平行线四大经典模型重难点题型专训（原卷版）

专题02平行线四大经典模型重难点题型专训

囱【题型目录】

题型一平行线基本模型之M模型

题型二平行线四大模型之铅笔模型

题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型

题型四平行线四大模型之“骨折”模型

。［经典例题一平行基本模型之M模型］

【结论1］若AB〃CD,则NB0C=NB+NC

【结论2］若NB0C=NB+NC,则AB〃CD.

【结论3】如图所示，AB〃EF,则NB+ND=NC十NE

朝向左边的角的和=朝向右边的角的和

结论3的模型也称为锯齿模型;

锯齿模型的变换解题思路

11

23.

拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型

【例1】（2022春・山东济宁•七年级统考阶段练习）如图所示，如果AB||CD，则乙a、乙（3、4之间的关系

A.Z.a+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Z.y=180°

C.Za+zp—Z.y=180°D.Za—zp—Z.y=180°[

■【变式训练】

【变式1】（2021春・全国•七年级专题练习）如图，直线a//b,一块含60。角的直角三角板ABC（zA=60°）

按如图所示放置.若41=43。，贝亚2的度数为（）

C.105°D.107°

【变式2】（2022秋・辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知BE平分/4BC,平分

NADC,/BAD=80。，/BCD=n°,则的度数为.（用含〃的式子表示）

D

【变式3】(2022春・山东聊城•七年级统考阶段练习)已知直线N8//CD,所是截线，点M在直线/5、CD

之间.

(1)如图1,连接GM,HM.求证：N=4GM+乙CHM；

(2)如图2,在NG8C的角平分线上取两点〃、Q,使得乙4GM=〃GQ.试判断W与NGQ//之间的数量关

系，并说明理由.

【经典例题二平行基本模型之铅笔模型】

【结论1】如图所示，AB〃CD,贝ljNB+NB0C+NC=360°

【结论2】如图所示，NB+NB0C+NC=360°,则AB〃CD.

拐点数：1拐点数：2拐点数：n

【例2】（2021•全国•九年级专题练习）如图，两直线4B、CD平行，贝UZ1+/2+/3+/4+/5+/6=

C.800°D.900°

■【变式训练】

【变式1］（2022•全国•七年级假期作业）如图，直线入〃"，在RM48c中，SB=90°,点A落在直线加上,

与直线〃交于点D,若/2=130。，则N1的度数为（）.

A.30°B.40°C.50°D.65°

【变式2］（2020春・山西临汾•七年级统考期末）如图，一环湖公路的42段为东西方向，经过四次拐弯后,

又变成了东西方向的房段，贝|/8+/。+/。+/£的度数是.

AB

FE

【变式3］（2022春•江苏扬州•七年级校考阶段练习）已知直线/价CD,尸为平面内一点，连接尸/、

PD.

（1）如图1,已知乙4=50。，z£>=150°,求乙4尸。的度数；

（2）如图2,判断乙P/2、乙CDP、乙4PD之间的数量关系为.

（3）如图3,在（2）的条件下，APLPD,DN平分乙PDC,若乙PAN+；乙P4B="PD,求乙4ND的度数.

P

AB

一。【经典例题三平行基本模型之“鸡翅”模型】

【例3】（2022秋・全国•八年级专题练习）①如图1,AB//CD,则乙4+NE+NC=360。；②如图2,

AB//CD,则/尸=③如图3,AB//CD,则/E=//+Z1；④如图4,直线〃CD//

ER点。在直线E尸上，则/夕-4+々=180。.以上结论正确的个数是（）

图1图3

A.1个C.3个D.4个

■【变式训练】

【变式1］（2021秋•八年级课时练习）（1）已知：如图（a）,直线DE//AB.求证:

ZABC+ZCDE=NBCD；

（2）如图（6）,如果点C在N8与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么

新的猜想？

BAB

【变式2】(2021春・广东东莞•七年级东莞市光明中学校考期中)(1)如图(1)/8||CD,猜想N8P。与乙8、

的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知N8IICD,猜想图中的N8尸。与NB、的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知/8IICD,猜想图中的乙与乙8、乙0的关系，不需要说明理由.

(1)(2)(3)(4)

【变式3](2022•全国•七年级假期作业)已知，AEUBD,/A=ND.

(1)如图1,求证：ABI/CD；

(2)如图2,作/A4E的平分线交CD于点尸，点G为48上一点，连接尸G,若/CFG的平分线交线段4G

于点、H,连接/C,ZACE=ZBAC+ZBGM,过点H作交尸G的延长线于点M,且

3NE-5NAFH=18°,求/£/尸+_的度数.

=【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021•全国•九年级专题练习）如图所示，ABWCD,z£=37°,zC=20°,贝”E/8的度数为

W【变式训练】

【变式1］（2022春•湖北黄冈•七年级校考期中）如图，已知/3//OE,乙48c=80。，NC£>£=140。，则

/-BCD=.

【变式2］（2022春•江苏盐城•七年级景山中学校考阶段练习）如图，若AB//CD,贝吐1+43/2的度数为

【变式3］（2021春•全国•七年级专题练习）（1）如图，AB//CD,CF平分乙DCE,若乙DCF=30。，乙E=20。,

求乙42E的度数；

（2）如图，AB//CD,乙EBF=2UBF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍与乙B的补角的和为190。，求乙48E的度

数.

D

H

AB

E

(3)如图，尸为(2)中射线BE1上一点，G是CD上任一点，PQ平分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。，求ZMGN的度数.

【培优检测】

1.如图，已知4价。£,41=30。，乙2=35。，贝此8C£的度数为（）

B.65°C.35°.50°

2.如图，已知AB//CD,则/a,4,々之间的等量关系为（）

A.Za+Z^-Z/=180°B.Z^+Z/-Ztz=180°

C./a+々+々=360。D.Ztz+Z^+Z/=180°

3.如图所示，若ABIIEF,用含。、B、7的式子表示》,应为)

AB

C.180°-a-/+^.180。+。+/—/

4.如图，直线4〃4，Zl=30°,则/2+/3=()

A.150°B.180°C.210°.240°

5.如图所示，Z7I|Z2,41=105。,42=140。，则43的度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

6.如图，ABHCD,ZBED=61°,4ABE的平分线与4CDE的平分线交于点F,则NDFB=()

CD

AB

A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°

7.如图，乙BCD=9。。,ABWE,则a与尸一定满足的等式是()

4B

DE

A.Q+£=180。B.Q+Q=90。C.B=3aD.a-6=9。。

8.如图，两直线C。平行，贝|/1+/2+/3+/4+/5+/6=(：).

-一

(1)

A.630°B.720°C.800°D.900°

9.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2"，ABWDE,乙4=30。,乙4CE=110。,则乙E*的度数为()

AB

A.30°B.150°C.120°D.100°

10.如图,已知直线a||b,41=40。，乙2=60。.则N3等于（)

A.100°B.60°C.40°D.20°

11.如图，AB\\EF,设4c=90。，那么x,y,z的关系式为.

12.如图，直线a与乙408的一边射线CM相交，1=130。，向下平移直线a得到直线6,与乙4。8的另一

边射线相交，则42+43=.

13.如图，在“3C中，AC=24,AB=25,BC=1.在48上取一点E,NC上取一点尸，连接E尸，若

NEFC=125°,过点B作BD//EP,且点。在的右侧，则/C8。的度数为.

14.一大门的栏杆如图所示，A4垂直地面/£于点/,CD平行于地面4E；则乙42C+乙BCD=.

AE

15.如图，在五边形NBCDE中满足/5//CD,则图形中的x的值是

16.如图，AB//CD,N/=15",NC=25/I]/W=

17.如图，AB//CD,EF平分NBED,ZDEF+ZD=66°,NB-ND=28°,则

18.已知直线allb,将一块含30。角的直角三角板ABC按如图所示方式放置(NBAC=30。)，并且顶点A,

C分别落在直线a,b上，若Nl=22。，贝吐2的度数是

图1图2

(1)若乙B=60。，则"'=；

(2)请探索NE与N尸之间满足的数量关系？说明理由;

⑶如图2,已知EP平分4BEF,FG平分乙EFD,反向延长尸G交EP于点P,求NP的度数.

20.如图1,AB//CD,E是4B,CD之间的一点.

图1图2图3

(1)判定乙B/E,NCDE与乙4ED之间的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2,若ABAE,NCDE的角平分线交于点尸，直接写出ZATO与乙之间的数量关系；

⑶将图2中的射线DC沿翻折交/尸于点G得图3,若—G。的余角等于2/E的补角，求乙B/E的大

小.

21.综合与探究：

(1)问题情境：如图1,AB//CD,NPAB=130。,NPCD=120°.求ZAPC的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过尸作尸£〃48,.•./4P£+NP48=180°.

ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

•••ABHCD..-.PE//CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

(2)问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3,点尸在射线上运动，2ADP=Na,NBCP=20.当点P在8两点之间时,

尸之间有何数量关系？请说明理由.

22.问题情景：如图1,ABWCD,^PAB=140°,zPCZ)=135°,求乙4PC的度数.

(1)丽丽同学看过图形后立即口答出：〃1PC=85。，请补全她的推理依据.

如图2,过点尸作「EIIN8,

因为4811c所以尸EIICD()

所以A4+ZAPE=18O。，NC+NCPE=180。.()

因为乙?48=140。，"CD=135。，所以乙4PE=40。，4CPE=45°,

乙4PC=，4PE+乙CPE=85°.

问题迁移：

(2)如图3,ADWBC,当点P在/、8两点之间运动时，乙4DP=",乙BCP=L/3,求NCPD与Na、"之

间有什么数量关系？请说明理由.

(3)在(2)的条件下，如果点尸在43两点外侧运动时(点尸与点/、B、。三点不重合)，请直接写出

乙CPD与乙a、"之间的数量关系.

23.如图，ABHCD,点£在直线CD内部，且/£_LCE.

(1)如图1,连接/C,若/£平分NA4C,求证：CE平分//CD；

(2)如图2,点M在线段4E上，

①若/MCE=NECD,当直角顶点E移动时，NA4E与是否存在确定的数量关系?并说明理由；

②若NMCE=、NECD(〃为正整数)，当直角顶点£移动时，N8/E与/MCD是否存在确定的数量关系?并

n

说明理由.

BB

24.已知48〃CD

(1)如图1,E为AB,CD之间一点，连接BE,DE,得到N8ED求证：乙BED=^B+乙D；

(2)如图，连接ND,BC,BF平分UBC,DP平分UDC,且3凡。尸所在的直线交于点?

①如图2,当点8在点N的左侧时，若418c=50。，^4DC=60°,求乙8ED的度数.

②如图3,当点2在点/的右侧时，设zJ2C=a,乙4DC=p,请你求出NATO的度数.(用含有a,|3的式

子表示)

E

uDCD

图1图2图3

25.如图，48//CD,点。在直线CD上，点尸在直线48和CD之间，NABP=NPDQ=a,平分

NBPQ.

(2)过点。作。E〃尸。交PB的延长线于点E,作一。呼的平分线E尸交尸。于点尸，请在备用图中补全图

形，猜想E尸与尸。的位置关系，并证明；

(3)将(2)中的“作NDEP的平分线E尸交尸D于点尸”改为“作射线EF将NDEP分为1:3两个部分，交PD

于点尸”，其余条件不变，连接E。，若E0恰好平分NP0O,请直接写出/尸£。=(用含］的式

子表示).

26.已知，AB^CD.点/在48上，点N在CD上.

(1)如图1中，乙BME、乙E、乙END的数量关系为：；(不需要证明)

如图2中，ABMF,乙F、NFND的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，NE平分乙FND,MB平分乙FME,且24£+"=180。，求NFME的度数；

(3)如图4中，4BME=60。,EF平分。EN,NP平分乙END,且E0||NP,则4FE0的大小是否发生变化,

若变化，请说明理由，若不变化，求出ZFE。的度数.

27.如图，ABUCD,定点E,尸分别在直线上，在平行线48,之间有一个动点P,满足

0°<ZEPF<180°.

(1)试问：AAEP,ZEPF,/PFC满足怎样的数量关系？

解:由于点P是平行线N2,之间一动点，因此需对点尸的位置进行分类讨论.如图1，当点尸在EF的

左侧时，易得ZAEP,ZEPF,/尸尸C满足的数量关系为+=如图2,当点尸在EF的

右侧时，写出乙4EP,ZEPF,/尸尸C满足的数量关系.

(2)如图3,QE