平行四边形的存在性问题（学生版）-2024年中考数学二次函数压轴题

专题10平行四边形的存在性问题

一、知识导航

考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：

(1)对应边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中:

(1)对边平行且相等可转化为：]/一/二%一%,

[%-yB=yD-yc

_XR+程

(2)对角线互相平分转化为：\22

yA+ycyB+yD

22

可以理解为AC的中点也是BD的中点.

/

【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样,但其实可以化为统一：

r

xA-XB=XD-xc^(xA+xc=XD+XB

jA-yB=yD-yc民+/=%+%'

r

xA+xc_xB+xD

2―2\xA+xc=xB+xD

yA+ycyB+yD1%+%=%+%"

、2—2

当AC和8。为对角线时，结果可简记为：A+C^B+D(各个点对应的横纵坐标相力口)

以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一间：若坐标系

中的4个点A、B、C、。满足“A+C=8+。“，则四边形ABC。是否一定为平行四边形？

反例如下：

之所以存在反例是因为“四边形A8C。是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点''并不是完全等价的转化,

故存在反例.

虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：

(1)四边形ABC。是平行四边形：AC、8。一定是对角线.

(2)以A、B、C、。四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论.

二、典例精析

平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动’'和"两定两动''两大类问题.

1.三定一动

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐标系内确定点。使得以A、B、C、。四个点为顶点的四边形是

平行四边形.

思路1:利用对角线互相平分，分类讨论：

设。点坐标为(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

(5+3=]+tn

(1)8C为对角线时，,uc,可得2(7,6);

[3+5=2+〃

[1+3=5+tn

(2)AC为对角线时，，解得2(-1,4);

[2+5=3+〃

[1+5=3+m

(3)AB为对角线时，2+3=5+〃'解得3(3，0).

当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D=B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此处特指点的横纵坐标相加减)

2.两定两动

已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上，点。在y轴上，且以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

形，求C、D坐标.

【分析】

设C点坐标为(相，0),。点坐标为(0,"),又A(1,1)、B(3,2).

[1+3=nr+0{tn—4

(1)当A3为对角线时，〈c八,解得,,故C(4,0)、D(0,3);

1+2=0+〃\n=3

(]+nr=3+0[—2

⑵当AC为对角线时，]+』+〃,解得…1,故。⑵……

/、,，、,[l+0=3+m\m=-

⑶当例为对角线时，»=2+。,解得I故C(-2,0)、D(0,1).

【动点综述】

“三定一动''的动点和“两定两动''的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确

定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为"全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，

用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点

从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标.若把一个字母称

为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量x2.

找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量.究

其原因，在于平行四边形两大性质：

(1)对边平行且相等；

(2)对角线互相平分.

但此两个性质统一成一个等式：\X^+XC=XB+XD,

［为+yc=yB+yD

两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未

知量.

由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题.

三、中考真题演练

1.(2023•山东淄博•中考真题)如图，一条抛物线》=以2+版经过一Q4B的三个顶点，其中。为坐标原点,

点A(3,-3),点8在第一象限内，对称轴是直线x=且11aR的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式;

⑵求点8的坐标；

(3)设C为线段A3的中点，P为直线上的一个动点，连接”，CP,将△ACP沿CP翻折，点A的对应

点为4.问是否存在点尸，使得以A-P,C,5为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

9

2.(2023・广东广州•中考真题)已知点在函数y=-二(x＜0)的图象上.

X

⑴若〃2=-2,求W的值；

⑵抛物线y=(x-m)(x-〃)与X轴交于两点M在N的左边)，与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E.

①m为何值时，点E到达最高处；

②设GMN的外接圆圆心为C,C与y轴的另一个交点为尸，当〃?+"/0时，是否存在四边形FGEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2023•山东・中考真题)如图，直线y=-x+4交x轴于点8,交y轴于点C,对称轴为龙=］的抛物线经

过BC两点，交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点，点尸的横坐标为机，过点P作x轴的平行线交

抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交V轴于点O.

(1)求抛物线的解析式;

3

⑵若。＜小＜5，当〃2为何值时,四边形CDNP是平行四边形?

4.(2023•山东聊城•中考真题)如图①，抛物线>=62+"-9与x轴交于点A(-3,0),3(6,0),与y轴交于

点C,连接AC,8c.点尸是无轴上任意一点.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点Q在抛物线上，若以点A,C,P,。为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点。的坐标;

5.(2023•山东枣庄•中考真题)如图，抛物线>=-/+云+0经过4(-1,0)((0,3)两点，并交x轴于另一点8,

点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D

备用图

(1)求该抛物线的表达式;

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点。，使得以。，M,P,0为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请亶填写出所有满足条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2023•甘肃武威・中考真题）如图1,抛物线>=-犬+区与x轴交于点A,与直线>交于点3（4,T）,

点c（o,T）在y轴上.点?从点8出发，沿线段8。方向匀速运动，运动到点。时停止.

⑴求抛物线y=*+法的表达式;

（2）当2P=20时，请在图1中过点尸作尸。，。4交抛物线于点。，连接尸C,OD,判断四边形OCPO的

形状，并说明理由.

7.（2023•四川巴中中考真题）在平面直角坐标系中,抛物线丫=/+法+。（。*0）经过点A（-