平行四边形的存在性问题-2024年中考数学二次函数压轴题

专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

(1)对应边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

(1)对边平行且相等可转化为：]/一/二%一%,

[%-yB=yD-yc

_XR+程

(2)对角线互相平分转化为：\22

yA+ycyB+yD

22

可以理解为AC的中点也是BD的中点.

/

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统一：

r

xA-XB=XD-xc^(xA+xc=XD+XB

jA-yB=yD-yc民+/=%+%'

r

xA+xc_xB+xD

2―2\xA+xc=xB+xD

yA+ycyB+yD1%+%=%+%"

、2—2

当AC和8。为对角线时，结果可简记为：A+C^B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一间：若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=8+。“，则四边形ABC。是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形A8C。是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

(1)四边形ABC。是平行四边形：AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和"两定两动''两大类问题.

1.三定一动

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：

设。点坐标为(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+3=]+tn

(1)8C为对角线时，,uc,可得2(7,6);

[3+5=2+〃

[1+3=5+tn

(2)AC为对角线时，，解得2(-1,4);

[2+5=3+〃

[1+5=3+m

(3)AB为对角线时，2+3=5+〃'解得3(3，0).

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

2.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上，点。在y轴上，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形，求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(相，0),。点坐标为(0,"),又A(1,1)、B(3,2).

[1+3=nr+0{tn—4

(1)当A3为对角线时，〈c八,解得,,故C(4,0)、D(0,3);

1+2=0+〃\n=3

(]+nr=3+0[—2

⑵当AC为对角线时，]+』+〃,解得…1,故。⑵……

/、,，、,[l+0=3+m\m=-

⑶当例为对角线时，»=2+。,解得I故C(-2,0)、D(0,1).

【动点综述】

“三定一动''的动点和“两定两动''的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确

定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为"全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，

用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究

其原因，在于平行四边形两大性质：

(1)对边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

但此两个性质统一成一个等式：\X^+XC=XB+XD,

［为+yc=yB+yD

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博•中考真题)如图，一条抛物线》=以2+敬经过AQAB的三个顶点，其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点8在第一象限内，对称轴是直线x=且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式;

⑵求点8的坐标；

(3)设C为线段A3的中点，P为直线上的一个动点，连接”，CP,将△ACP沿CP翻折，点A的对应

点为4.问是否存在点尸，使得以A-P,C,5为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）丫=1犬2-3工

⑵（6,6）

尸点的坐标为（"I,2或'"I,

⑶存在,

hg

【分析】（1）根据对称轴为直线l=-F=将点A代入，进而待定系数法求解析式即可求解；

2a4

（2）设苏-3m］，过点A作跖，y轴交于E点，过8点作交于尸点，继而表示出AQ4B的

面积，根据AOAB的面积为18,解方程，即可求解.

（3）先得出直线的解析式为y=%设P（rj）,当8尸为平行四边形的对角线时，可得AP=AC,当3c

为平行四边形的对角线时，BP=AC,进而建立方程，得出点尸的坐标，即可求解.

h9

【详解】（1）解：・・•对称轴为直线'=-

2a4

9

♦・b=—a（X）,

2

将点A（3,-3）代入y=ax2+Zzx得，

・•・9。+36=-3②，

'_2

联立①②得，＜“一§,

b=-3

2

解析式为y=-x2-3x；

（2）设疗-3m），如图所示，过点A作所，＞轴交于E点，过5点作的，£F交于下点，

AF（m,-3）,E（0,-3）,

2

贝！JOE=3,A石=3,人尸二加一3,3尸=—m2—3m+3

3

•q=—mx|—m2—3m+3+3|—=18

••^^AOB213J

解得：帆=6或帆=-3（舍去）,

（3）存在点尸，使得以A，p，C,6为顶点的四边形是平行四边形，理由如下:

•••A（3,-3）,B（6,6）,

设直线。3的解析式为，=辰,

6k=6,解得：k=1,

直线。3的解析式为y=尤，

设尸（M，

如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，BC//A.P,

图2

BC=AP,

'：AC=BC,

AC=AjP,

由对称性可知AC=AC,AP=AiP9

：.AP=AC,

J(f_3y+(/+3)2=+[_3_)

3

解得：f=±1

点的坐标为停功或[;I)

图3

由对称性可知，AC=AlCf

BP=AC,

J（6-）2+（6T）2=Jb-;-]+U

解得：t=—+6^t=--+6,

22

536/3石]

点的坐标为春+6,后—I-6------F6,----F6

\-,122,

)或信力或殍+6,李6W一孚

综上所述，P点的坐标为

2

2.(2023•广东广州•中考真题)已知点P(s〃)在函数y=-一(x<0)的图象上.

X

(1)若〃2=-2,求〃的值；

⑵抛物线丫=(》-加)(％-冷与了轴交于两点〃，在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①相为何值时，点E到达最高处；

②设AGMN的外接圆圆心为C,G)C与y轴的另一个交点为尸，当加+"片0时，是否存在四边形尸GEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)〃的值为1;

(2)①根=-0；②假设存在，顶点E的坐标为一4，—：>或g-

22

【分析】(1)把帆=—2代入y=——(%<0)得〃=—不=1,即可求解;

x-2

m+n22

(2)®x=9^y=(x-m)(x-n)=-—(m-n)=-2-—(m+n)<-2,即可求解;

244

m+n1、।-e,-,.

②求出直线小的表达式为：y=-1m(x-1m)-l,得到点C的坐标为I;由垂径定理知，点。在

FG的中垂线上，则尸G=2(%—>G)=2X(—g+2)=3；由四边形尸GEC为平行四边形，则

17

CE=FG=3=y©-yE二一3-YE，求出力二—］，进而求角轧

22

【详角军】(1)解：才巴利=一2代入y=一—(xvO)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值为1;

(2)解：①在y=(%_机)(％_〃)中，令y=0,则(x一根)(％_〃)=0,

解得％=加或4=〃，

,N(n,0),

2

•・•点PO,〃)在函数y=—-(x<0)的图象上，

x

：.mn=—2,

,77।力II

令彳=----,得y=。_加)(尤_“)=——(〃2-”了=-2——+<-2,

244

即当机+〃=0,且mn=-2,

则苏=2,解得：机=-应(正值已舍去)，

即加=-a时，点E到达最高处;

②假设存在，理由：

对于＞=（%—相）（%—〃），当x=0时，y=mn=-2,即点G（0,—2）,

对称轴为直线尤=岁

作MG的中垂线交MG于点T,交,轴于点S,交x轴于点K,则点7］；加,-1）,

则tanZMKT=--m,

2

则直线75的表达式为：y=

、［/m+n…1/1、［1

当了=---时，y=--m（x-—m）-l=-—,

则点c的坐标为（＞，-£|.

由垂径定理知，点C在尸G的中垂线上，贝q尸G=2（九一%）=2X（-：+2）=3.

四边形FGEC为平行四边形,

则CE=FG=3=於-%=一；一%，

7

解得：%二一5，

127

即一--(jn-ri)=-—,且mn=-2,

42

则加+〃=土，

・••顶点七的坐标为一半'一［，或乎［♦

3

3.（2023・山东・中考真题）如图，直线y=f+4交九轴于点6,交丁轴于点C,对称轴为工=5的抛物线经

过BC两点，交x轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点，点尸的横坐标为加，过点尸作工轴的平行线交

抛物线于另一点V，作X轴的垂线PN,垂足为N,直线交y轴于点O.

(1)求抛物线的解析式；

3

(2)若0<“<5，当机为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式；

(2)结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解;

【详解】(1)解：在直线y=-x+4中，当x=o时，y=4,当y=0时，x=4,

...点8(4,0),点。(0,4),

设抛物线的解析式为y=+k,

a+左二0

把点3(4,0)，点。(0,4)代入可得-

a+左=4

a=-1

解得L25.

k=—

L4

，抛物线的解析式为y=+^=-X2+3X+4；

(2)解：由题意，P(m,-/n2+3m+4),

**•PN=—m2+3m+4，

当四边形CDNP是平行四边形时，PN=CD,

OD=-m2+3m+4-4=-m2+3m，

:.£>(0,m2-3m),N(m,0),

设直线脑^的解析式为〉=用工+加2_3根,

2

把N（m,0）代入可得kxm+1V-3m=0,

解得勺=3—m,

直线MN的解析式为y=（3—x+4—3机，

3

又・・・过点尸作x轴的平行线交抛物线于另一点M,且抛物线对称轴为九=],

M（3—机，—加之+3机+4）

（3—m）2+m2—3m=-m2+3m+4,

解得叫=如鲁（不合题意，舍去），丐=殳2普；

4.（2023•山东聊城•中考真题）如图①，抛物线y=aY+bx_9与x轴交于点A（-3,0）,3（6,0）,与y轴交于

（1）求抛物线的表达式；

（2）点0在抛物线上，若以点A,C,P,。为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点。的坐标；

【分析】（1）将4（-3,0）,3（6,0）代入〉=0?+法-9,待定系数法确定函数解析式；

1Q13

（2）由二次函数>一]x_9,求得点C（0,-9）,设点P（",0）,点。（凡9）,分类讨论：当AC

为边，AQ为对角线时，当AC为边，AP为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求

解；

【详解】（1）将A（—3,0）,3（6,0）代入〉=依2+灰-9,得

j_

a=

9a-3b-9=Q2

36a+6b-9=0'解得

_3

b=

-2

14

・・・抛物线解析式为：J^=-X2--X-9

i3

（2）二次函数y=]%2一/%一9,当％=0时，y=

・,•点。（0「9）

13

设点P（九0）,点。-_n_9）,

当AC为边，42为对角线时，

・・•四边形ACQ尸为平行四边形，

・・・42,CP互相平分

13

A-n2--n-9=-9解得，n=0（舍去）或〃=3

点。坐标（3,-9）；

i3

同理得，-1--n-9+(-9)=0

22

副但33后个33历

解得，n=-+----或〃=--------，

2222

1,3

-n---n-9=9

22

.上门0广/33^17C、T,33717c、

••点。坐标(5+,9)或(耳----,9)

综上，点。坐标(3,-9),或弓+之乎,9)或g-2乎,9)；

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线>=-尤2+法+。经过A(-l,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点2,

点〃是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D

备用图

(1)求该抛物线的表达式;

⑶若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点。，使得以。，M,P,。为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请度填写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可;

(3)分DM,DP,M尸分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：:•抛物线产-炉+6x+c经过4-l,0),C(0,3)两点,

—l—b+c=Qb=2

,解得:

c=3c=3

・・y=—尤2+2无+3•

(3)解:存在；

y=-x2+2x+3=-(x-1)-+4,

，对称轴为直线x=l,

设尸(pj),2(1,n),

当以。，M,P,。为顶点的四边形是平行四边形时:

①加为对角线时：-

t+n=4+2'

1

\t+n=6

当p=0时，，=3,

.**n=3,

Jo+p=l+l

②当£＞尸为对角线时：

12+，=4+〃

t

qfr

1

・・.]P=2,

[2+/=4+几

当p=2时，,=-22+2x2+3=3,

n=l,

2(1,1)；

1+p=0+1

③当〃尸为对角线时:

4+/=2+〃

当p=0时，t=3,

••〃=5,

.-.2(1,5)；

综上：当以。，M,P,°为顶点的四边形是平行四边形时，。(1,3)或。(1,1)或。(1,5).

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题.正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函

数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键.

6.(2023•甘肃武威・中考真题)如图1,抛物线丫=-父+乐与x轴交于点A,与直线＞=一》交于点3(4,T),

点C(O,T)在y轴上.点P从点8出发，沿线段3。方向匀速运动，运动到点。时停止.

⑴求抛物线y=-V+&V的表达式；

⑵当=时，请在图1中过点P作尸。_LCM交抛物线于点D,连接尸C,OD,判断四边形OCPO的

形状，并说明理由.

【分析】(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)作PDLQ4交抛物线于点。，垂足为H,连接尸C,0D,由点尸在》=一》上，可知0"=尸",

ZPOH=45°,连接3C,得出02=4&,则OH=PH=^0P=显乂2也=2,当/=2时，

22

一4+3x2=2,进而得出PZ)=OC,然后证明尸D〃OC,即可得出结论；

【详解】(1)解：：抛物线丫=7+区过点B(4,T),

一16+46=4

：.b=3,

y=—x2+3x；

(2)四边形OCPD是平行四边形.

理由：如图1,作尸DLQ4交抛物线于点。，垂足为H,连接尸C,0O.

•点?在，=-％上，

：.OH=PH,ZPOH=45°,

连接3C,

•?OC=BC=4,

••OB=4A/2，

,•*BP=272，

OP=OB-BP=26,

・•・OH=PH=—OP=—x2y/2=2,

22

当X。=2时，DH=yD=-4+3x2=2,

PD=DH+PH=2+2=4,

,/C（0,M）,

:.OC=4f

：.PD=OC,

：OC_Lx轴，P£>_Lx轴，

PD//OC,

四边形OCPD是平行四边形;

7.(2023.四川巴中,中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+阮+c(g0)经过点A(-l,0)和B(0,3),

其顶点的横坐标为1.

⑴求抛物线的表达式.

(3)若点P为抛物线y=a/+法+c(aw0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，。为平移

后抛物线上一动点.在(2)的条件下求得的点是否能与A、P.Q构成平行四边形？若能构成，求

出Q点坐标；若不能构成，请说明理由.

【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解;

(3)由(1)知,y=--+2x+3向左平移后的抛物线为>=3+4,由⑵知4T0),设

尸(1,%),。(勺,％),假设存在以A、尸、Q、/为顶点的平行四边形.根据中点坐标公式，分类讨论即可

求解，①当以A"为对角线时，②当以A。为对角线时，③当以AP为对角线时.

【详解】(1)解：・•・抛物线的顶点横坐标为1

对称轴为x=l

A(-l,0)

与x轴另一交点为(3,0)

设抛物线为V=a(x+1)(尤一3)

Q8(0,3)

CL=11

/.j=-(x+l)(x-3)

抛物线的表达式为y-+2x+3

(3)由(1)知，>=一/+2工+3向左平移后的抛物线为丁=-/+4

由由)知M(|,抖A(TO)

设尸(1,%),。(々,场),假设存在以A、P、Q、/为顶点的平行四边形.

①当以AM为对角线时，

•••平行四边形对角线互相平分

.4+3=&+%,即T+万l+xQ

2

z2z---------=2--------2

1

,・・。在抛物线〉=*+4上

15

；•%=1

,Q的坐标为

②当以AQ为对角线时

.一3

同理可得/q=Xp+",即-1+41+2

/22z-----2-----=---2---

733

门口则为丁

Q的坐标为

③当以A尸为对角线时

3

4+，即7+1%e+2

22—=——

37

.••&=_，贝

37

二。的坐标为

254

综上所述：存在以A、P、Q、M为顶点的平行四边形.

Q的坐标为cm、a。-富。3m

【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形

的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

8.（2023・四川南充・中考真题）如图1,抛物线丫=依2+次+3（awO）与无轴交于A（T0）,3（3,0）两点,

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线上，点。在x轴上，以8,C,P,。为顶点的四边形为平行四边形，求点尸的坐标;

【分析】（1）将A（-L0），3（3,0）两点代入抛物线的解析式即可求解；

（2）根据P,。的不确定性，进行分类讨论：①过C作CP〃x轴，交抛物线于勺，过月作交x

轴于0i，可得%=3,由-d+2x+3=3,可求解；②在x轴的负半轴上取点Q，过久作交抛

物线于8，同时使之5=8。，连接C2、BP2,过鸟作鸟轴，交无轴于。，地=-3,即可求解；③

当2C为平行四边形的对角线时，在①中，只要点。在点B的左边，且满足8。=8。，也满足条件，只是

点P的坐标仍是①中的坐标；

【详解】（1）解：•.•抛物线y=aY+6x+3（awO）与x轴交于A（—l,0）,8（3,0）两点，

0+3=0

,|9«+3Z?+3=0,

a=-1

解得

b=2

故抛物线的解析式为丫=-—+2工+3.

（2）解：①如图，过C作C尸〃x轴，交抛物线于过［作4Q〃8C,交x轴于。一

••・四边形Bq。1是平行四边形，

「•力=3,

—%2+2%+3=3,

解得：石=2,%2=°，

片（2,3）；

同时使&鸟=连接C°2、

②如图，在X轴的负半轴上取点。2,过Q2作Q2P2〃BC,交抛物线于P2,BC,BP2,

过鸟作轴，交x轴于。，

四边形BC24是平行四边形,

NCBQ]=ZP2Q2B,

在和Ago/中，

BQ2=Q2B

<