数字信号处理-课件 第8章 无限长冲激响应数字滤波器设计

第8章无限长冲激响应数字滤波器设计§8-6IIR与FIR数字滤波器的比较§8-8本章总复习§8-5FIR滤波器的最优化设计§8-2FIR线性相位滤波器的特点§8-1引言点击进入目录§8-4频率抽样设计法§8-3窗函数设计法2024/12/2213:2838.1引言IIR数字滤波器的优点是可以利用模拟滤波器的设计经验和结果，模拟滤波器的设计有成熟的数学方法和现成的图表可查，简单方便。IIR滤波器的主要缺点是难以实现严格的线性相位特性.线性相位滤波器应用广泛,如音乐厅的声音传输系统、图像和通信传输系统在内的很多应用系统常常要求具有严格的线性相位特性。FIR滤波器由于可实现严格的线性相位而具有独特的优势，线性相位滤波器不会改变输入信号的形状，只是将信号延迟了若干个抽样间隔.

FIR滤波器的单位抽样响应为有限长序列，既具有恒定的稳定性，又可以采用FFT算法提高运算效率和实时性.2024/12/2213:2848.1引言

另外，经过足够的延时，一个非困果有限长序列能成为因果有限长序列，可以采用因果系统实现。

FIR滤波器的不足之处是，对于同样的衰减特性，FIR滤波器的系统阶数比IIR滤波器系统阶数要高很多.

由于系统函数H(z)结构的不同，IIR滤波器设计中的各种变换方法对FIR滤波器是不适用的。

线性相位FIR滤波器的设计主要包括窗函数设计法、频率抽样法和最优化设计法。8.2FIR线性相位滤波器的特点FIR滤波器是非递归型线性时不变因果系统，其单位抽样响应h(n)是有限长序列，它的z变换为

FIR滤波器系统函数的主要特点如下：（1）H(z)是关于z-1的（N-1）阶多项式；（2）系统函数在有限z平面上有（N-1）个零点，零点可以分布于z平面的任意位置；系统函数H(z)在原点z=0处有（N-1）阶重极点。概述8.2.1线性相位应满足的条件h(n)对应的z变换为H(z)，其频率响应为实际滤波器系统的单位抽样响应h(n)为实序列，因此有θ(ω)具有如下两种类型的线性相位：式中，α,β均为常数(1)θ(ω)=-αω

(2)θ(ω)=β-αω两类线性相位的群延迟都为常数为:1．第一类线性相位条件满足式（1）的线性相位特性的系统称为第一类线性相位滤波器或第一类线性相位系统，即滤波器具有经过原点的线性相位特性。因此,第一类线性相位（过原点的线性相位）滤波器的h(n)具有如下关系:将线性相位条件代入频率响应表达式,可得:化简可得即线性相位滤波器必须满足如下条件这是FIR滤波器具有第一类线性相位（相位特性过原点的线性相位）的充分必要条件，即:（1）延时α等于h(n)长度N-1的一半，即α=(N-1)/2；（2）滤波器的h(n)偶对称，并以n=(N-1)/2为对称中心.N为奇数时，延时α为整数；N为偶数时，延时为整数加半个抽样周期。0≤n≤N-12．第二类线性相位条件满足式（2）所示的线性相位特性称为第二类线性相位滤波器或第二类线性相位系统，该类型的滤波器相位特性在纵轴上经过±π/2。代入线性相位条件,可得:化简可得因此,线性相位滤波器必须满足如下条件0≤n≤N-1这是FIR滤波器具有第二类线性相位的充分必要条件（1）延时α等于h(n)长度N-1的一半，即α=(N-1)/2；（2）β=±(π/2)，表明此时除具有线性相位之外，还有±π/2的固定相移.(3)h(n)奇对称，并以n=(N-1)/2为奇对称中心。由于h(n）具有奇对称性，当N为奇数时有：根据h(n)的对称性和N的奇偶情况，可以分为:h(n)偶对称（N为奇数和偶数）h(n)奇对称（N为奇数和偶数）如图8-1(a)~(d)分别是四种对称情况时h(n)的波形.

h(n)的四种对称关系分别对应四种类型的FIR线性相位数字滤波器.8.2.2线相位FIR滤波器频率响应的特点1.h(n)偶对称根据线性相位条件可得频率响应为：欧拉公式并结合h(n)偶对称特点，化简可得幅值响应函数为：相位特性为：因此，滤波器具有严格的线性相位，并具有(N-1)/2个抽样间隔的延时。h(n)偶对称时的相位特性2.h(n)奇对称这时，频率响应为根据欧拉公式并结合h(n)奇对称的特点可得幅值响应函数为相位特性为：h(n)奇对称时，FIR滤波器具有准确的线性相位，并具有(N-1)/2个抽样间隔的延时，而且还产生900的相移，此时，FIR滤波器是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。ω=0时，θ(ω)=π/2，即相位响应除线性相位项之外，还包含了π/2相移，如下图所示。能使所有频率产生900相移的网络，称为正交变换网络，又称为900移相器、希尔伯特（Hilbert）变换器。8.2.3幅值函数的特点根据h(n)的对称性和N的奇偶情况，可以按h(n)的四种情况对H(ω)的特点进行讨论。1.I型线性相位：h(n)偶对称，N为奇数h(n)偶对称，N为奇数时的线性相位FIR滤波器称为I型线性相位滤波器。h(n)偶对称时，其幅值响应如下幅值函数可表示为式中h(n)为偶对称，N为奇数时，幅值函数具有如下特点：（1）H(ω)关于ω=0，π，2π偶对称性。（2）I型线性相位滤波器可以用于设计任意形式的FIR滤波器。2.II型线性相位：h(n)偶对称，N为偶数h(n)偶对称，N为偶数时的线性相位FIR滤波器称为II型线性相位滤波器。h(n)偶对称时，无论N为奇数还是偶数，其幅值响应函数为如下形式：上式可简化为式中当h(n)偶对称、N为偶数时，H(ω)具有如下特点：（1）当ω=π时，cos[ω[n-(1/2)]]，即H(π)=0，即H(z)在z=-1处有一阶零点；（2）H(ω)关于ω=π奇对称，关于ω=0，2π偶对称.II型滤波器不能用于设计高通和带阻滤波器;这是因为，幅值响应H(π)=0，而高通和带阻滤波器则要求ω=π时，幅值响应H(ω)≠0.3.

III型线性相位：h(n)奇对称，N为奇数h(n)奇对称，N为奇数时的线性相位FIR滤波器称为III型线性相位滤波器。幅值函数H(ω)如下：幅值函数H(ω)可简化为式中（1）当ω=0，π，2π时，H(ω)=0，即系统函数H(z)在z=±1处均为零点。（2）H(ω)在ω=0，π，2π具有奇对称性。h(n)奇对称，N为奇数，H(ω)具有如下特点III型滤波器不能用于低通或高通，只能用于带通滤波器。4.

Ⅳ型线性相位：h(n)奇对称，N为偶数h(n)奇对称，N为偶数时的线性相位FIR滤波器称为Ⅳ型线性相位滤波器。因此幅值函数如下：可进一步简化表示为如下形式式中h(n)奇对称，N为偶数，H(ω)具有如下特点：（1）当ω=0，2π时，H(ω)=0，H(z)在z=1处为零点。（2）H(ω)在ω=0，2π奇对称，在ω=π处具有偶对称性。

Ⅳ型滤波器不能用于设计低通和带阻滤波器。h(n)奇对称性时，滤波器具有90度相移特性，因此，第III种和第Ⅳ种FIR线性相位滤波器可以在微分器及900移相器中使用。7.2.4线性相位滤波器零点分布特点1．系统函数H(z)零极点的作用系统函数的极点是微分方程的特征根，它决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动(即零初始条件响应)时也会包含自由运动的模态。系统函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。当零点和极点互相接近时，可以一定程度上抵消极点对应的模态分量，可降低响应的超调量，但同时也会使响应速度变慢。在输出响应中，与零点对应的一类输入函数的模态分量为0，即零点对该类输入函数具有阻塞作用。2．FIR滤波器零点分布规律线性相位FIR数字滤波器，不仅具有线性相位、恒定的稳定性等特点，其零点分布也具有相应的规律。（1）若z=zi是H(z)的零点，则必有如果z=zi是H(z)的零点，则1/zi也是其零点。（2）若H(zi)=0，则由于实际FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，即H(z)是关于z或z-1的实系数多项式，根据实系数多项式理论，若H(z)的零点为复数，则必有其共轭复数的零点存在。

若z=zi是H(z)的零点，则、(zi)*、1/zi和(1/zi)*均为系统函数H(z)的零点。zi、(zi)*、1/zi和(1/zi)*零点四阶组。3．零点分布情况根据上述分析可知，FIR线性相位数字滤波器零点分布特点是互为倒数的共轭对，即零点具有共轭镜像关系。这种互为倒数的共轭对有如下四种可能性。1）非实轴、非单位圆上的零点若零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则zi可表示为:式中，零点的分布如下图所示，为两对互为倒数的共轭零点出现零点四阶组时，基本因式为：（a）非实轴、非单位圆零点上式中（2）单位圆上、非实轴上的零点零点zi在单位圆上，但不在实轴上，即r≠1，θi≠0或π，这时零点的共轭复数也等于其倒数，因而此时必为一对共轭零点，其分布情况如图8-5(b)所示（b）单位圆上、非实轴上零点这种情况的基本因式为：（3）实轴上、非单位圆上的零点零点zi在实轴上，但不在单位圆上，即r≠1，θi=0或π，显然，这时零点为实数、不是复数,而且零点存在倒数,其倒数也是实数，这时零点的分布情况如图8-5(c)所示式中:取“+”号时，θi=π，零点在负实轴上；

取“—”号时，θi=

0，零点在正实轴上。（c）实轴上非单位圆上零点这时的基本因式为（4）在实轴上、在单位圆上的零点零点zi既在实轴上也，在单位圆上，即r=1，θi=0或π，这时零点仅具有两种可能，即这时，零点的分布如图8-5(d)所示，零点为实数，而不是复数，故没有共轭零点，均为单个零点。因此，系统函数包含的基本因式为：（d）实轴且单位圆上零点

根据已知条件求FIR滤波器的系统函数H(z)

已知某线性相位FIR数字滤波器的系统函数H(z)为实系数多项式，且已知系统函数在z=1和z=0.5ejπ/3处各有一个单零点，滤波器的单位抽样响应h(n)在0≦n≦5均为实数值，n取其他值时h(n)=0。试求该线性相位FIR滤波器的系统函数H(z)。解：例1（1）由于滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，根据z=0.5ejπ/3处有零点，则必有另一个共轭零点z=0.5e-jπ/3，即系统函数包含如下因式：（2）根据零点的镜像位置关系，即非单位原非实轴上的零点，其倒数依然是零点，因此，系统函数还包含如下因式：（3）系统在z=1处有单零点，为实数零点，且在实轴上，也在单位元上，因此，系统函数包含如下因式：由此可得，该滤波器的系统函数为:根据上述分析可知，FIR线性相位滤波器的系统函数H(z)只可能是由以上这四种因式的组合而成。若将系统函数零点分布与四种类型FIR线性相位滤波器结合起来，则可得出:II型滤波器，由于H(π)=0，必有单根z=-1；III型滤波器，由于H(0)=H(π)=0，则必有zi=±1两个零点；Ⅳ型滤波器，由于H(0)=0，则必有单根z=1.掌握了FIR线性相位滤波器的基本特性，就可根据技术指标要求设计符合需求的各种类型的FIR滤波器。2024/12/2213:28378-3窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的窗函数设计法

(DesignofFIRFiltersusingWindowFunction)是有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的一种重要设计方法；它的基本思想是从理想滤波器的频率特性入手，通过序列的傅立叶逆变换求出其单位抽样响应hd(n)；该hd(n)为无限长单位抽样响应，经过加窗(即窗函数)直接截短为有限长序列，作为设计的FIR滤波器的单位抽样响应;窗函数在很大程度上决定着滤波器的性能，因此称为窗函数设计法。概述：2024/12/2213:2838理想的频率响应Hd(ejω)，设计一个FIR滤波器，使其频率响应H(ejω)逼近理想频率响应Hd(ejω).8-3窗函数法设计FIR滤波器8.3.1设计方法1．基本原理

Hd(ejω)在边界频率处有不连续点，因此hd(n)是无限长的，且是因果的。为得到有限长序列，最有效的方法是加窗函数w(n)对hd(n)进行截短2024/12/2213:2839对Hd(ejω)进行傅立叶逆变换可得：以理想低通滤波器为例分析窗函数法理想滤波器幅值响应函数如下：2024/12/2213:2840将hd(n)截取长度为N的一段，构成h(n)设计线性相位滤波器，必须满足对称性要求对称中心:对无限长序列hd(n)加矩形窗函数RN（n）进行截短，得到有限长序列h(n)，设窗函数统一用W(n)表示，若加矩形窗，则有：2024/12/2213:2841窗函数设计法的频域影响时域加窗对hd(n)截短以后，滤波器h(n)已符合FIR线性相位滤波器的对称性约束条件，那么对应的幅值特性H(ejω)是否能充分逼近Hd(ejω)呢？接下来分析经加窗截短后对频率响应所产生的影响。频域卷积根据上式可知，

H(ejω)能否充分逼近Hd(ejω)以及逼近的精度，完全取决于窗函数WR(ejω)的频率特性。2024/12/2213:28422．加窗对H(ejω)的影响矩形窗是一种常用的窗函数，现以矩形窗截短为例，分析加窗运算对滤波器频率特性所产生的影响。矩形窗矩形窗频谱矩形窗幅值2024/12/2213:2843FIR滤波器的幅频特性H(ω)能否充分逼近理想滤波器的幅值特性以及逼近误差，完全取决于窗函数W(ω)的频率特性。接下来分析加窗后的卷积积分过程2024/12/2213:2844理想低通与矩形窗频谱函数卷积过程2024/12/2213:2845加窗对H(ω)的影响在理想特性不连续点ωc附近形成过渡带,过渡带宽度近似等于WR(θ)主瓣宽度,Δω=4π/N

通带内增加了波动，最大峰值在ωc-2π/N

处,阻带内产生了余振，最大负峰在ωc+2π/N处,通带与阻带中的波动情况与窗函数幅值谱有关,WR(θ)波动愈快(加大时)，通带与阻带内波动愈快，WR(θ)旁瓣的大小直接影响波动的大小.这些影响是对hd(n)加矩形窗引起的，称之为吉布斯效应。

2024/12/2213:2846减小吉布斯效应的方法

增加矩形窗的宽度N不能减少吉布斯效应。

N的改变只能改变ω坐标的比例和WR(ω)的绝对大小，不能改变主瓣和旁瓣幅度相对值。加大N并不是减少吉布斯效应的有效方法。寻找合适的窗函数，使频谱的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣的幅度就变小了；旁瓣的减少可使通带与阻带波动减少，从而加大阻带的衰减。但这样是以过渡带宽度增加为代价的。2024/12/2213:2847矩形窗三角（Bartlett）窗汉宁（Hanning）窗海明（Hamming）窗布莱克曼（Blackman）窗凯泽（Kaiser）窗8.3.2常用窗函数加矩形窗产生了8.95%的正负峰值，根据过渡带右侧的这一负峰值数据，可计算出加矩形窗时，阻带可达到的衰减为-21dB，这个衰减在滤波器的实际应用中往往偏小。根据卷积积分原理，如果选择矩形窗，当窗谱接近于冲激函数时，H(ω)可充分逼近Hd(ω)，这相当于窗的宽度为无限宽，相当于不加窗截短，在工程设计中不可操作。为了增加FIR滤波器的阻带衰减特性，必须选择合适的窗函数。2024/12/2213:2848（1）矩形窗102024/12/2213:2849（2）三角（Bartlett）窗1012342024/12/2213:2850（3）汉宁（Hanning）窗2024/12/2213:2851（4）海明（Hamming）窗2024/12/2213:2852（5）布莱克曼（Blackman）窗2024/12/2213:2853（6）凯泽（Kaiser）窗2024/12/2213:2854常用窗函数的波形2024/12/2213:2855常用窗函数的频谱

2024/12/2213:2856给出理想滤波器的频率响应函数Hd(ejω)根据允许的阻带衰减及过渡带宽度，确定窗函数和N计算hd(n)

如果Hd(ejω)不能用简单函数表示，可以用求和代替积分。8.3.3窗函数法的设计步骤2024/12/2213:2857将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的冲激响应h(n)计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标8.3.3窗函数法的设计步骤2024/12/2213:2858用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器，设N=11，ωc=0.2

rad

例28.3.4滤波器设计举例解：理想数字低通滤波器求hd(n)2024/12/2213:2859因此，设计的FIR滤波器的单位抽样响应为:例28.3.4滤波器设计举例2024/12/2213:2860不同窗函数设计的FIR滤波器

用矩形窗时过渡带最窄，而阻带衰减最小;布莱克曼窗过渡带最宽，但阻带衰减加大;为保证有同样的过渡带，必须加大窗口长度N2024/12/2213:2861窗函数法设计FIR滤波器设计线性相位FIR低通滤波器，给定参数如下:Ωs=2

×1.5×104(rad/sec);Ωp=2

×1.5×103(rad/sec);阻带起始频率:Ωst=2

×3×103(rad/sec);阻带衰减不小于-50dB,幅度特性如下图所示:例32024/12/2213:2862解:(1)由模拟频率求数字频率通带截止频率:例3阻带截止频率:阻带衰减即:可删除此框内容可删除此框内容窗函数法设计FIR滤波器2024/12/2213:2863例3理想低通滤波器过度带截止频率:(2)求hd(n)设hd(ejω)为理想线性相位滤波器窗函数法设计FIR滤波器2024/12/2213:2864由此可得:例3其中,为线性相位所必须的相移窗函数法设计FIR滤波器2024/12/2213:2865例3由于海明窗过度带宽度:(3)求窗函数50dB:海明窗由δ2确定窗的形状,由过度带宽度确定N过度带宽度:窗函数法设计FIR滤波器2024/12/2213:2866例3(4)求h(n)海明窗:由海明窗确定FIR滤波器的h(n)窗函数法设计FIR滤波器67例3(4)求h(n)(续)所以:(5)由h(n)求H(ejω)检验各指标是否满足设计要求,如达到要求,设计结束.若未达到要求,改变窗的参数重新设计.窗函数法设计FIR滤波器68例3

Hd(ejω)的幅值特性如下图所示各指标满足设计要求,设计结束.窗函数法设计FIR滤波器本例为FIR低通滤波器设计，对于FIR高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等不同类型的滤波器，窗函数设计法的原理和方法类似，不同点只是理想滤波器的解析表达式不同，详细过程阅读教材相关内容。2024/12/2213:2869

应用Matlab函数fir1实现

窗函数设计数字滤波器

1）函数fir1的调用格式:

b=fir1(n,Wc,'ftype',Windows)n:滤波器阶数，Wc:截止频率Ftype:滤波器类型，ftype=high，高通FIR滤波器;ftype=stop，带阻FIR滤波器Windows:窗函数类型，默认为Hamming窗；可选boxcar、bartlett、Hanning、Hamming、Blackman、triangle窗。例42024/12/2213:2870

2)Matlab设计butterworth低通滤波器

设计15阶FIR低通滤波器，截止频率为0.2π。

b=fir1(15,0.2);freqz(b,1,512);例4函数freqz(b,a,N)用于计算由a和b构成的数字滤波器的频率响应，并用图形方式分别表示其幅度响应和相位响应。2024/12/2213:2871

程序运行结果

本例程序运行结果如下所示：例48.3.5窗函数法的主要问题从窗函数法设计数字滤波器的实例可以看出，窗函数法过程较简单，通常可以求出解析表达式，性能和参数有表格可查，采用程序设计时，流程清晰，代码简洁明了，使用方便。窗函数法应用非常广泛，但也存在如下问题：（1）若衰减特性要求不高，矩形窗应用广泛，设计方法简单快速，但一般不是最佳设计。（2）当理想滤波器性能Hd(ejω)很复杂或不能直接计算出hd(n)时，则用求和代替积分，这实际上相当于在积分区间内对Hd(ejω)进行均匀采样，用这个采样序列的离散傅立叶逆变换作为hd(n)的估计值，这时要求采样点越密集效果越好，但过多的采样点数会增大计算量，而过少的采样点数又会影响精度，因此，需要根据具体要求综合衡量，但一般情况下，采样点数至少不少于N。8.3.5窗函数法的主要问题（3）采用窗函数法设计FIR数字滤波器不能实现对通带和阻带截止频率的精确控制。（4）窗函数法设计的FIR数字滤波器具有通带、阻带最大波纹相等的特性，二者不能分别控制，通带和阻带的波纹越靠近过渡带，其波动幅度越大。采用窗函数法进行数字滤波器设计时一般按最大波纹参数进行设计，这就意味着阻带内其他频率处远超设计指标，因此，窗函数法设计的滤波器既不是最经济的设计，也不是最优设计。2024/12/2213:28748-4频域抽样法设计法8.4.1频率抽样法基本原理窗函数法的设计原理是从时域出发，在时域直接设计FIR线性相位数字滤波器，即对理想hd(n)用某一形状的窗函数截短为N点有限长序列h(n)，以该频率响应H(ejω)逼近理想的频率响应Hd(ejω)。频率取样法

(DesignbyFrequencySampling)是FIR滤波器的另一种重要设计方法，该设计法依据频域抽样理论，对给定的理想频率特性进行抽样，从抽样点中恢复原来的频率特性，达到设计FIR数字滤波器的目的。2024/12/2213:2875频率抽样法直接在频域进行设计；在[0,2

]范围内对理想滤波器Hd(ejω)进行N点等间隔抽样，使H(ejω)在抽样点上与Hd(ejω)的抽样值相等，然后根据频域抽样值求实际设计的滤波器的频率特性H(ejω).即：1．设计原理并以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值H(k)，即令因此有

求出频域序列H(k)以后，对H(k)进行DFT逆变换，求出时域有限长序列h(n)。

根据频域抽样内插公式可知，利用频域抽样的N个抽值H(k)也可求出FIR滤波器的单位抽样相应h(n)和系统函数H(z)以及频率响应H(ejω)2024/12/2213:2877根据插值公式频率响应

根据内插公式可知，在频域各抽样点上,波器的实际频率响应与理想滤波器的频率响应值完全相等，即k=0，1，2，…，N-1而在抽样点之间，其频率响应则是各抽样点的加权内插函数的叠加，与理想滤波器的实际值存在一定的逼近误差，误差大小与理想频率响应的波形密切相关。若理想幅值响应的曲线出现不连续的跳跃性波动，例如理想低通滤波器，则内插值与理想幅值响应的误差就较大，如下图所示。若抽样点之间的理想幅值响应曲线变化平缓，则内插值与理想幅值响应值的逼近误差就较小。因此，在理想幅值响应特性的不连续点附近，会出现逼近误差的峰值，除峰值现象之外，在通带内和阻带内，还会产生小幅振动或波动。2．线性相位约束条件采用频率抽样法设计FIR线性相位滤波器，其抽样值H(k)的幅值和相位应符合线性相位的相关约束条件。（1）第一类FIR线性相位滤波器h(n)偶对称，N为奇数2024/12/2213:2880当h(n)是偶对称，h(n)=h(N-n-1)，N为奇数。H(ω)是偶对称的对H(ejω)在[0,2

]范围内等间隔地抽样N个点即（2）第二类FIR线性相位滤波器h(n)偶对称，N为偶数幅值函数H(ω)具有奇对称性，即H(ω)关于ω=0,π,2π奇对称H(ω)=-H(2π-ω)由此可得，Hk也满足奇对称性，即由此也可得出,第三类和第四类线性相位滤波器的条件.8.4.2线性相位第一种频率抽样对Hd(ejω)进行频率抽样，即在z平面单位圆上的N个等间隔点上对频率响应抽样,有两种抽样方式。1.第一种方式(I型频率抽样)第一个抽样点在ω=0处，如下图所示。第一种频率抽样2.第二种方式(II型频率抽样)第二种频率抽样第一个抽样点在ω=π/N处，如下图所示;每种抽样方式都包括N为偶数和N为奇数两种情况。第一种频率抽样又称为I型频率抽样，本章前面分析的抽样方式就是第一种频率抽样，即由于实际系统的单位抽样h(n)为实数，因此可得:从几何意义上看，由于等间隔分布在N等分的单位圆上，虽然H(N)=H(0)，但有限长序列隐含有周期性，H(N)是下一周期的起始值。由此可得|H(k)|=|H(N-k)|θ(k)=-

θ(N-k)根据线性相位数字滤波器的相位约束条件：因此，频率抽样中抽样点的位置θ(k)、频率抽样值H(k)及频率响应的解析表达式如下：（1）若N为奇数（2）若N为偶数频率抽样法设计数字滤波器举例。采用频率抽样法设计FIR低通数字滤波器;

已知:ωc=0.5π,N=11

求H(ejω)的解析表达式。例5解：根据设计要求，理想低通滤波器的频率特性为：根据频率抽样理论，抽样频率间隔为：由此可得由于因此而代入频域抽样内插公式，可得：根据本题可知，采样频率抽样法设计FIR数字滤波器的一般步骤为:（1）根据已知条件确定Hk，θk（2）求H(k)；（3）计算H(ejω)或系统函数H(z)。8.4.3线性相位第二种频率抽样频率抽样设计法的优点是可以在频域直接设计数字滤波器，通过上一例题发现，采用该方法的抽样频率必须是2π/N的整数倍，抽样频率不能自由选择，若N确定时，抽样点的位置受到一定的限制，虽然可以通过增加N一定程度提升对频域抽样位置的选择，但又增加了计算量。为了提高对抽样频率的选择性，故提出了第二种频率抽样方法。第二种频率抽样的第一个抽样点不在ω=0处，而在ω=π/N处，又称为II型频率抽样，由于抽样点的相位发生了变化，因此，需对第一种频率抽样表达式的相位进行修正，即根据离散傅里叶逆变换的定义，则有即对h(n)进行z变换，可得：因此，可得频率响应为上述两式是第二种频率抽样的系统函数H(z)和频率响应H(ejω)的内插公式。为了方便应用，可将频率抽样H(k)表示为如下形式：由于实际滤波器的单位抽样响应h(n)为实数，因此有（1）若N为奇数

代入第2种频率抽样内插公式,可得N为奇数时,频率响应如下:（2）若N为偶数代入第二种频率抽样内插公式，可得N为偶数时，线性相位第二种频率抽样之频率响应如下:第二种频率抽样的提出，使得即使抽样点数N不变时，对抽样频率的选择性提高了一倍。上述两种频率抽样均可在FIR线性相位滤波器的最优化过程中应用，选择第一种还是第二种频率抽样，以及N取奇数还是偶数，应根据所设计滤波器的类型等相关条件决定。虽然FIR滤波器的频率抽样设计法与数字滤波器结构中的频率抽样型结构的基础都是频域抽样理论，但两者所解决的问题是不同的。从频域抽样理论建立起来的FIR频率抽样型结构，是FIR滤波器结构实现的一种方式，对任何FIR滤波器的系统函数皆可以采用。而FIR滤波器的频率抽样设计方法，是根据性能指标对FIR线性相位滤波器的系统函数进行设计，而不涉及滤波器的结构，设计完成之后，可以根据需要采用任何类型的结构来实现，既可以采用频率抽样型结构、卷积型结构，也可以采用级联型等结构。8.4.4过渡带抽样与逼近误差优化频域抽样法设计的FIR数字滤波器在阻带内的衰减很小，在实际应用中往往达不到要求.产生这种现象的原因是由于在通带边缘抽样点的陡然变化而引起的起伏振荡.8.4.4过渡带抽样与逼近误差优化工程应用中都希望设计的滤波器充分逼近理想滤波器，为了提高实际滤波器与理想滤波器的逼近程度，进一步减小逼近误差，应着重考虑如何减小通带边缘抽样点的突变而引起的起伏振荡，这种振荡既影响阻带应达到的最小衰减，也影响通带内幅值特性的平稳程度。为了减小过渡带的起伏振荡，提高滤波器的衰减特性，频域抽样法可以考虑在理想频率响应的不连续点的边缘增加过渡性的抽样点，这样虽然增加了过渡带的宽度，但可以降低起伏振荡，增大滤波器的阻带衰减特性。过渡带抽样点的增加以及对新增抽样点的抽样值进行优化，可以使滤波器通带和阻带的波纹均减小，从而获得高性能的FIR数字滤波器的优化设计。理论上，只要过渡带增加采样点就能提高滤波器衰减特性。过渡带增加的采样点数不超过3点就可得到很好的提升效果。低通滤波器，若不设置过渡性的抽样点，则阻带最小衰减约为-20dB。若增加1个过渡性抽样点，并对抽样值进行优化，则阻带最小衰减可达到--35dB~55dB左右；若增加2个过渡性抽样点，衰减可达-60dB~-75dB；若增加3个过渡性抽样点，衰减可达-80dB~-95dB。因此，过渡带新增频域抽样点对增加衰减特性的效果非常显著。(a)增加一个抽样点(b)增加二个抽样点(c)增加三个抽样点频率抽样设计法的主要优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计.主要缺点是抽样频率受到一定的限制，若采用第一种频率抽样法，抽样频率必须是2π/N的整数倍，若采用第二种频率抽样法，抽样频率则等于2π/N的整数倍与π/N之和因此，该设计方法无法保证截止频率ωc的自由取值，若想要达到自如的选择截止频率，仅有增加抽样点数N一个办法，但这增加了计算量。采用频率抽样法设计FIR低通数字滤波器，其理想频率特性为如下矩形特性：已知：ωc=0.5π，抽样点数N=33，试设计具有线性相位的FIR低通滤波器。解：例6根据给定的滤波器指标，低通滤波器在k=0时的幅值响应H(0)=1，因此，该滤波器属于第一类线性相位滤波器，根据给定的理想频率特性可得出频率抽样值H(k)如下图(a)所示，由于|H(k)|关于ω=π偶对称，而设计滤波器仅与0≤ω≤π的区间有关，在该区间内对应的采样点有17点，即H(k)（0≤k≤16），而17≤k≤32顺序的采样点，位于π<ω<2π区间内，图中已略去。（a）理想低通Hd(ejω)及抽样H(k)根据截止频率ωc=0.5π，可得因此，可按第一种频率抽样方式设计滤波器，N=33，则有由此可得频率响应为根据已知条件，采用频率响应抽样设计的滤波器幅值响应如图(b)所示，根据实验结果可知，过渡带宽度为2π/33，而阻带最小衰减略低于-20dB。由于在过渡带没有设置抽样点，滤波器的阻带衰减特性一般，对衰减特性要求较高的滤波器，该设计不能满足使用要求。(b)过渡带无采样点的设计结果为了提高阻带的衰减特性，达到更满意的衰减性能，可在通带和阻带交界处设置一个抽样点，采用插值优化可得，在k=9处，|H(9)|=0.5，如下图（a）所示，幅频特性仿真结果如图如下图（b）所示，这时滤波器阻带的衰减达到了-36db左右。由于过渡带增加了一个抽样点，这相当于扩大了过渡带的宽度，虽然增大了衰减特性，但这时过渡带宽度扩大一倍，为4π/N=4π/33。(a)

理想的频率响应及抽样|H(k)|(b)增加一个过渡性抽样点的设计结果若增加第二个过渡性抽样点，则可以进一步提升阻带衰减特性。需注意的是，由于增加抽样点，过渡带的宽度又增加一个采样间隔，如果不允许继续增加过渡带的宽度，而依然希望增大阻带衰减，则可以考虑增加频域抽样点数N。如果其他指标维持不变，增加N至N=65，并在k=17~18增加两个过渡带抽样点，优化插值|H(17)|=0.5886，|H(18)|=0.1065，则设计的滤波器的幅频特性如下图所示，阻带最小衰减超过了-55dB，而过渡带宽度没有增加，仅为6π/65。增大N的不足之处是，由于阶数升高，运算量增大了。N=33，增加两个采样点(b)N=65，增加2个过渡抽样点之频率抽样设计结果1088-5FIR数字滤波器的优化设计频率抽样设计讨论了过渡带抽样的优化设计，增加抽样点对提高阻带衰减特性的显著效果，这样设计得到的结果虽然进一步实现了对的充分逼近，使滤波器更接近于优化设计；由于这仅仅通过增加过渡带的少数抽样点并作为变量，而通带和阻带的其他抽样值都是预先确定的常数，因此并不是最优化逼近或最佳逼近；最优设计是指将所有抽样值均作为变量，在一定的优化准则下，计算机迭代所得到的结果称为最优化设计或最佳设计。FIR滤波器的优化设计，本质上是对的最优逼近，实现最优化的逼近误差。根据逼近误差衡量标准，有两种优化方法，一是基于均方误差最小准则，另一个是切比雪夫逼近准则，即最大误差最小化准则。在两个优化准则都得到了广泛的应用，在FIR滤波器设计方面，通常采用切比雪夫逼近准则设计的滤波器在同样性能时阶数更低，或者同样阶数时性能更优。2024/12/2213:281098-5FIR数字滤波器的优化设计FIR滤波器的优化设计采用“最大误差最小化”的优化准则，根据滤波器的设计指标，导出一组条件，要求在此条件下，在整个逼近的频带范围内使得逼近误差绝对值的最大值为最小，从而得到唯一的最佳解。采用最大误差最小化准则得到的最优滤波器，在通带和阻带内必然呈等纹波特性。最大误差最小化准则也称为切比雪夫准则。采用切比雪夫准则设计滤波器，误差在整个频带均匀分布，对同样的技术指标，这种逼近法需要的滤波器阶数低，而对同样的滤波器阶数，这种逼近法的最大误差最小。8.5.1均方误差最小准则顾名思义，这一准则是使逼近误差的能量最小，令Hd(ejω)表示理想的频率响应，H(ejω)表示实际设计的滤波器频率响应，

E(ejω)表示频率响应逼近误差，则有:由此可得均方误差为设计的目的是使e2最小，即均方误差最小设计准则注重的是在[-π~π]整个区间内，误差的总能量最小，并不关注局部误差大小，因而某些频率点可能会出现大一点的误差。因此，均方误差最小的目标是通过合理选择滤波器的单位抽样响应h(n)，使得误差e2最小。根据误差定义可得：根据帕塞瓦尔定理可得：误差e2共包含两个求和大项，其中第二求和项仅仅与理想滤波器的hd(n)有关，而与其他因素无关。在理想频率特性Hd(ejω)给定后，hd(n)便已经完全确定，而且与设计值h(n)无关，因此第二求和项实际上为常数。由此可知，欲使e2最小，必须使第一求和项最小，而误差e2获得极小值的理想情况是:(*)这时可实现e2最小，即根据上页表达式（*）可知，窗函数设计法中采用矩形窗对进行截短就是均方误差最优化设计的结果。在常用的窗函数中，虽然矩形窗的过渡带最窄，但由于存在吉布斯(Gibbs)现象，在过渡带两侧均产生了较大的峰值误差，从而导致滤波器在通带内存在起伏波动和阻带衰减较小等不足。8.5.2加权切比雪夫逼近准则切比雪夫逼近准则又称为最大误差最小化准则。最大误差最小化准则又称为最佳一致逼近准则，或加权切比雪夫等波纹逼近。采用优化设计的优点是不仅可以得到具有严格线性相位的FIR数字滤波器，而且实现了最优设计。该优化准则是基于“最大误差最小化”，即：式中，A表示预先给定的频率取值范围，可以是通带或阻带，E(ω)为权函数误差，形式如下：

1．H(ω)的统一表式为了分析方便，应将FIR线性相位滤波器四种情况频率响应的幅值函数H(ω)采用统一公式描述，将H(ω)分解为两项乘积的统一形式，即Q(ω)为ω的固定函数，P(ω)为ω的r个余弦函数之和，即r个余弦函数之线性组合。根据FIR线性相位滤波器h(n)的对称性以及N为奇偶情况，四种类型的之频率响应可统一表示为如下形式式中，H(ω)是幅值函数，为可为正负值的标量，L是与相位相关的指数因子。对于四种类型的滤波器，L的取值和H(ω)表达式各不相同，详细情况如表8-4所示。2．加权逼近误差极值分析由于滤波器设计中对通带与阻带的误差性能要求不一样，即不同频带范围内误差函数[Hd(ω)-H(ω)]的最大值不同，为了使得通带与阻带不同频段的加权误差最大值相等，加权切比雪夫逼近法对误差函数W(ω)引入了加权系数，即误差为通过引入加权矩阵W(ω)，从而使得各频带段的加权误差E(ω)最大值相同，例如，若逼近一个截止频率为ωc的低通滤波器，则应取式中，k=δ1/δ2，加权矩阵保证了通带与阻带的加权误差相同。从而可得：若Q(ω)≠0令则有这样，H(

)最佳一致逼近Hd(

)的问题是（或者切比雪夫等波纹逼近问题）可视为求一组系数使其在通带和阻带各频段的逼近误差E(ω)的最大误差达到极小。若用||E0(ω)||该极小值，则可表示为:式中，A表示滤波器工作的所有通带和阻带区间。对于上式所示的切比雪夫夫等波纹逼近问题求解，帕克斯(Parks)和麦克莱伦（McClellan）引入了逼近理论的一个著名定理来求解该问题，这就是交错定理（AlternationTheorem)，又称为交替定理。（1）交错定理则对于[0，π]区间内的一个子集A（包括所有通带和阻带，不包括过渡带）的连续函数的唯一和最佳的加权切比雪夫逼近的充分必要条件是：加权逼近误差函数E(ω)在A上至少有(r+1)个极值频率点，即A中至少有(r+1)个频率点ωi，且ω1<ω2<ω3<……<ωr<ωr+1且有：并且若P(ω)是r个余弦函数的线性组合，即（2）极值频率点数量交错定理最佳逼近的充分必要条件要求误差函数E(ω)在区间A上至少有（r+1）个极值点，而r是关于P(ω)线性组合中余弦函数的个数。现在讨论E(ω)极值频率点的数量。因此，用交错定理求解最佳逼近，应先分析H(ω)的极值点数量。以线性相位FIR滤波器的第I种情况为例讨论H(ω)极值点的最大数量。根据三角函数的倍角公式，上式可以化为若令r=cos(ω),，则有式中，因此，对FIR线性相位滤波器的第I种情况，H(ω)的极值点数目Ne满足：同理，对于线性相位FIR滤波器的其他三种类型，也可以推出极值点数Ne如下：对于第I种情况，低通滤波器的误差函数E(ω)最多可以有个=(N+5)/2极值点，根据交错定理，最优逼近时其误差函数极值点至少应有：极值点的数量比交错定理的要求还多一个极值点，这种滤波器被称为最多波纹滤波器，对于FIR线性相位低通滤波器，最多波纹滤波器又称为超波纹滤波器。8.5.3雷米兹交替算法雷米兹（Remez）交替算法是应用交错定理求解最佳逼近的一种最优化算法，又称为雷米兹交换算法。该算法由雷米兹于1934年公开发表，目前该算法已非常成熟，有很多资料可供借鉴和参考。根据FIR滤波器的设计问题，该算法是在单位抽样响应长度N、通带截止频率ωc、阻带截止频率ωs给定的情况下求解，过程如下。1．确定一组频率{ωk}根据交错定理先选择一组频率点，{ωk}，（k=0，1，2，…，r），可以先对（r+1）个等间隔初始频率点ωk（k=0，1，2，…，r）给定一组初始估计值，这些频率点位于通带和阻带区间，在选择初始频率点时应注意将ωc及ωst包含在内。将初始频率点{ωk}，（k=0，1，2，…，r）代入误差函数，则有即因此，求解逼近函数P(ω)，则需要求解逼近函数的r个系数α(n)及δ。2．求δ及系数α(n)根据误差表达式可得如下方程：这（r+1）个线性方程组，因此，可用矩阵形式表示如下：求解该方程可得α(0),α(1),…α(r-1)及δ，共r+1个未知数（2）δ解析式求解δ的解析表达式如下式中δ求出后，可求得的值根据拉格朗日内插公式可得式中3．计算E(ω)并迭代新的极值频率求出P(ω)之后，根据可以计算出误差函数E(ωk)的值，依次绘出当前确定的ω0,ω1,ω2,……,ωr频率点上的E(ωk)，若在这组频率的所有频率点上均满足|E(ωk)|≤δ，则说明最佳逼近已实现。4．求系统函数H(z)和h(n)实现最优逼近以后，由于已求得P(ω)，而P(ω)满足若P(ω)是通过解线性方程组求得，则已求出α(n)，对于四种类型中的任何一种滤波器，均可通过求解出如下系数：从而求解出即可求出h(n)和h(z)若是通过δ表达式求解P(ω)，则可根据由傅立叶逆变换求解滤波器的单位抽样相应h(n)和系统函数h(z)。FIR低通滤波器的最优设计已知线性相位FIR低通滤波器的指标如下：通带边缘频率：0.3π；阻带边缘频率：0.4π；通带最大衰减：δp=0.05；阻带最大衰减：δs=0.01；试采用切比雪夫等波纹最优设计法设计满足指标要求的FIR线性相位数字低通滤波器。例7解：clc;closeall;clearall;wp=0.3*pi;ws=0.4*pi;F=[wp/piws/pi];delta_1=0.05;delta_2=0.01;等波纹最优设计法设计线性相位低通滤波器程序代码如下：Delta=[delta_1delta_2];a=[10];[N,f0,a0,w]=remezord(F,a,Delta);h=remez(N,f0,a0,w);disp('FIR滤波器阶数');disp(N);disp('FIR滤波器阶数');disp(h);w=linspace(0,pi,1000);Mag=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(Mag)));axis([0,1,-80,5]);title('FIR线性相位滤波器设计');xlabel('归一化频率/\pi');ylabel('幅值/dB');grid;figure(2);stem(h);title('FIR滤波器单位抽样响应h(n)');axis([030-0.150.35]);xlabel('n');gridon;（1）FIR线性相位低通滤波器的幅值响应曲线如所示。（2）系统阶数及单位