T变化到π/T，ω由-π变化到π，如图3-2所示，s平面上高度为2π/T的水平带状区域映射为z平面的一周，覆盖整个z复平面。图3-2.s平面与z平面之多值映射关系图大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 二.Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后，其频谱产生周期延拓，即： ˆ

(1a T

k

X(jk)a T由于傅氏变换是拉氏变换在虚轴s=jΩ的特例，因此有X(z)zejT

X(ejT)Xˆ(j)a即抽样序列在单位圆上的Z变换，就等于理想抽样信号傅氏变换。aa考虑到T，则aX(z)zej

X(ej)Xˆ(j)又Xˆ

(j)1a Tk

X(jk)a TX(z)

zej

X(ej)1Tk

X(j2k)a T因此，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。3-6序列的傅里叶变换及性质序列的傅立叶变换一个离散时间非周期信号及其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示：正变换：

)逆变换：

n)] 12

Xeen上式右端的积分区间可以是（0，2）或其他任何一个周期DTFT帐敛条件为n

x(n)e

n也就是说，若序列x(n)绝对可加，则其傅里叶变换一定存在且连续；反过来说，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可加的。x(n)X(ej)DTFTXejw)的傅里叶级数展开式，而x(n)则是傅里叶级数的系数，由DTFT逆变换式确定。大家已经知道，序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的值（当序列的z)

ej

1

Xzzn

n1

Xeez1

2DTFT的对称性共轭对称序列定义:x(n)xe e满足该定义的序列称为共轭对称序列，一般用xe(n)表示。对实序列，这一条件成为

xe(n)，即xe(n)为偶对称序列。共轭反对称序列定义e ex(n)e e提示：由于数学基础的原因，对部分同学而言，傅里叶变换对称性的一些结论具有一定的抽象性，要引导学生从代数和几何的角度同时理解对称特性。x0(n)就成为x0(n)提示：由于数学基础的原因，对部分同学而言，傅里叶变换对称性的一些结论具有一定的抽象性，要引导学生从代数和几何的角度同时理解对称特性。任一序列x(n)总能表示成一个共轭对称序列与一个共轭反以称序列之和（对于实序：x(n)=xe(n)+x0(n)xe(n)x0(n)xe(n)x0(n)1xe(n)=

[x(n)+x*(-n)]2x0(n)=

1[x(n)-x*(-n)]2很容易看出，这样得到的xe(n)及x0(n)分别满足共轭对称的定义式和共轭反对称的定义式。同样，一个序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)也可分解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：其中：

X(ejω)=Xe(ejω)+X0(ejω)Xe(ejω)=1[X(ejω)+X*(e-jω)]2X0(ejω)=

1[X(ejω)-X*(e-jω)]2Xe(ejω)是共轭对称的，满足Xe(ejω)=Xe*(e-jω)，X0(ejω)是共轭反称的，满足X0(ejω)=-X0*(e-jω)。与序列共轭对称性类似。X(ejω)X(ejω)=X(e-jω)X(ejω)X(ejω)=-X(e-jω)由上述定义说明，表3-3一些对称性质（性质12到性质16，这些性质可以直接由zz=ejω。12即，DTFT{Re[x(n)]}=Xe(ejω)性质13说明序列虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量即，DTFT{jIm[x(n)]}=X0(ejω)性质14和性质15则反过来说明序列的共轭对称和共轭反对称分量的傅里叶变换分别等于序列傅里叶变换的实部和j乘虚部，即：DTFT[xe(n)]=Re[X(ejω)]DTFT[X0(ejω)]=jIm[X(ejω)]重要的性质是当x(n)为序列时的情况。性质16说明，如果x(n)是实序列，则其傅里叶变换X(ejω)满足共轭对称性，即X(ejω)=X*(e-jω)由此得出：

Re[X(ejω)]=Re[X(e-jω)]Im[X(ejω)]=-Im[X(e-jω)]所以，实序列的傅里叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是ω的奇函数。同样，如果表示成极坐标形式，则 X(ejω)=)arg= RXx(n)

X(e-j)，幅度是ω的偶函数arg[X(ejω)]=—arg[X(e-jω)] ω1718x(n)x(n)jDTFT[xe(n)]=Re[X(ejω)]DTFT[X0(ejω)]=jIm[X(ejω)]1718序列傅立叶变换的性质z3-31216DFT的计算可起很大作用，接下来加以讨论。表3-3 列傅叶换主性质序号序列傅里叶变换性质12))3x(nm)e)4xX)5x(n))6xX)7anXej( )a8nx(n)d[X(ej)]jd9e0n)))10*XeHe)11x(n)h(n)1XeHe-2-12Re[x(n)]X)1)Xj]e 213jIm[x(n)]X)1)Xj]o 214xe(n)Re[X(ej)]15xo(n)jIm[X(ej)]16R)X)17帕塞瓦尔定理nhn)1XHn 18帕塞瓦尔公式 2 1 2 )n 2 3-7系统函数与频率响应一、系统函数1.定义大家知道，用单位抽样响应h(n)可以表示线性移不变离散系统，这时y(n)=x(n)*h(n)z变换则

Y(z)=X(z)H(z)H(z)

Y(z)X(z)H(z)zz变z2.几种常用系统h(n)H(z)：Rx|Z|≤∞稳定系统：单位抽样响应h(n)满足绝对可和n

h(n)因此，稳定系统的H(z)必须在单位圆上收敛，即H(ejω)存在。系统函数H(z)zH(z)3.差分方程与系统函数众所周知，线性移不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N阶差分方程 aky(nk)kn)z因此：

k0azY(z)kkk0Y(z)

k0bbz mkk0bzkkH(z)

k0 NkX(z)Nk

k0

azk系统函数分子与分母均为z-1的多项式，因而可以对上式分子分母进行因式分解，即Mcm

z1)H(z)K

m1 Nkdkk1

z1)式中，cmdkH(z)K以外，4.系统函数的收敛域用系统函数H(z)表示一个系统时，H(z)的收敛域对确定系统性质很重要。相同的系统函数，收敛域不同，所代表的系统可能完全不同。【例】已知系统函数如下：求单位抽样响应并分析系统稳定性。大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 解：H(z)有两个极点，z1=0.5，z2=10。收敛域包括∞点，因而系统是因果系统，由于收敛域不包括单位圆，因此，该系统不稳。【例】系统函数与上例系统，但收敛域不同求单位抽样响应并分析系统的稳定性。解: 据统数知，敛包单圆但不括点有环，系稳定，且非果统。用留数定理求H(z)的逆变换:注意到极点z2=10在积分围线之外，并考虑到n<0时，有一个n阶极点z=0，由此可得即h(n)二、系统频响的几何确定法频率响应的几何确定法，涉及的基本概念和原理是频率响应和系统函数，其关键知识点是向量和代数知识。先补充相关代数和向量知识，可以降低学习频率响应几何确定方法的难度。如前所述，可以用极点和零点表示系统函数，并可以根据零极点信息采用几何方法求系统的频率响应。频率响应的几何确定法，涉及的基本概念和原理是频率响应和系统函数，其关键知识点是向量和代数知识。先补充相关代数和向量知识，可以降低学习频率响应几何确定方法的难度。一个N阶的系统函数可用它的零极点表示为第48页 共208页第第49页 共208页MMcm

z1)

MM

cm)kH(z)k

m1 N

kzNM

m1 Nk系统的频响为:k

dk1

z1)

k1

dk)Mmce-j)Mm

MM

cm)N)kN

m1

kej(NM

m1 NdNk1

-je)ke)

k1

dk)mcmdkcmdk表示；ej单位圆上ej点的向量，用Cm

cm

则是由零点cm指向ej

cm

Cmej

dkdkejω点的向量，用Dkej

dk

Dkjm m m设Cm矢量为Cmemm m mDk矢量为Dk

ek

，其模为k，相角为kk则幅值响应可简化为k于是 |kM

MMmNm1 Nkk1N

k]mm1

kk1

MKarg[K](N-M)ω。ej(NM0~2πejej|)|（1）单位圆附近的零点位置将对幅值响应|H(ej)|的谷点（极小值）的深度和位置产生显著影响，若零点在单位圆上，则|H(ej)|的最小值为零，即为传输零点。（2）在单位圆内且靠近单位圆的极点对幅值响应|H(ej)|峰值的大小和位置具有显著影响。（3）若系统的极点在单位圆外，则系统不稳定；系统的零点可在单位圆外，对系统稳定无影响。（4）根据零极点位置对频率响应产生的影响进行分析，适当地控制系统零极点分布，能较好的改善数字滤波器的频率响应，以达到设计目标。【例】求其频率响应特性。已知系统的差分方程如下：N1

aMN

1)aknk0

k)（1）给出系统的结构图；（2）绘出系统的零极点分布图；（3）求系统的单位抽样h(n)；（4）求系统的频率响应，并根据频率响应的几何确定法分析幅值响应的峰值和谷点。解：（1）求系统结构图根据系统差分方程，可得系统的结构如图3-3所示。（2）系统的零极点分布图根据已知条件，对差分方程进行z变换，可求得系统函数为H(z)

N1akzk

1aNzN1

zNN1

aN

z0k0可得系统的零点方程为：

1

z

a)zNaN0可得N个零点分别为：j2iziaeN i1aa>0Nz=aN（N-1）个零点如下：j2iziae

N，i

1,2,,N1根据系统函数H(z)表达式，该系统在z=0处有（N-1）阶级点。由此可得系统的零极点分布如图3-4（a）所示。（3）单位抽样h(n)若输入为单位抽样信号，即：x(n)(n)（N-1）h(n)N

an,

0nN10,

其他n（Nh(n)h(n)3-4（b）（4）求频率响应若取N=，0a134（d）所示。根据系统零极点位置和系统频率响应的几何确定方法，该系统的幅值响应|)|ω=0|)|3-4（d）所示。图3-3系统结构图 （a）系统零级点分布 （b）系统单位抽样应（c）系统幅响应 （d）系统相位响应图3-4横向滤波器的结构与特性第4章离散傅里叶变换DFSDFTDFTDFSDFTDFTDFT二、本章知识体系三、本章教学重点DFTDT）DS级数；DFSDFTDFT①理论价值②工程意义(医学CT、核磁共振等)DFT混叠效应；频谱泄露；栅栏效应；频率分辨率四、本章教学难点（DFT）DFT（DTFT导入法、序列Z变换导入法及两种方法的内在联系）DFSDFT五、教学方法与手段板书和多媒体相结合的教学方法，除例题之外，随堂解析部分典型习题；本章是建立数字信号处理基本原理分析方法的重要章节，适当增加习题课，增加例题习题与实验的贯通分析和研讨；实验演示和讨论，加深对DFT概念和原理的理解；安排研讨课，引导学生思考Z变换、DTFT和DFT内在逻辑关系。六、本章教学内容4-1引言1、DFT是重要的变换(3)在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通过DFT在计算机上实现。2、DFT是现代信号处理桥梁DFT要解决两个问题：一是离散与量化。二是快速运算。1、连续傅里叶变换正变换：

4.2傅里叶变换的四种形式1逆变换：1

x(t)

这一变换对的原理示意图如图4-1所示，根据信号与系统的知识可得出：大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 （1）时域连续造成频谱是非周期的；（2）时域的非周期则造成频域是连续的谱。图4-1 连非期号谱2、周期连续时间、离散频率的傅里叶变换傅里叶级数正变换：逆变换：

)1T01T

T0/2/2

tet

etk式中，k为谐波序号，X(jk0

)为非周期离散频率函数，0

2，表示离散T0频谱相邻两谱线之间的角频率间隔。傅立叶级数变换对的原理示意图如图4-2所示，可以得出：（1）时域连续函数造成频域是非周期的频谱函数；（2）频域的离散频谱则对应时域为周期函数，即频域抽样，时域周期延拓。图4-2连续周期信号及其频谱第55页 共208页第第100页 共208页3逆变换：

)

jnn 12

Xeen式中ω为数字频率，它与模拟角频率Ω的关系为：1T1由于fs

T，s

2T，故DTFT又可以表示为如下形式：正变换：逆变换：

X(e)x(nT)en1s129)22离散时间信号的傅里叶变换示意图如图4-3所示，可以得出：（1）时域离散造成频域的周期延拓；（2）时域非周期对应于频域的连续。图4-3离散非周期信号及其频谱4、离散时间、离散频率的傅里叶变换DFT正变换：反变换：

N1X(k) n0

jnkN大学备课用纸大学备课用纸 备 注

1N1Nn0

jkN

j2nkNDFT变换形式，其时域和频域都是离散的和周期的，如图4-4所示。图4-4离散周期时域信号及其频谱图中，fsf0

s0

T0NT结论:表4-1四种形式傅里叶变换的时域频域对应关系时间函数频率函数连续、非周期非周期、连续连续、周期非周期、离散离散、非周期周期、连续离散、周期周期、离散DFTDFT列DFS的基本公式；作为铺路的基础，先点出时域和频域离散化处理中的数学基础问题和方法，然后学生开始讨论和交流，并自己从上一章的DTFTDFTDFSzLSI(DFT)。DFD1.（DFS）用 表示期为N的期序，即，kN大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 数本也一期序，为N（数 的解）说明：Zn=-zzzN周期为N的正弦序列其基频成分为：K次谐波序列为：N因此k=0到(N-1NNN周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对：DFS（DFS）

N1

j

NN1N

N

逆变换（IDFS）j2

n01N

N1kek0

jN

n01N

N1Nk0其中，WNe

N，又称为旋转因子。DFS表示离散傅里叶级数正变换，IDFS表示离散傅里叶级数逆变换。对于DFS，N以kN1DSW01DS正变N换的N个等式，这个N等式可以表示为如下矩阵形式：~

1 1 1 2

1N1

) X(1)

WN WN WN

) 提示：引导学生根据DFS的公式自己写出矩阵表达式。提示：引导学生根据DFS的公式自己写出矩阵表达式。

W2 W4

W(N))

N N N

~

N1

1)

N2N

1)XN

1

WN WN

WN

n

N

1DFS

1 1 1 2

1 1)~ x~(1)

1

WN WN WN

W2 W4 W1) N

N N N

22x~(N

1)

1)

1) ~

WN WN

WN

XN

1)DFS2.DFS的主要特性假设 都周为N的周期列各的散里叶数：1)线性特性提示：引导学生思考DFSzDFSz~n)~n~k)提示：引导学生思考DFSzDFSz1 2 1 2及N及N【例】移位序列的证明因为同样可证明：3）周期卷积若

(k)1 则有N1

N1

mnm0

m)

mnm0

m)证明：该式为周期卷积的计算公式，它与非周期序列的线性卷积的不同之处如下：（1）m和nN，故周期卷积的结果nN（2）周期卷积的求和只在一个周期上进行，线性卷积的计算是在整个序列的长度区间进行。DFSIDFS若时域序列n和nNn)则有

nn)大学备课用纸大学备课用纸 备 注 N1Y~

1

N1~ ~(k)

n]

n0

nWN

Nm0N

XmXk

m)1N11

m

kmNm0

))4-4离散傅里叶变换（DFT）NNDFS1.离散傅里叶变换周期序列的主值区间和主值序列。有限长序列x(n)如下

n

0nN10,

其他n设假周序列 ，是由N点列x(n)周为N拓而，此得：n)

kkN)一般将n=~N1n称为周期序列n主值序列表示n对N求余数或求模值，根据余数的计算方法可知，x((n))N的数值是以N为周期重复出现的。通过引入求余数的符号，则上式又可以表示为n)nN例】 是周为N=8的序求n=11和n=-2对N余数因此可得的主值区间和主值序列：周期列 的散里叶数 也是个期列可给定一主值区间0≤k≤N-1和主值序列X(k)。

XkNk)kRNk)有限长序列离散傅里叶变换。DFSIDFSx(n)X(k)NX(k)Nx(n)X(k)x(n)X(k)X(k)也能x(n)。2．DFT的矩阵形式提示：引导学生根据DFT的公式结合线性代数知识，自己写出DFT的矩阵形式。与DFS一样，有限长序列的提示：引导学生根据DFT的公式结合线性代数知识，自己写出DFT的矩阵形式。X(0)

1 1 1 2

1N1

X(1)

WN WN WN

X(2)

W2 W4

W1)

N N N

X(N

N1

1)

1) 1

WN WN

WN

同理，IDFT的矩阵形式如下：

1 1 1 2

1 1) x(1)

1

WN WN WN

W2 W4 W1) N

N N N

x(N

(N1)2(N1)

N2XN【例】

1

WN WN

WN 已知N=4的有限长序列x(n)的值如下：求序列x(n)的DFT变换。

R4(n)解：由已知条件可知，序列长度N=4，由此可得j2W4e 4 将N=4代入DFT正变换公式（4-34）可得X(k)

N1n0

34n0

以k=0，1，2，3代入DFT公式，可得：

N14n04N14

33x(n)4n03

n1n04N14

x(n)(j)n0n03

n2n0n34n0

x(n)(j)2n0n033x(n)(j)3n0n04.5散傅里叶变换的性质DFSDFTDFTzDFS的概念及性质具有密切的联系。提示：DFTZDTFT提示：DFTZDTFTDFTDTFTZ变换的性质密切DFTX(k)=DFT[x(n)]，Y(k)=DFT[y(n)](1)线性性DFT[ax(n)+by(n)]=aX(k)+bY(k) ，a，b(2)圆周移位序列圆周移位特性是指有限长序列x(n)经过周期延拓、移位并取主值序列之后，其DFT的运算特性，圆周移位又称为循环移位。圆周移位的概念◊周期延拓nx()◊移位

n)

x((n))Nx()mx((n

m◊取主值序列

n

m)

mN对移位以后的周期序列x~(nm)取其主值序列，即：x((nN序列圆周移位后的DFT为：N

mNRNn)DFT[x((n【例】试证明圆周移位特征

RN

WX(k)证：利用周期序列的移位特性：利用同样，对于频域有限长序列X(k)的圆周移位，有如下结论N(3)圆周卷积N

RN

W设x(n)和h(n)均为N点有限长序列，则

N1m0

m(n

) n)NNRN1xmh

nm nm0

()(

NRN()称为序列n和n圆周卷积循环卷积ccuarconouo。圆周卷积的运算符号一般用符号表示。

N1m0

m)) (n)NNRN这一卷积过程与周期卷积是一样的，只是在这里只取主值区间进行计算。频域圆周卷积若 则有

x(n)h(n)Yk

DFT

n

11XlH

kl k() ()

Nl0

()((

RN()11HlX

kl kNl0

()((

RN()1)H(k)N所以，离散时间序列（或离散傅立叶变换）的圆周卷积与离散傅立叶变换（或离散时间序列）(4)有限长序列的线性卷积与圆周卷积（圆周卷积的应用）当圆周卷积的点数不小于线性卷积的点数时，圆周卷积可以代替线性卷积的结果。问题：x(n)h(n)，其输y(n)x(n)*h(n)FFTDFTL≥N+M-1。(5)共轭对称性圆周共轭对称性质（1）有限长序列共轭对称特性设x(n)为N点有限长序列，且有X(k)j则有NNXRNN

X

kNRN

(k)【例】有限长序列共轭对称特性的证明证：根据DFT的定义有：N1

N1 * N N

xnWk

nkNn0N

n0 NN1 *NNNXR(k)NNN

(Nk

（W

1）Xk))RN （2）翻转与共轭特性

n0 (k)NNRXNN大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 （3）实部特性1))2 N（4）虚部特性

X

kN)X

)DFT1))

-X

k)))X

)2 N【例】实部特性的证明证：

N N 因为 因此

1x2

121)X2

kR

N)]1))Xk))

)2 N N NXep(k)epNDFTDFTepNXep

(k)X*(Nk)

RN(k)DFT形式下的Paseval定理显然，当y(n)=x(n)时，即为有限长序列的能量复序列的实部与虚部的DFT变换：以xr(n)和xi(n)表示序列x(n)的实部与虚部，则然， Xe(k)具有共轭偶对称特性，称Xe(k)为X(k)的共轭偶对称分量。分别以xe（n）及x0（n）表示序列x(n)的圆周共轭对称与圆周共轭反对称分量：（N0）x（(6)选频性zNDTet（meT。若0

/Nj2mnx(n）eNDFT

kDFTNNDFTＮDFTZ当z=w-k时，N即NzNkX(kzK结论：DFT【例】时域序列末端补零点，其频谱影响分析。已知有限长序列x(n)如下：大学备课用纸大学备课用纸 备 注 RN（1n的TT，即Xe；（2）在序列末端补不同长度的零值点，计算补零点之后x(n)的DFT，并分析补零值点对频谱的影响。解：%Matlab程序如下：clc;clearall;closeallx=[ones(1,4)];X4=fft(x,4); x(n)4DFTX8=fft(x,8); %补1的0值，算x(n)的8点DFTX16=fft(x,16); %补3的0值，算x(n)的16点DFTX32=fft(x,32); %补7的0值，算x(n)的32点DFTXk=fft(x,512);W=[0:1:511]*2*pi/512;subplot(2,2,1);plot(W/pi,abs(Xk));title('(a)|X(ejω)|ofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(ejω)|');subplot(2,2,2);mstem(X4);title('(b)4点DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(k)|');subplot(2,2,3);mstem(X8);title('(c)8点DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel(‘|X(k)|');subplot(2,2,4);mstem(X32);title('(d)32点DFTofx(n)');xlabel('ω/pi');ylabel('|X(k)|');mstemstemX(k)functionmstem(Xk)N=length(Xk);k=0:N-1;wk=2*k/N; %生N频值stem(wk,abs(Xk),'.');boxon %制N点DFT的特性图xlabel('ω/pi');ylabel(''|X(k)');axis([0,2,0,1.2*max(abs(Xk))])45（n的DTT，频谱Xe（bn的4点DT4（）Xe在001π（n1补4x(n)DFTz，即在Xe大学备课用纸 大学备课用纸 备 注 x(n)7x(n)DFTXe78倍。ofx(n)42DFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|200 0.5 1 1.5 2ω/piDFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|21.52ω/piω/pi01.52ω/piω/pi0 0.5 1 1.5 2

00 0.5 1 1.5 2ω/piDFTofx(n)|X(k)|4|X(k)|200 0.5 1图4-5 序末补同数点的谱4-5频域抽样X(k)x()X(k)

x()zN设x(n)为绝对可加的非周期序列，其z变换为X(z)x(n)znn8x(n)zN~ nkzWX(k)X(z) kzW

(Nn~x(n)?X(kx()。x()

~ 1~

nkN IDFSX(k)

X(n)WNNn可得x()1N1NN

nk

()1N1W(mn)kNk0m

NWN

m

N

N k0由于：

1N1N

(mnN

niNWk0W所以

0,其他m(n)

iiN)~X(k)

x()N（1）若x(n)不是有限长序列，则时域周期延拓后，必然造成混叠现象，就会产生误差。当n增加信号衰减得越快，则误差越小。（2）x(n)MN<M时，x(n)Nx()xn。（3）对于M点的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样点数N不小于M点，即N≥MxN

()xN

(n)RN

(n)x(nrN)RN

，N≥Mr（4）点数为N（或小于N）的有限长序列，可以利用它的z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。频域抽样定理表明了N个频域抽样值X(k)能不失真地表达N点有限长序列x(n)，因NX(k)X（z）以及频率响应。x(n0≤n≤N-1)zN1X(z) x(n)znn0N由于：()1N1X(kWnkNNk0代入x(n)表达式中，可得X(z)N11N1X(kWnk

1N1X(k)N1WnkznNNN n0Nk0

Nk0 n0 1N1WNkzN 1zNN

X(k) X(k) N NNNk0NN

1Wkz1

N k01Wkz1这就是由N个频域抽样值恢复X(z)的插值公式。N1X(z) X(k)k(z)k0(z)1

1zN其中， k

NN1Wkz1N

称为插值函数。4.7DFT计算连续信号的工程问题DFT对信DFT应用DFT计算连续时间信号频谱的过程如表4-4所示，首先，对连续时间信号x(t)进行抽样，得到离散序列x(n)，抽样应避免混叠现象；然后，对序列x(n)进行截断，即x(n)w(n)x(n)w(n)。nDSN频域周期序列~knN点有限长序列xNn，NN点频域序列XN。表4-4DFT计算连续信号过程图解表过程时域信号变换与工程问题频谱信号混叠效应频谱泄露设信号最高频率为fh按抽样定，则抽样频率应满足fs2fh即fs=(2.5~3.5)fh

T1fs

1fh如果不满足fs2fh的要求，就会产生频率响应的周期延拓分量互相重叠现象，即产生频率响应的混叠失真。【例】DFT工程应用示例。2频率分辨率≤5HZ信号最高频率≤5kHZ试确定该频谱分析仪的相关参数：（1）信号的最小记录时间T0；（2T；（3）在一次观测应记录的最少点数N。解：（1）计算信号的最小记录长度根据分辨率的定义计算T01fT01f0

15

0.2(s)T0（2）求最大抽样间隔T

根据信号的最高频率确定最大抽样间隔T，即最小抽样频率fs=1/T，根据抽样定理fs因此可得最大抽样间隔T

2fhT 1

125

（3）求最少记录点数N最小记录点数N应满足N2fhf0

255

2000因此，最小抽样点数N应取

N211

2048j设1)表无长号如图4（其频为X1e )如图4（b采用如图46）N（46（d将1)N，其频谱为。（a）列（b）列的谱（c）矩序列 （d）矩序频谱（e）截序列（f）列的谱图4-6信号截断时的频谱泄漏1X(ej拖尾1这可做如下解释：因为如果窗谱是δ(ω)函数，那么时窗就为无穷宽的均匀函数，1实际上等于没有乘窗函数，则卷积结果仍得到X(ej)。当窗谱有一定宽度，而不是δ1(ω)的情况下，卷积结果必然造成频谱泄漏现象。FIR3.栅栏效应DFTF0减小栅栏效应的一个方法是让频域抽样更密，即增加频域抽样点数N，在不改变时域数据的情况下，必然是在时域序列末端补适当的零值点，使一个周期内序列的点数“增2加并改原录于域为 kN增大使单圆样点N之间的间隔更小，谱线更密，谱线变密相当于观测点更多，抽样点少的时候观察不到的频谱分量就有可能观察得到了。4.频率分辨力DFTf sfN

11第5章快速傅里叶变换（FFT）DFT（DIT）的基-2FFT（DIT）的基-2FFT一、学习要求FFT一、学习要求FFTFFT二、本章知识体系三、本章教学重点DFTFFTDIT-2FFTDIT2DIF-2FFTDFTFFTDIT-2DIF2◆卷积与线性相关的快速算法分析。五、教学方法和手段板书和多媒体相结合的教学方法；教学中注意启发学生思考FFT算法的思维逻辑，通过研讨深刻理解FFT快算算法的对称性；FFT快速算法思维方法的迁移作用，线性卷积快速算法。六、本章教学内容5-1引言快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT的一种快速有效方法。提示：DFTFFT提示：DFTFFT（1FT（2）中接触的快速算（）维方法，再结合DFTDFT34数字信号处理中DFT运算的用途：（1）在FIR滤波器设计中，经常要由h(n)求H(k)，或从H(k)求h(n)。（2）DFTDFTDFTDFTDFT1965DFTDFTFFTDFT～DFT5-2直接计算DFT的问题及改进的途径设x(n)为N点有限长序列，其DFT为X(kX(k)x(n)W ,nkN

kN1

（5-1）n0逆变换（IDFT）为NX(k)1N1X(kWN

nN1

（5-2）Nn0二者的仅仅两点细微差别：一是WN的指数符号不同，二是逆变换多一个常数乘因N1/NDFT正变换（5-1）（5-2）x(n)和WnkX(k)X(k)NNN(x(n)与Wnk相乘)X(k)N（k0取到N1TN2NN1）51NX(k)N1(WnkN1(]j(Wnk]jWnkn0N1

N N Nn0Re[x(n)]Re[Wnk]Im[x(n)]Im[Wnk]N Nn0

（5-3）j(Re[x(n)]Im[Wnk]Im[x(n)]Re[Wnk]N NX(k)4N2（2N-1）DFT4N2N×2（2N-1）=2（2N-1）N上述分析值与实际需要的运算次数有些出入，因为某些Wnk可能是1或j，这时不N需要相乘，如W01,WN/21,WN/4j等特殊值就无需乘法。为了便于比较不同N N NN算法的运算量，一般都不考虑上述特殊情况，而是将Wnk都视为复数。此外，当N很N大时，特殊值乘法的比例很小。DFTN2NN=8时，DFT64N=1024时，DFT1048576N下面讨论减少运算量的途径。分析DFT的运算结构就可看出，利用系数Wnk的特N性，也可以一定程度上减小DFT的运算量。NWnkN(Wnk)*WnkN NNWnkNWnkW(nN)kWn(kN)N N NNWnkN提示：FFT24DFT思维方法进行教学。Wnk提示：FFT24DFT思维方法进行教学。由此可得出

N N N

N/mWn(nN)kW(Nn)kWnk,Wn/2(kN/2)kN N N N N NDFT。

◊利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并；N◊利用Wnk的对称性，周期性和可约性，可以将长序列的DFT分解为短序列的NDFT的运算量与N2成正比，因此，N越小越有利于降低运算量，因而将序列的点数降低是减小DFT运算量的重要方法。提示：DIT快速算法的推演过程数学符号多，相对较抽象，部分数学基础弱的同学难以理解。为了便于理解，也为了调动学生的参与度和提高思维活跃性，可以采取对时域序列第一次分解以