平面向量基本定理及坐标表示（原卷版）-2025年天津高考数学一轮复习

第21讲平面向量基本定理及坐标表示

（4类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

平面向量基本定理的应用平面向量线性运算的坐标表示数量积的运算

2024年天津卷，第14题,5分

律数量积的坐标表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定义求向量的数量积基本不等式

2023年天津卷，第14题,5分

求积的最大值

2022年天津卷，第14题,5分用基底表示向量向量夹角的计算

2021年天津卷，第15题,5分数量积的运算律

2020年天津卷，第15题,5分已知向量共线（平行）求参数用定义求向量的数量积数量积的坐标表示

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理

2.能掌握空间直角坐标系的点坐标的运算

3.具备数形结合的思想意识，会建立空间直角坐标系，利用点坐标解决向量共线问题

4.会利用向量点坐标的公式求解向量共线以及加减数乘问题

【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容,一般给出图形，求解向量的线性表示与模长数量积问题o

卜飞•考点梳理，

知识点一.平面向量基本定理V考点一、平面向量基本定理的应用

知识点二.平面向量的正交分解

------------------------------------------------------------—.....................Z-

(jrri'nJfc—SEiSiLMiAU去彳'去笛1.向量加法'威法'数乘运算及向量的模•—EigTr1n0二一+丁'~~的

平面向量基本定理及坐标表示知识点二.平面向量的坐标运算2向量坐标的求法考点一、平面向量的坐标运算

E石…鼻++&SA1A尸主一考点三、利用向量共线求参数

知1八点四.干面向量共线的坐标表示考点四、利用向量共线求向量与点坐标

知识点五.平面向量基本定理的推论

知识讲解

知识点一.平面向量基本定理

如果ei,ez是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量”，有且只有一对实数%,入2,

使。=九三+丸2«2.

若«2不共线，我们把｛er%｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

知识点二.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

知识点三.平面向量的坐标运算

1.向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设〃=(»,yi),b=(X2,m)，则

。+[=(芍+%2，yi+y2)，。一力=(芍一九，yi—丫2)，4vi)，\a\=y]xi+y1.

2.向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,yi),3(x2,丁2),则屈=(电一xi，丫2一y。,|A^|=^(X2~xi)2+(y2—^i)2.

知识点四.平面向量共线的坐标表示

设〃=(%i,yi),>=(%2,闻，其中厚0,则a〃<=司、2—九2%=0

知识点五.平面向量基本定理的推论

1.设。=力d+/12«2，万=%3«1+丸4。2(71，22，23，筋金刈)，且的，e2不共线，若贝丸1=丸3且22=24.

2.若Q与8不共线，且2〃+〃力=0,则2=〃=0.

3.平面向量基本定理的推论:

①已知平面上点。是直线/外一点，A,8是直线/上给定的两点，则平面内任意一点P在直线/上的充要

—>—>—>

条件是：存在实数K使得。尸=（1）。4+/。区特别地，当T时，点P是线段A8的中点.

—>—>—>

②对于平面内任意一点0,有尸，A,5三点共线=存在唯一的一对实数九〃，使得。尸=丸。4+〃05,且丸

+〃=1.

4.常用结论：己知AABC的顶点4（X1，%），8（X2,丫2），C（X3,乃），则线段AB的中点坐标为”上，亭2

“8C的重心坐标为”卢，五声）.

考点一、平面向量基本定理的应用

典例引领

1.（2022・天津•高考真题）在AABC中，点D为AC的中点，点E满足方=2砺.记后？而=叫用2,3表

7J\DE=,若ABIDE,贝吐4CB的最大值为.

2.（2024.陕西铜川.模拟预测）在AABC中，点D为线段BC的中点，点E满足於=2瓦5,若荏=4而+//丽,

则；I+〃的值为（）

即时检测

1.（2024上海浦东新.三模）给定平面上的一组向量瓦、石，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的

是（）

A.2瓦*+前和西*—瓦B.西+3用和田+3西*

C.3宙一石和2瓦一6宙D.前和宙+石

2.（2024•江苏扬州•模拟预测）在AABC中，DC=2BD,M为线段力。的中点，过M的直线分别与线段4B、4C

交于P、Q,且布=］屈，而=2左，贝!U=（）

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

3.（2024・贵州六盘水•三模）已知点O为的重心，AC=AOA+［1OB,贝设+〃=（）

A.-3B.-2C.1D.6

4.（23-24高三上•天津武清•阶段练习）在△ABC中，前=［前,E是线段40上的动点（与端点不重合），

设方=xCA+yCB,则2x+3y+町的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

5.(23-24高三上•江苏南京•期中)在△28C中，已知点。满足品=2万，若同=3前—2布，则

X=.

6.(23-24高三上.天津和平.期末)如图，在AABC中，BO=30C,过点。的直线分别交直线4B,AC于不同的

两点M,N,记屈=a,AC=b,用之石表示同=；设荏=mAM,AC=nAN,若m>0,n>0,则［+；

的最小值为—.

A

考点二、平面向量的坐标运算

典例引领

1.(2024・河南•模拟预测)已知向量南=(2,-1),而=(3,2),点C(一1,2),则点B的坐标为()

A.(-2,-1)B.(0,5)C.(2,-5)D.(2,-1)

2.(22-23高三・全国•对口高考)已知向量日=(V3,l),^=(0,-2).若实数k与向量不满足㊂+2另=kc,贝场可

以是()

A.(V3,—1)B.(―1,—V3)

C.(-V3,-l)D.(-1,73)

即时检测

1.(2024.湖北武汉•二模)已知点4,8,C,。为平面内不同的四点，若丽=2DA-3DC,且尼=(-2,1),则屈=

2.(2024•福建泉州•模拟预测)菱形4BCD中，AB=丽=(2,2),贝亚=.

3.(2023•内蒙古赤峰•三模)如图，在四边形ABCD中，=120°,zDXC=30。,AB=1,AC=3,AD=2,

4.（2023•江西•模拟预测）在平面四边形4BCD中，AB1BC.AC1CD,AB=BC=CD,若前=XAB+〃福,

则4+〃=()

A.-B.V2C.-D.2

32

5.(2024・北京.三模)己知向量匕3,5在正方形网格中的位置如图所示，若m=热+〃灰尢〃CR),则(的

考点三、利用向量共线求参数

典例引领

1.(2024•内蒙古包头•三模)已知向量江=(1,一1),b=(m+l,2m-4),若(3+另)〃R—3),则6=()

A.4B.3C.2D.1

2.(2024•陕西渭南・二模)已知向量B=(t-3,-1),b=(2,t),则“t=2”是方〃声的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

即时叁叫

1.(2024.江西南昌•模拟预测)已知2=(1,2),3=(—1,3),若(碗+母〃(22—3)，则k的取值为.

TTT-->->一

2.(23-24高三上・江西•期中)已知平面向量a=b=(-2,1),c=(n,2),若alb,b“c,则m+

n=.

考点四、利用向量共线求向量与点坐标

典例引领

1.(•上海・高考真题)已知点4(1,-2),若向量费与五=(2,3)同向，|舫|=2713,则点B的坐标为.

2.(2024.全国.模拟预测)已知M(4,—2),N(—6,—4),且丽=一号而，则点P的坐标为()

A.(1,1)B.(9,-1)C.(-2,2)D.(2,-1)

即时检测

1.(2024•陕西宝鸡•三模)已知向量2=⑺,2)与3=(—2,—4)共线，则22—3=()

A.(10,8)B.(4,8)C.(0,0)D.(1,2)

2.(2024.河南信阳•模拟预测)抛物线E：y2=4x的焦点为尸，直线48,CD过F分别交抛物线E于点4B,C,

D,且直线4D,8C交x轴于N,M,其中N(2,0),则M点坐标为.

3.(2024•山东泰安.模拟预测)已知向量|汨=3,3=(1,2),且力/B,则向量日的坐标为.

4.(22-23高三•全国•对口高考)已知点4(1,—2),若屈与2=(2,3)的夹角是180。，|荏|=2回，则点B坐

标为•

12.好题冲关.

基础过关

1.(23-24高三上•天津•期中)与向量日=(3,-1)和另=(1,3)的夹角均相等的单位向量为()

A.律将或(-雪,4)

B.停金或(-今-金

c等或(-警用)

D停,一誓)或甯

2.(23-24高三上•湖南长沙•阶段练习)在△ABC中，M是4C边上一点，且宿=2标，若丽=无瓦？+y阮，

则y的值为()

1122

A--3B.-C.--D.-

3.(20-21高三上・天津红桥・期中)设0<8<；,向量日=6也2仇。05。)花=(005。，1),若出石，则tan。=()

A.1B.1C.2D.|

4.(23-24高三上•天津静海•阶段练习)已知平面内三个向量日=(3,2),另=(-1,2),c=(4,1),若(N+

kc)//2b—d,贝Uk=.

5.(21-22高三上•天津・期末)如图，在四边形4BCD中,4B=2,AC=2同AD=ACAB=-,AD-AB=

262

贝ijAD•AC=；设AC=mAB+nAD(jn,nGR),则m+n=.

c

D

6.（21-22高三上•全国•阶段练习）在矩形ABCD中，AB=6,AD=4,E为CD的中点，若丽=2而，AF=

XAB+[1AD,则4+〃=.

7.（20-21高三上•天津・期末）如图，在边长1为正方形中，M,N分别是BC,CD的中点，则前•

AC—，若24c=XAM+fiBN,则4+〃=.

能力提升

1.（2024.天津.模拟预测）如图，在△4BC中，ZB=2,AC=5,cos^CAB=|,D是边BC上一点，且丽=2DC.

若前=三而，记方=AAB+fiAC（A,fieR）,则4+4=________；若点P满足而与四共线，PA1PC,

4

则黑!的值为.

2.（2024.天津•二模）在四边形力BCD中，乙4=120。，AC=1,AB=2DC,M为4。中点.记前=2,南=3,

用石工表示前=；若丽=%反，则而•丽的最大值为

4

3.（2024•天津南开•一模）平面四边形ABCD中，AB=2,乙4BC=：,AC1AB,E为BC的中点，用荏和

族表示芯=；若ED=2,则前•南的最小值为

4.（2024•天津河东•一模）已知A4BC,如图所示，点E为BC中点，点D满足诟=》话，记刀=江，丽=3,

用a,b表示ED=；当乙5=30。,CD=BD,\ED|=1时五•力=

5.（23-24高三上•天津宁河•期末）在平行四边形ZBCD中，^ABC=60°,E是CD的中点，AF=2FEf若设

BA=a,BC=b,则而可用出3表示为；若A4DE的面积为手，则画的最小值为.

6.（23-24高三上.天津•阶段练习）如图，在菱形4BCD中4B=2,^BAD=60°,E、F分别为BC、CD上的

点.CE=2EB,CF=-2FD,点M在线段EF上，且满足俞=+|同（xeR）,\AM\=；

若点N为线段BD上一动点，则丽•标的取值范围为.

7.（23-24高三上.天津和平.阶段练习）如图，在443。中，48=2,2。=3,荏・前=3,点。是3。的中点，

点E在边力C上，3荏=前,BE交2D于点F,设丽=4存+乩庶（尢〃eR）,则4+〃=；点G是

线段BC上的一个动点，则前•雨的最大值为.

1.（2022.全国•高考真题）在A48C中，点D在边AB上，BD=2DA.记方=沅，CD=n,则方=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2n