平面向量中的最值与范围问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点15平面向量中的最值与范围问题【十大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1定义法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型2基底法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型3坐标法求最值（范围）问题】..........................................................5

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】..........................................6

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】....................................................7

【题型6与模有关的最值（范围）问题】.......................................................8

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】..................................................8

【题型8极化恒等式】.........................................................................9

【题型9矩形大法】..........................................................................10

【题型10等和（高）线定理】....................................................................11

►命题规律

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的

交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

►方法技巧总结

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

（i）“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

（2）“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值（范围）问题的常用解题方法：

（1）定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值（范围）问题，即可得出结论.

（2）坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围)，

即可得出结论.

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

证明：不妨设刀=£,15=3,则在=Z+B,DB=a-b,

时=定=,+0=卬+27B+的①,

西丁凉味一孙引一名范+同②,

①②两式相加得:

国2+回J=2(同+同卜矶可+融(J.

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：D=；[(.+@2可2]-------------极化恒等式

平行四边形模式：a-b^AC^-\DB^.

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

(a-B)](如图).

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即

-------------------->-------2------->2

AB-=为3c的中点X如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.

即：已知点。是矩形/8CL）与所在平面内任一点，可以得到：O^2+OC2=O52+OD2.

【知识点4等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若5?=力方+〃而Q,〃eR）,

则X+n=\,由AO4B与AOA'B'相似，必存在一个常数匕左GR,使得OP,kOP,则

OP'=kOP=kXOA+k/.iOB,又OP=xOA+yOB（x,yGR）,'.x+y=kX+kp.=k；反之也成立.

（2）平面内一个基底｛53,而｝及任一向量苏，苏=几亩十Q,〃GR）,若点P在直线N3上或在

平行于N3的直线上，则%+〃=©定值）；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和（高）

线.

①当等和线恰为直线48时，A=l；

②当等和线在。点和直线AB之间时，^£（0,1）；

③当直线AS在。点和等和线之间时，左e（l,+8）；

④当等和线过。点时，仁0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值肌，后互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（24-25高三上•广东•开学考试）已知单位向量久,石的夹角为泰则同-t闻-孩）|（t6R）的最小值

为（）

A.-B.—C.1D.-

224

【变式1-1］（23-24高一下•安徽芜湖•期中）如图，已知点G是△4BC的重心，过点G作直线分别与AB,AC

两边交于M,N两点，设前=x同，AN=yAC,则x+4y的最小值为（）

A.9B.4C.3D.-

2

【变式l-2］（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）点。是△ABC所在平面内一点，若就+砺+击=0,AM=

xAB,AN=yAC,~MO=WN,则xy的最小值为（）

124

A.-B.1C.-D.-

239

【变式1-3］（23-24高一下•上海•期末）已知向量反及Z,满足@=|同=1,小方=一去c^xa+yb（x.yE

R,y>0）,则下列四个命题中，正确命题的个数是（）.

①若x=l,则团的最小值为圣

②若x=l,则存在唯一的力使得37=0；

③若同=1,则x+y的最小值为—1；

④若团=1,贝展7+7不的最小值为―去

A.1B.2C.3D.4

【题型2基底法求最值（范围）问题】

【例2】（23-24高一下•重庆巴南•阶段练习）在矩形2BCD中，已知E,尸分别是BC,CD上的点，且满足砺=

FC,CF=2FD.若点P在线段BD上运动，且力P=44E+〃eR）,贝版+〃的取值范围为（）

3

【变式2-1］（23-24高一下•浙江•期中）如图，在四边形4BCD中，AB\\CD,AB=2CD,P为线段CD上一个

动点（含端点），~AC=mDB+nAP,则zn+九的取值范围是（）

DPC

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

【变式2・2]（23・24高一下•河南•阶段练习）已知口45。。中，点尸在对角线4C上（不包括端点4,C）,

点。在对角线助上（不包括端点5,。），若族=%荏+%品，AQ=A2AB+记2属一〃i的最

小值为冽，1~+4的最小值为〃，贝!J（）

A19-19

A.m=——，n=-B.m=——，n=-

8242

D19

"19_H--

C.m=——,n=-,4

844

【变式2-3]（23-24高三下•云南•阶段练习）已知。为44BC的内心，角A为锐角，sinZ=半,若同=〃荏+

O

AAC,贝以+4的最大值为（）

1345

A.-B.-C.7D.-

2456

【题型3坐标法求最值（范围）问题】

【例3】（2024•河北沧州•一模）如图，在等腰直角△力BC中，斜边48=4近，点D在以3C为直径的圆上

运动，贝/万+前|的最大值为（）

A.4V6B.8C.6V3D.12

【变式3-1]（2024•四川成都三模）在矩形4BCD中，AB=5,4。=4,点E满足2荏=3而，在平面ABCD

中，动点P满足而•丽=0,则加•前的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【变式3-2]（2024•湖南永州三模）在△A8C中，乙4cB=120°,\AC\=3,IfiCl=4,DC-DB=。，贝”南+前|

的最小值为（）

A.6V3-2B.2V19-4C.3V3-1D.V19-2

【变式3-3]（2024・贵州贵阳•一模）如图，在边长为2的正方形力BCD中.以C为圆心，1为半径的圆分别

交CD,BC于点E,F.当点P在劣弧EF上运动时，丽•前的取值范围为（）

A.[1-2V2,-1]B.[1-2V2,-1]

C.[-1,1-V2]D.[1-2V2,1-V2]

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例4】（2024•四川遂宁•模拟预测）在△力BC中，点尸为线段上任一点（不含端点），若方=%屈+

2yAC{x>0,y>0）,贝叶+和最小值为（）

A.3B.4C.8D.9

【变式4-1]（23-24高一下•广西南宁•阶段练习）在△ABC中，点。满足前=2瓦，过点。的直线分别交

射线力B,4C于不同的两点N.设施=工屈，ANAC,则加+n的最小值是（）

mn

A.3B.1C.—D.—

1616

【变式4-2]（23-24高一下•安徽六安・期末）在△安BC中,已知而•前=9,sinB=cosAsinC,S^BC=6,P

为线段AB上的一点，且取=久•卷+y胃p贝4+（的最小值为（）

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）如图所示，在△4BC中，M为线段BC的中点，G为线段4M上一点，

AG=2GM,过点G的直线分别交直线,4C于P,Q两点.设荏=xAP[x>0）,就=yAQQy>0），则々+七

的最小值为（）

A

33

A.-B.-C.3D.6

42

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】

【例5】（2024•陕西渭南二模）已知菱形力BCD的边长为1,COSNBAD*,。为菱形的中心，E是线段上

的动点，则赤•丽的最小值为（）

121I

A.-B.-C.-D.-

3326

【变式5・1】（2024・重庆•模拟预测）如图，圆。内接边长为1的正方形ABCQP是弧（包括端点）上一

儿[*]B.[1,喑C.[1,喑D•愣1]

【变式5-2]（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在平面四边形4BCD中，△4BD为等边三角形，CB=CD=

2BD=2,当点E在对角线力C上运动时，前•丽的最小值为（）

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）如图，已知正六边形4BCDEF的边长为2,对称中心为。，以。为圆心

作半径为1的圆，点M为圆。上任意一点，则而•国的取值范围为（）

E

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-6V3,0]

【题型6与模有关的最值（范围）问题】

【例6】（2024•安徽六安・模拟预测）已知平面向量之，b,2满足同=1,同=百,

a-b=~l，（a-c5-c）=30°,则0的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3V3

【变式6-1]（2024•湖南长沙•三模）在平行四边形A8CD中，4C=2BD=4,点P为该平行四边形所在平面

内的任意一点，贝1]|可|2+।丽|2+।丽|2+।而产的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【变式6-2]（23-24高一下•天津•期末）如图，在△力BC中，已知48=2,AC=3,乙4=120。，E,尸分别

是力B,AC边上的点，且方=久同，AF^yAC,且2x+y=l,若线段EF,BC的中点分别为M,N,贝巾丽|

的最小值为（）

V7n3V39万V21c4V13

A.B.-----C.—D.-----

261413

【变式6-3]（23-24高一下•广东广州•期末）已知平面向量乙b,e,且同=1,同=2.已知向量石与方所成

的角为60。，且历—词2后一周对任意实数t恒成立，则|方+0+版-砸勺最小值为（）

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.24

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】

【例7】（23-24高一下•甘肃陇南•期末）已知平面向量反百?满足同=同=4,fc|=2,a-b=-8,莅=痛+

而,（4eR）,则24+〃的取值范围是（）

A.卜竺笥B.[-f,f]C,[-f,f]D,[-276,276]

【变式7-1］（23-24高一下•黑龙江哈尔滨・期末）在△ABC中，AB=6,AC=8,^BAC=^,/是NB力C的平

分线上一点，且4/=百，若△ABC内（不包含边界）的一点D满足方=%同+：左，则实数x的取值范围

是（）

【变式7-2］（23-24高一下•四川成都•期末）在直角梯形4BCD中，AB1AD,DC//AB,AD=DC=lfAB=

2,E,F分别为AB,AC的中点，点P在以力为圆心,4D为半径的圆弧0E上运动（如图所示）.若而=4前+〃刀,

其中则24-〃的取值范围是（）

B.[-1,1]

C.[-1,2]D.[-2,2]

【变式7-3］（23-24高一下•安徽芜湖•阶段练习）如图扇形力。B所在圆的圆心角大小为T，P是扇形内部（包

括边界）任意一点，若丽=+y而，那么2（x+y）的最大值是（）

OA

A.2B.V3C.4D.2V3

【题型8极化恒等式】

【例8】（2024・重庆•模拟预测）已知△。力B的面积为1,AB=2,动点P,Q在线段4B上滑动，且|PQ|=1,

则丽•丽的最小值为.

【变式8-1］（2024•山东•模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方

形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，两•西的取值范围是.

【变式8-2］（2024•湖北省直辖县级单位•模拟预测）如图直角梯形/8CA中，跖是CD边上长为6的可

移动的线段，AD=4,AB=8V3,BC=12,则丽•前的取值范围为.

2

【变式8-3X23-24高一下•广东潮州•阶段练习）阅读以下材料，解决本题:我们知道①G+刃）2=a+Za.b+

b2；②0—b）2=~a2~2a,-b+b?.由①-②得④+b）2—（a—b）2=4a-ba-b=（*）丁"）,我们把最后

推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图

所示的四边形4BCD中，BD=8,AB-AD=48,E为BD中点.

⑴若cosNBAD=||,求△4BD的面积；

⑵若2荏=前，求荏•丽的值；

（3）若P为平面4BCD内一点，求西・（丽+方）的最小值.

【题型9矩形大法】

【例9】（2024•浙江绍兴•一模）已知向量五，石，N满足@=|回=十•石=量（a-c）-（6-2c）=0,则历一石

的最小值为

【变式9-1]（23-24高三下•四川成都•阶段练习）已知单位向量为，了满足|22-同=2,若存在向量2,使得

（2-2万）•售—万）=0,则回的取值范围是（）

A.[患+1]B.偿一1,当C•他一1浮+1]D.[V6-1,V6+1]

【变式9-2］（23-24高三上•四川资阳•阶段练习）已知为单位向量，向量五满足：（a-e）.（a-5e）=0,

则|H+2|的最大值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式9-3］（23-24高三上・贵州贵阳•阶段练习）己知平面向量万，己满足同=同•5=2,且①-花）•

（石―下）=0,则同―a的最小值为（）

【题型10等和（高）线定理】

【例10】（23-24高一下•重庆•阶段练习）在平行四边形A8CD中，E为CD的中点，BF^^BC,A尸与BE交于

点G,过点G的直线分别与射线B4BC交于点、M,N,前=4瓦?，环=面,贝取+2〃的最小值为（）

899

A.1B.-C.-D.-

775

【变式10-1］（23-24高三上•河南•阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对

称都能给人以美感，在菱形2BCD中，"BC=120°,以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，尸是这

四个半圆弧上的一动点，若丽=4瓦？+〃反，则4+〃的最大值为（）

35

A.5B.3C.-D.-

22

【变式10-2］（23-24高一下•四川绵阳•期中）在扇形OAB中，4力。8=60。，C为弧2B上的一动点，若灰=

xOA+yOB,则3x+y的取值范围是.

【变式10-3］（23-24高二上•上海浦东新•阶段练习）正六边形A8CDE尸中，P是/XCDE内（包括边界）的

动点，设而=nt通+71而，（m,n&R）,则m+n的取值范围是.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•江苏泰州•模拟预测）在平行四边形4BCD中力=45°,AB=1,AD=V2,若而=荏+x而（xGR）,

则|都|的最小值为（）

A.-B.—C.1D.V2

22

2.（2024咛夏银川•模拟预测）在△48C中，BD=2DCf过点。的直线分别交直线48、AC于点E、F,且标=

mAB,AF=nAC,其中m>0,n>0,则根+2几的最小值为（）

p

A.2B.V2C.3D.-

3

3.（2024•广东东莞・模拟预测）已知在同一平面内的三个点48,C满足|倜=2,昔—薪21,则国+国

的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,V3]D.[0,2码

4.（2024•天津河北•二模）△ABC是等腰直角三角形，其中AB1AC,|屈|=1,P是△ABC所在平面内的一

点，若丽=抚？+〃荏（420,〃20且4+2〃=2）,则需在加上的投影向量的长度的取值范围是（）

A.（o,y]B.[y,l]C.[1,V2]D.[V2,2]

5.（2024・安徽芜湖•三模）己知。。久2+372—10%+9=0与直线/交于48两点，且。C被/截得两段圆弧

的长度之比为1:3,若。为上一点，则9•丽的最大值为（）

A.18立+12B.16近+16C.12V2+20D.10V2+24

6.（2024•河北沧州•三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC中，4B=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若丽=4荏+〃尼，则4+〃的最大值为（）

A.iB.—C.1D.-

232

7.（2024・湖北•模拟预测）向量落石满足位是〉=J的=：臼，且VteR,不等式历+国2历-司恒成立.

63

函数/（%）=|/-司+恢一荆（久eR）的最小值为（）

A.|B.1C.V3D.V5

8.（2024•四川成都•三模）已知正方形ABCD的边长为1,M,N分别是边AB,AD上的点（均不与端

点重合），记△AMN,ACMN的面积分别为Si，S2,若Sr=\CM-AB\-\CN-AD\,则S2的取值范围

是（）

二、多选题

9.（2024•浙江宁波・二模）若平面向量或石工满足同=1,同=1,同=3且方7=隹3则（）

A.忖+了+石的最小值为2

B.忖+石+石的最大值为5

C.怔一了+胃的最小值为2

D.忖―了+石的最大值为g

10.（2024•山西晋中•模拟预测）在△ABC中，。为边AC上一点且满足南=g反，若P为边BD上一点，且

满足而=%方+〃正，A,〃为正实数，则下列结论正确的是（）

A.办的最小值为1B.加的最大值为七

C.J+；的最大值为12D.：+；的最小值为4

43〃A3/z

11.（2024•山东潍坊•二模）已知向量高及？为平面向量，同=1,历|=2，小了=0,曰一司=热则（）

A.1<|c|<|B.已―初・伍—石）的最大值为匕衿

C.-1<b-c<lD.若下=府+而，则2+〃的最小值为1一彳

三、填空题

12.（2024・四川宜宾•模拟预测）已知点O,4B在同一平面内且A为定点，O