沪科版七年级数学上册期末复习考题猜想 专题04-2 二元一次方程组（易错必刷36题7种题型）

专题04-2二元一次方程组（易错必刷36题7种题型专项训练）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（共5题） 1【题型二】已知二元一次方程（组）的解求代数式的值（共5题） 3【题型三】二元一次方程组中特殊解法问题（共5题） 5【题型四】二元一次方程组中新定义型探究问题（共6题） 11【题型五】二元一次方程组应用销售问题（共6题） 16【题型六】二元一次方程组应用方案问题（共5题） 21【题型七】二元一次方程组应用配套问题（共4题） 28【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（共5题）1．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则．2．（23-24八年级上·四川达州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为．3．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为．4．（23-24七年级下·山东日照·期末）若是关于，的二元一次方程，则．5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于．【题型二】已知二元一次方程（组）的解求代数式的值（共5题）6．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是．7．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是二元一次方程的解，则的值是．8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是方程组的解，则的值为．9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为．10．（23-24九年级下·山东烟台·期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为．【题型三】二元一次方程组中特殊解法问题（共5题）11．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组12．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下：①②得，所以③，得：，解得，把代入③，得，所以原方程组的解是．请你模仿本题的解法解方程组．13．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是根据上面方法，解决下列问题：(1)解方程组：；(2)解方程组：．14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：得：，即．③得：．④得：，代入③得．所以这个方程组的解是．(1)请你运用慧慧的方法解方程组(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______．15．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：解：①②得，所以③．将③，得．②④，得，由③得，所以方程组的解是．(1)请采用上面的方法解方程组；(2)直接写出关于x、y的方程组的解．【题型四】二元一次方程组中新定义型探究问题（共6题）16．（23-24七年级下·全国·期末）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．(1)求、的值；(2)若，，求的值．17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如．(1)已知：，，求k、b的值；(2)在（1）的条件下，若，求m的值．18．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．(1)求的值；(2)若，且，求的值．19．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，．(1)求的值；(2)当时，求的非负整数解．20．（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：．(1)求的值；(2)若，且，求的值．21．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题：(1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”．(2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值．【题型五】二元一次方程组应用销售问题（共6题）22．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？23．（23-24七年级下·全国·期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元．海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？24．（2018·山东济南·三模）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价元只售价元只甲种节能灯3040乙种节能灯3550(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？(2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？25．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元．(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？(2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值．26．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市．(1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元；小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？(2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？27．（23-24七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）．(1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；(2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值．【题型六】二元一次方程组应用方案问题（共5题）28．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：葡萄酒种类ABC每辆无人车装载量（箱）689(1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？(2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？29．（22-23八年级上·四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少．30．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．(1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．31．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）．车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600(1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？(2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？(3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【题型七】二元一次方程组应用配套问题（共4题）33．（23-24七年级下·广东汕头·期末）一套仪器由一个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件，现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？34．（23-24七年级下·山东威海·期末）某工厂生产两种产品，每块甲种板材可生产3件产品和1件产品；每块乙种板材可生产2件产品和2件产品，现要生产46件产品，26件产品，恰好需要甲、乙两种板材各多少块？35．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了响应国家“脱贫致富”的号召，某煤炭销售公司租用了甲、乙两种类型的货车若干辆为贫困地区运输了880吨的煤炭，已知每辆甲类型货车运输煤炭40吨，每辆乙类型货车运输煤炭50吨，所有甲类型货车运输的煤炭比所有乙类型货车运输的煤炭多80吨，求煤炭销售公司租用甲乙两种类型货车各多少辆？36．（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）据资料统计，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是2：1？请你设计两种不同的种植方案．

专题04-2二元一次方程组（易错必刷36题7种题型专项训练）目录TOC\o"1-3"\h\u【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（共5题） 1【题型二】已知二元一次方程（组）的解求代数式的值（共5题） 3【题型三】二元一次方程组中特殊解法问题（共5题） 5【题型四】二元一次方程组中新定义型探究问题（共6题） 11【题型五】二元一次方程组应用销售问题（共6题） 16【题型六】二元一次方程组应用方案问题（共5题） 21【题型七】二元一次方程组应用配套问题（共4题） 28【题型一】利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（共5题）1．（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则．【答案】2【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可．【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，∴，解得：，∴，故答案为：2．2．（23-24八年级上·四川达州·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为．【答案】0【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查了二元一次方程的定义问题．根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程进行求解即可．【详解】解：根据题意得且，解得．故答案为：0．3．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若是关于，的二元一次方程，则的值为．【答案】1【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．【详解】解：∵是关于，的二元一次方程，∴，∴，故答案为：1．4．（23-24七年级下·山东日照·期末）若是关于，的二元一次方程，则．【答案】/【知识点】二元一次方程的定义【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程得定义可得：，，求出、得值，进而得到得值．【详解】由题意得，，，解得，，，，故答案为：．5．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若关于x、y的方程是二元一次方程，则的值等于．【答案】2【知识点】二元一次方程的定义【分析】本题考查二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义求得，的值后代入中计算即可．【详解】解：关于、的方程是二元一次方程，，，解得：，，则，故答案为：2．【题型二】已知二元一次方程（组）的解求代数式的值（共5题）6．（23-24七年级下·吉林·期末）已知是二元一次方程的一组解，则式子的值是．【答案】【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解【分析】本题考查了二元一次方程的解及代数式的求值．熟练掌握二元一次方程解的定义，整体代入求代数式的求值，是解决问题的关键先把方程的解代入二元一次方程，得到关于a、b的方程，变形后整体代入求值．【详解】∵是二元一次方程的一组解，∴，∴．故答案为：．7．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知是二元一次方程的解，则的值是．【答案】【知识点】二元一次方程的解、加减消元法【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是把代入方程组，求出n，m的值，即可．【详解】由题意得：得：，解得：把代入①得：∴故答案为：．8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知是方程组的解，则的值为．【答案】2【知识点】二元一次方程的解、加减消元法【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，将代入，将两个方程相加可得答案．【详解】解：将代入，得：，得：，解得，故答案为：2．9．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为．【答案】【知识点】二元一次方程的解、加减消元法【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程，观察两个方程组的结构特征得出，从而求出方程组的解．【详解】解：根据题意得，解得，即方程组的解为，故答案为：．10．（23-24九年级下·山东烟台·期末）已知关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为．【答案】【知识点】二元一次方程的解【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据原方程组变形得，，可得，即可求解．【详解】解：把变形得，，∵关于x，y的方程组的解为，∴，∴，故答案为：．【题型三】二元一次方程组中特殊解法问题（共5题）11．（22-23八年级上·内蒙古包头·期末）先阅读，然后解方程组：解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组【答案】【知识点】代入消元法、二元一次方程组的特殊解法【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键．由①可得：③，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可．【详解】解：由①可得：③，把③代入②得：，解得：，把代入③得：，解得：，∴原方程组的解为．12．（23-24七年级下·河南许昌·期末）在解方程组时，发现，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．小亮同学经过思考采用了下面的解法，使运算变得比较简单，方法如下：①②得，所以③，得：，解得，把代入③，得，所以原方程组的解是．请你模仿本题的解法解方程组．【答案】【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．【详解】解：得得：③得：，解得：把代入③得：所以原方程组的解是．13．（23-24七年级下·陕西延安·期末）在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．【整体代入法】例：解方程组时，由①，得③，然后再将③代入②，得，解得．将代入③，得，∴该方程组的解是【轮换式解法】例：解方程组时，，得，∴③．③×16，得④．，得，将代入③，得．∴该方程组的解是根据上面方法，解决下列问题：(1)解方程组：；(2)解方程组：．【答案】(1)(2)【知识点】二元一次方程组的特殊解法【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法．（1）先求出，然后再把代入，求出y的值，再求出x的值即可；（2）求出，得出，用求出，得出，求出，即可得出方程组的解．【详解】（1）解：，由①得：，把③代入②得：，解得：，把代入得：，解得：，∴不等式组的解集为：；（2）解：，得：，∴得：，得：，得：，得：，∴方程组的解为：．14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单：得：，即．③得：．④得：，代入③得．所以这个方程组的解是．(1)请你运用慧慧的方法解方程组(2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______．【答案】(1)(2)【知识点】二元一次方程组的特殊解法【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．（）根据题意，利用例题方法求解即可；（）根据题意，利用例题方法求解即可得．【详解】（1）解：，得：，即，③得：，④得：，即，把代入③得，所以这个方程组的解是．（2）解：，得：，即，③得：，④得：，即，把代入③得，所以这个方程组的解是．故答案为：．15．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便：解：①②得，所以③．将③，得．②④，得，由③得，所以方程组的解是．(1)请采用上面的方法解方程组；(2)直接写出关于x、y的方程组的解．【答案】(1)，过程见解析(2)【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法【分析】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）根据题例进行解题即可；（2）根据题例进行解题即可．【详解】（1）解：，，得．∴③．将，得，，得．把代入③，得，∴原方程组的解为；（2）解：，，得，，将，得，，得．解得，把代入③，得，∴原方程组的解为．【题型四】二元一次方程组中新定义型探究问题（共6题）16．（23-24七年级下·全国·期末）对于有理数和，定义新运算：，其中、是常数，已知，．(1)求、的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组：（1）根据新定义，列出方程组进行求解即可；（2）根据新定义的法则，结合，列式计算即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∴，得，，整理得，，解得，，把代入①得，，解得，，∴；（2）根据题意得，，解得．17．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义一种新的运算f：（k、b为常数，）这里等式的右侧为通常的四则运算，例如．(1)已知：，，求k、b的值；(2)在（1）的条件下，若，求m的值．【答案】(1)(2)【知识点】新定义下的实数运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、加减消元法【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，正确理解新定义列得方程或方程组是解题的关键：（1）根据新定义列得，，直接求解即可；（2）根据新定义列得，解方程即可．【详解】（1）解：由得：由得：．解方程组解得：；（2）又，，解得．18．（24-25八年级上·全国·期末）对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)0(2)．【知识点】构造二元一次方程组求解【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：；（2）解：∵，∴①，∵，∴②，得∴．19．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）对定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．若，．(1)求的值；(2)当时，求的非负整数解．【答案】(1)(2)，，【知识点】新定义下的实数运算、二元一次方程的解、加减消元法【分析】本题考查了新定义，解二元一次方程组，解二元一次方程，解题的关键是理解题目所给新定义的运算法则，以及解二元一次方程组的方法和步骤．（1）根据，，得出关于m和n的方程组，求解即可；（2）根据（1）中得出的m和n的值，得出，即可解答．【详解】（1）解：∵，，∴，解得：．（2）解：由（1）可知，，∵，∴，即，∴符合条件的非负整数解有：，，．20．（23-24七年级下·河南商丘·期末）对于有序实数对，，定义关于“”的一种运算如下：，例如：．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)；(2)．【知识点】有理数四则混合运算、加减消元法【分析】本题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程组，理解定义的新运算是解题的关键．（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答；（2）根据定义的新运算可得①，②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答．【详解】（1）由题意，得.（2）由题意，得，，则有方程组解得.21．（22-23七年级下·黑龙江佳木斯·期末）已知是平面直角坐标系中的一点，若，是关于，的二元一次方程组的解，则称为该方程组的“梦想点”例如：是二元一次方程组，的“梦想点”根据以上定义，回答下列问题：(1)求关于，的二元一次方程组的“梦想点”．(2)若关于，的方程组与的“梦想点”相同，求，的值．【答案】(1)(2)的值为，的值为【知识点】加减消元法、写出直角坐标系中点的坐标【分析】（1）解方程组，可得出关于，的二元一次方程组的解为，进而可得出关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2）解方程组，可得出关于，的方程组的解为，进而可得出关于，的方程组的“梦想点”为，再将代入中，解之即可求出，的值．【详解】（1）解：，得：，将代入得：，解得：，关于，的二元一次方程组的解为，关于，的二元一次方程组的“梦想点”为；（2），得：，将代入得：，解得：，关于，的方程组的解为，关于，的方程组的“梦想点”为．将代入得：，解得：，的值为，的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组以及点的坐标，熟练掌握用加减法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．【题型五】二元一次方程组应用销售问题（共6题）22．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）2023年12月18日凌晨，甘肃省积石山发生6.2级地震，牵动全国人民的心！习近平总书记第一时间作出重要指示，要求全力开展搜救，尽最大努力保障人民群众生命财产安全．为了进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，并计划购买两种钢笔用于奖励此次测试成绩优异的同学．已知2支种钢笔的总价格比1支种钢笔的价格多20元，3支种钢笔和2支种钢笔的总价格共135元，求每支种钢笔和每支种钢笔的价格分别为多少元？【答案】A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据“2支A种钢笔的总价格比1支B种钢笔的价格多20元，3支A种钢笔和2支B种钢笔的总价格共135元”列二元一次方程组求解可得，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系．【详解】设购进A种钢笔每支m元，购进B种钢笔每支n元，根据题意，得：，解得：，答：A种钢笔每支25元，B种钢笔每支30元．23．（23-24七年级下·全国·期末）为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时（含180千瓦时）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时（含450千瓦时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，比第二档的单价每千瓦时提高0．05元．海珠区的李白同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的另一位居民杜甫家今年4、5月份的家庭用电量分别为200和490千瓦时，请你依据题目条件，计算杜甫家4、5月份的电费分别为多少元？【答案】杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，根据2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元，列方程组求解．【详解】解：设基本电价为x元/千瓦时，提高电价为y元/千瓦时，由题意得，，解得：，元则四月份电费为：（元），五月份电费为：（元）．答：杜甫家四月份的电费为122元，五月份的电费为327元．24．（2018·山东济南·三模）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价元只售价元只甲种节能灯3040乙种节能灯3550(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？(2)全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？【答案】(1)甲、乙两种节能灯分别购进40只、60只(2)该商场获利1300元【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，求出两种节能灯的数量是解本题的关键．（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可；【详解】（1）解：设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，根据题意，得，解这个方程组，得，答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；（2）解：商场获利为元，答：商场获利1300元．25．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）“才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元．(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？(2)由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值．【答案】(1)该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元(2)【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题的方法与步骤是解题关键．（1）设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元，根据等量关系一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，总销售额为2700元．列方程组，解方程组即可；（2）根据围巾涨价后销售价格减少后销量+手套涨价后的销售价格降低后的销量月份销售额，列方程，然后解方程即可．【详解】（1）解：设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元，根据题意，得，解得：，答：该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元；（2）解：，整理得，解得：．26．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明、小刚、小强与小亮打算周末郊游，他们去了同一家超市．(1)小明买了两个鸡腿与三个汉堡，花费了88元；小刚买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，请你通过列方程（组）帮助解答，小强一共需要花费多少元呢？(2)小亮买了葡萄汁、果粒橙与可乐三种饮料共10瓶，花费了187元，葡萄汁每瓶20元，果粒橙每瓶18元，可乐每瓶15元，聪明的你计算一下，葡萄汁买了多少瓶？【答案】(1)小强一共需要花费54元(2)葡萄汁买了5瓶【知识点】二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组是解题关键．（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，根据买了三个鸡腿与五个汉堡花费了142元，小强打算买一个鸡腿与两个汉堡，建立二元一次方程组，再求解即可；（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，得到关于、的二元一次方程，结合、是正整数求解即可．【详解】（1）设一个鸡腿价格为元，一个汉堡的价格为元，根据题意，得，由得：，小强一共需要花费54元；（2）设葡萄汁买了a瓶，果粒橙买了b瓶，则可乐买了瓶，根据题意，得，化简得：，，，均为正整数，当时，，葡萄汁买了5瓶．27．（23-24七年级下·福建厦门·期末）当季是西瓜成熟的季节，西瓜也具有解暑的作用，市场上西瓜的销量也与日俱增，某西瓜种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的西瓜，对总计1000斤的麒麟瓜、黑美人西瓜这两个品种的西瓜进行打包优惠出售，打包方式及售价如下：麒麟瓜每筐8斤，售价200元；黑美人西瓜每筐18斤，售价360元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜（筐数为整数且两种西瓜至少各有一筐）．(1)若这批西瓜全部售完，共收入21400元，请问麒麟瓜共包装了多少筐，黑美人西瓜共包装了多少筐；(2)当销售总收入为22840元时，若西瓜种植大户留下y（）筐麒麟瓜送人，其余的西瓜全部售出，求y的值．【答案】(1)麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐(2)9【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用：（1）设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据“用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤西瓜，且全部售出后共收入21400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，利用总价＝单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为正整数，即可求出结论．【详解】（1）解：设麒麟瓜共包装了m筐，黑美人西瓜共包装了n筐，根据题意得：，解得：．答：麒麟瓜共包装了35筐，黑美人西瓜共包装了40筐；（2）设麒麟瓜共包装了x筐，则黑美人西瓜共包装了筐，根据题意得：，∴．又∵x，y，均为正整数，∴．答：y的值为9．【题型六】二元一次方程组应用方案问题（共5题）28．（24-25八年级上·全国·期末）在一次葡萄酒展会上，为方便送达相应客户，某葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送A，B，C三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满，根据如表提供的信息，解答下列问题：葡萄酒种类ABC每辆无人车装载量（箱）689(1)如果装运C种葡萄酒需16辆无人车，那么装运A，B两种葡萄酒各需多少辆无人车？(2)如果装运每种葡萄酒至少需要11辆无人车，那么无人车的装运方案有哪几种？【答案】(1)装运A种葡萄酒需13辆无人车，装运B种葡萄酒需11辆无人车；(2)无人车的装运方案共有3种，方案1：用11辆无人车装运A种葡萄酒，17辆无人车装运B种葡萄酒，12辆无人车装运C种葡萄酒；方案2：用12辆无人车装运A种葡萄酒，14辆无人车装运B种葡萄酒，14辆无人车装运C种葡萄酒；方案3：用13辆无人车装运A种葡萄酒，11辆无人车装运B种葡萄酒，16辆无人车装运C种葡萄酒．【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．（1）设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据“葡萄酒商人决定租用40辆无人车运送，，三种葡萄酒共310箱，按计划，40辆无人车都要装运，每辆无人车只能装运同一种葡萄酒，且必须装满”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据租用的40辆无人车恰好可以运送，，三种葡萄酒共310箱，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为不小于11的正整数，即可找出各装运方案．【详解】（1）解：设装运种葡萄酒需辆无人车，装运种葡萄酒需辆无人车，根据题意得：，解得：．答：装运种葡萄酒需13辆无人车，装运种葡萄酒需11辆无人车；（2）解：设用辆无人车装运种葡萄酒，用辆无人车装运种葡萄酒，则用辆无人车装运种葡萄酒，根据题意得：，，又，，均为不小于11的正整数，或或，无人车的装运方案共有3种，方案1：用11辆无人车装运种葡萄酒，17辆无人车装运种葡萄酒，12辆无人车装运种葡萄酒；方案2：用12辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒，14辆无人车装运种葡萄酒；方案3：用13辆无人车装运种葡萄酒，11辆无人车装运种葡萄酒，16辆无人车装运种葡萄酒．29．（22-23八年级上·四川达州·期末）已知：用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)请问1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费是多少．【答案】(1)1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨．(2)有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆方案二：租A型车2辆，B型车6辆．(3)租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元．【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．（1）设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨，根据“用5辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货200吨；用1辆A型车和5辆B型车载满货物一次可运货232吨，”列方程组求解即可；（2）根据“某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，B型车n辆，”得出，再根据m，n都是自然数，即可得出m，n的值，从而得出方案；（3）由（2）可知两种方案，再将值分别代入两种方案中求出值后再比较即可得出答案．【详解】（1）解：设1辆A型车可运x吨，1辆B型车可运y吨，根据题意可列方程组：，解得：，答：1辆A型车可运32吨，1辆B型车可运40吨．（2）根据题意得：则，且m，n都是自然数．当时，；当时，时；故一共有两种方案：方案一：租A型车7辆，B型车2辆方案二：租A型车2辆，B型车6辆．（3）根据题意可知，方案一需租金：（元）方案二需租金：（元）∵，∴最省钱的租车方案为方案二：租A型车2辆，B型车6辆，最少租车费为9200元．30．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人．(1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？(2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；①请你设计出所有的租车方案；②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金．【答案】(1)1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生(2)①方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆；②方案二最省钱，最少租金3040元【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可．②分别计算费用比较即可．【详解】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生，根据题意得：，解得：，则1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生；（2）①根据题意得：，整理得：，当时，；当时，，当时，，方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆．②各种租车费用：方案一租金：(元)；方案二租金：(元)；方案三租金：(元)．∵．∴方案二最省钱，最少租金3040元．31．（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期末）赤峰市正在打造生态文化旅游，某公司向旅游景点捐资购买了一批物资120吨，计划运往景区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示（假设每辆车均满载）．车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）400500600(1)全部物资可用乙型车5辆，丙型车4辆，还需甲型车多少辆来运送？(2)若全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、丙两种车型各几辆？(3)若公司决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？【答案】(1)8辆(2)10辆甲型车，7辆丙型车(3)2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省【知识点】二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用)【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．（1）需甲型车的数量（物资的总质量—每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量—每辆丙型车的运载量使用丙型车的数量）每辆甲型车的运载量，即可求出答案；（2）设需要辆甲型车，辆丙型车，根据“全部物资都用甲、丙两种车型来运送，需运费8200元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出答案；（3）设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据公司使用的16辆车的总运载量为120吨，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，即可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意得：（辆）还需要8辆甲型车来运送；（2）解：设需要辆甲型车，辆丙型车，根据题意得：，解得：，需要10辆甲型车，7辆丙型车来运送；（3）解：设使用辆甲型车，辆乙型车，则用辆丙型车，根据题意得：，，又，，均为正整数，或，共有2种运输方案，方案1：使用6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车，所需运费为（元）；方案2：使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车，所需运费为（元）；，使用4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车时，运费最省，共有2种安排方案（方案一：6辆甲型车，5辆乙型车，5辆丙型车；方案二：4辆甲型车，10辆乙型车，2辆丙型车）；方案二运费最省．32．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；(2)共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；(3)购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．【知识点】有理