解三角形的最值和范围问题-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点12解三角形的最值和范围问题【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】...............................................2

【题型2三角形边长的最值或范围问题】........................................................5

【题型3三角形周长的最值或范围问题】........................................................8

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】.....................................12

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】.....................................................15

【题型6转化为三角函数求最值（范围）】.....................................................17

【题型7转化为其他函数求最值（范围）】.....................................................21

【题型8“坐标法”求最值（范围）】.........................................................25

【题型9与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................29

►命题规律

1、解三角形的最值和范围问题

解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或

与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主

要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的

关键是建立起角与边的数量关系.

►方法技巧总结

【知识点1三角形中的最值和范围问题】

1.三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：

（1）利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；

（2）利用基本不等式求最值（范围）；

（3）转化为三角函数求最值（范围）；

（4）转化为其他函数求最值（范围）；

（5）坐标法求最值（范围）.

2.三角形中的最值（范围）问题的解题策略：

（1）正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运

用.解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究

其最值（范围）.

（2）转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略

三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利

用三角函数的范围求出最值或范围.

（3）坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略

“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边

角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结

合三角函数、基本不等式等知识求其最值.

►举一反三

【题型1三角形、四边形面积的最值或范围问题】

【例1】（2024•河北石家庄•三模）在△ABC中，角4B、C所对的边分别为a、b、c,c=4,ab=9.

⑴若sinC=I，求sin力•sinB的值；

（2）求△力BC面积的最大值.

【解题思路】（1）根据正弦定理可得sinA=g,sinB=&从而可求sinA•sinB的值；

（2）利用基本不等式可得+b2>2ab=18,再根据余弦定理可得cosC的范围，从而可得sinC的范围,

结合三角形面积公式，即可得△4BC面积的最大值.

【解答过程】（1）由正弦定理三=4=9=6,可得sinA=±sinB=&

sinesmHsmA66

ab91

・••sinA-sinB=—•—=—=—

66364

(2)vab=9,**.a2+b2>lab=18,

2ab-161

由余弦定理可得cose=__18-5'

・*.1<cost,<1,0<1—（cosC）2<3

・•・0<sinf<竿，・,.S=|ahsinC=|sinf<2V5,

当且仅当。=b=3时，等号成立，此时面积取得最大值2代.

【变式1-1］（2024•全国•模拟预测）记锐角三角形ZBC的内角48,C的对边分别为a”,c,已知bcosZ=V3-

acosB,2asinC=V3.

⑴求A

（2）求4ABC面积的取值范围.

【解题思路】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.

⑵利用正弦定理得b===E+结合△ABC为锐角三角形，求得g<C<，进而求得

smesme2tanc232

|<h<2,即可求解.

【解答过程】（1）方法一：由余弦定理，得=B—ax誓也，解得c=VI

2bc2ac

又2asinC=g,所以由正弦定理，得sin4=竺变=

c2

又△ABC为锐角三角形，所以4=3

方法二：由题意知，bcosA=2asinC-acosB.

由正弦定理得sinBcosA=2sinZsinf—sin/cosB,

所以sinBcosA+cosBsinA=2sin4sinC,

所以sin(B+4)=2sinZsinf,即sinf=2sin4sinC；

又因为sinC^O,所以sin4=g,又因为4€(0弓)，所以4=].

(2)由正弦定理，得6=誓V^sin(4+C)_V3sin?lcosC4-V3coSi4sinC

2tanC2

0<c<-

2

因为△力BC为锐角三角形，所以

0<B=--C<-

解得三<C<£，所以tanC>B,所以：<b<2.

因为c=V5,所以S/^BC=；bcsin4=当8,所以当〈S^BCV号.

【变式1-2](2024•辽宁・模拟预测)如图，在平面内，四边形力BCD满足B,。点在AC的两侧，AB=1,BC=2,

△ACD为正三角形，设N4BC=a.

D

⑴当a=轲，求力C；

(2)当a变化时，求四边形4BCD面积的最大值.

【解题思路】(1)在△力BC中，由余弦定理可得AC的值；

(2)由余弦定理可得AC?的表达式，进而求出正三角形力CD的面积的表达式，进而求出四边形4BCD的面积

的表达式，由辅助角公式及a的范围，可得四边形面积的范围.

【解答过程】⑴因为4B=1,BC=2,8=全

由余弦定理可得：AC=VXB2+BC2-2AB-BCcosB=Jl+4-2X1X2X1=V3.

(2)由余弦定理可得AC?=_|_BC2—2AB-BCcosa=1+4—2xlx2coscr=5—4cosa,

因为△力CD为正三角形，所以S&4CD=苧4=乎一V3cosa,

11

S2ABC=-BCsina=-x1x2sina=sina,

所以S四边形ABCD=S4wc+S^ACD=sina-V3cosa+莘=2sin(仇一§+乎，

因为aG(Om),所以a—^6

所以sin(a冶)e(一耳,斗

所以S四边形4BCDe(f,2+#卜

故当a=g时，四边形力BCD面积的最大值为2+乎.

【变式1-3](2024•上海•三模)已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且遮a=2csinA.

(1)求sinC的值；

(2)若c=3,求△力BC面积S的最大值.

【解题思路】⑴由正弦定理即可得sinC=^；

(2)由余弦定理结合重要不等式可得ab取值范围，再由三角形的面积公式S^BC=gabsinC可求出面积的最

大值.

【解答过程】(1)由题意可知，V3a=2csinA,

由正弦定理得V5sinA=2sinCsin4

因为力，CG(0,n),所以sin4H0,

即sinC=-y.

(2)由(1)可知sinC=/，

所以C=g或0=生

在△ABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

当C=］时，c=3,

9=h2+a2-2ab--=b2a2—ab>2ab-ab=ab,

2

当且仅当。=b=3时取等号，即ab<9,

故44BC的面积S&4BC=-absinC=――ctbW

244

当c=g时，c=3,

9=82+次+2ab•I=b2+a2+ab>lab+ab=3ab,

当且仅当a=b=6时取等号，即ab<3,

故aZBC的面积SAZBC=^absinC=~ctb<~~r~-

244

综上所述，△ABC的面积最大值为竽.

【题型2三角形边长的最值或范围问题】

【例2】(2024•四川三模)在△4BC中,内角48,C的对边分别为a,b,c,且满足2csinBcosA=b(sinAcosB+

cosAsinB).

(1)求力；

(2)若△ABC的面积为16遮，。为AC的中点，求2D的最小值.

【解题思路】(1)根据正弦定理进行边化角得cosX=则得到力的大小；

(2)利用三角形面积公式得几=64,再利用余弦定理和基本不等式即可得到最值.

【解答过程】(1)因为2csinFcoSi4=6(sin4cosB+cosZsinB),

由正弦定理可得2sinCsinBcos4=sinBsin(Z+B)=sinBsinC,

又CG(0,ii),BG(0,7i),故sinfH0,sinBW0,

所以cosA=I，又4e(0,11),故4=

(2)S4ABe=^ebsinA=16v又4=p•••be=64,

2

在△84。中，由余弦定理8。2=—2・84MD・cos4=c2+C)-2c-1-cosp

=c2+-——-cb>2c2--——-cb=-cb=32,

42\422

当且仅当c=g=4位时取等号，

BD的最小值为4V2.

B

【变式2-1]（2024•江西•模拟预测）在aABC中，角4B,C所对的边分别记为a,b,c,且tanA=吟吟

cosC+smB

⑴若B=F，求c的大小.

(2)若a=2,求b+c的取值范围.

【解题思路】(1)由tan/=ssB-smC,得sin/cosC+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,再利用两角和差

cosf+sinB

的正余弦公式化简，进而可求得4B的关系，即可得解;

（2）利用正弦定理求出仇c,再根据48的关系结合三角函数的性质即可得解.

【解答过程】(1)因为tan4=cosB-sinC,所以陋=C°SB-Sinc

cosC+sinBcos4cosf+sinF

即sirh4cosc+sinAsinB=cosAcosB—cosAsinC,

即sinXcosC+cosAsinC=cosAcosB—sin/sinB,

所以sin(i4+C)=cos(i4+B),即sinB=cosQ4+B),

而4BE(0,T[),所以B+/+B=5或B—(4+B)=—>

所以4+2B=]或4=一5（舍去），

又因为B=g所以4=9

OO

所以c=g；

(2)由⑴得4+28=今

因为就=9C

sinC，

所以竺哼2sinS_2sinF_2sinB

sinZsin4sin怎一28)cos2B'

asinC_2sinC_2sin(^+^)_2cos8

sinZsin4sin(5—28)cos2B'

贝帕+c=2(sinB+cosB)2(sinB+cosB)2

cos2Fcos2B—sin2ScosB—sinBcos(8+]

0<B<ii

0<=-2B<n)得O<B<$

{0<y+B<TT

所以T<B+m<3所以0<cos(B+R<¥，

442\4/2

所以b+cE(2,+oo).

【变式2-2X2024•广东广州•三模)在锐角△ABC中，内角42,C的对边分别为a,6,c,且c=bsin^+acosB.

⑴求4

(2)若。是边BC上一点(不包括端点)，且N4BD=NB4),求号的取值范围.

DL)

【解题思路X1)根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到sin?=cos4进而求得sin?=

即可求解.

(2)设乙4BD=Na4。=久(0<x<*在△4CD中，利用正弦定理，化简得到黑=一1+要一，根据题

意，结合正切函数的性质，即可求解.

【解答过程】(1)c=6sin^+acosB,sinC=sinBsin^H-sinAcosB,

又/+B+C=IT,可得sinC=sin(/+B)=sinZcosB+cosTlsinB,

•••sin/cosB+cos/sinB=sinBsin-+sinXcosB,

2

:.sinBcos/=sinBsinp又0VB<]sinBH0,

可得cosA=sin*所以1—2sin2^=sin*解得sing=；或sin5=一旦

v0<>1<I，所以sin、=,即。=

(2)设N4BD=/BAD=x(0<x<§,则N£MC=]一相44(7£)=g—x,

•••Z-ABD=Z.BAD,AD=BD,

在44CD中，由正弦定理得殷=殷=把a=曾sx-s叫=生之=_1+2V3_f

BDADsin(-----xjV3cosx+sinxV3+tanxV3+tanx

因为△力BC为锐角三角形，所以0<x(洱。〈零—％<今贝%<x<%

所以tanxe停⑹，可得B+tanxe件,2⑹，所以T+送=(。，。，所以恭(呜)•

【变式2-3](2024•江西鹰潭•二模)△ABC的内角力,B,C的对边分别为a,b,c,满足上哼=当.

cos/cosB

⑴求证：A+2B=]；

(2)求亨的最小值.

【解题思路】(1)根据题意，化简得到sin(4+B)=cosB=sing-B),即可得证；

(2)由(1)知4=]一28且C=]+8,利用正弦定理得到亨=4cos2B+熹一5,结合基本不等式,

即可求解.

【解答过程】(1)证明：由1sm9=可得4”且sinZcosB+cos/sinB=cosB,

cos?lcosB2

所以sin(X+B)=cosB—sin(]—B),

因为4B为三角形的内角，可得4+B=]—B,即4+28=看得证.

(2)解:由(1)知力=]-28,且C=Tt-a-B=]+B,

EITPla21^2__sin2i4+sin2B__cos22B+sin25_(2cos2B-1)2+1—cos2B

2

csin2cCOS2FCOS2F

所以巴券=4cos28+^^-5>4V2-5,当且仅当=乎时，等号成立，

所以号的最小值为4V2-5.

【题型3三角形周长的最值或范围问题】

【例3】(2024•安徽淮北二模)记△4BC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知c一6=2csiM?

(1)试判断△4BC的形状；

(2)若c=l,求△ABC周长的最大值.

【解题思路】(1)根据题意，求得COS4=L利用余弦定理列出方程，得到a2+62=c2,即可求解；

C

(2)由(1)和c=l,得到a=sinZ,8=cos4则△ZBC周长为1+sinZ+cos/,结合三角函数的性质,

即可求解.

【解答过程】⑴解：由c—6=2csin2],可得宜/仁^，所以卡=F，

222c22c

即1T=L所以cos4=2,

2222cc

又由余弦定理得四等=2,可得a2+62=c2,所以c=；,

2bcc2

所以△4BC是直角三角形

(2)解：由(1)知，ZiZBC是直角三角形，且c=l,可得a=sinZ,b=cos4

所以△力BC周长为1+sinA+cos力=1+V2sin(4+：)，

因为4e(o,g,可得"+：€(：号)，

所以，当/=：时，即△力BC为等腰直角三角形，周长有最大值为企+1.

【变式3-1](2024•四川绵阳•模拟预测)已知在△ABC中，。为2C边的中点，且AD=*.

(1)若△4BC的面积为2,cos^ADC=y,求B；

(2)若力5+力。2=18,求△力BC的周长的最大值.

【解题思路】(1)根据题意，利用三角形的面积公式，求得BD=1,由余弦定理，求得48=2近，再由

正弦定理求得sinB=今进而求得B的值；

(2)设CD=BD=x,分别在△力BD和△4CD中，利用余弦定理，列出方程求得x=2,结合Q4B+4C)2W

2{AB2+AC2},即可求解.

【解答过程】(1)解：因为△4BC的面积为2,且。为BC的中点，

可得SA4BD=/力切出D|sinN4D8=1,

又因为sinNADB=sinNADC=W，可得BD=1,所以BC=2

在△ABD中，由余弦定理得力B2=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB

=(V5)2+12_2x逐xlxW=8,所以48=2V2,

由正弦定理缶=焉，可得SEB=3

因为乙4DC+Z.ADB=Tt且COSZ.ADC=y;

可得cosZ-ADB=cos(IT—Z.ADC)=—cosZ-ADC=—<0,

即“DB为钝角,所以B为锐角,所以B=(.

(2)解：设CD=BD=x,分别在△力BD和△力CD中，

由余弦定理力=AD2+BD2-2AD-BD-cos^ADB,

即4B2—x2+5—2x-VSCOSZTIDB,同理可得AC2—x2+5+2x-y[Scosz.ADB,

所以力B2+4。2=2(^2+5)=18,可得尤=2,

又因为Q48+4C)2式2(41+力。2)=36,当且仅当4B=4C时，等号成立，

所以4B+4CW6,所以△ABC周长的最大值为10.

【变式3-2](2024•云南曲靖•二模)在△ABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V^csinH=b+c.

(1)求角B的取值范围；

(2)已知△力BC内切圆的半径等于手，求△力BC周长的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理可得sirh4cosc+BsinCsin/=sinB+sinC,利用三角恒等变换可得sin(4—

m)=；，可求角B的取值范围；

oZ

(2)由三角形的面积可求得a=—b—c+be,结合余弦定理可得(be)?-2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2—

3bcf计算可得b+cW2或b+cN6,进而可求得

△ZBC的周长L=a+b+c=Vfo2+c2-2bccosA+b+c,设△ZBC与圆内切于点D,b+c=AC+

AB>AD+AF=3f进而分析可得△4BC的周长的取值范围.

【解答过程】(1)vacosC+V^csinA=b+c

由正弦定理得：sirh4cosc+V5sinCsinZ=sinB+sinC,

・•・sirh4cosc+V3sinCsinA=sinB+sinC,:.sin4cosc+gsinCsinC=sin(4+C)+sinC,

・•・y/3sinCsinA=cos^sinC+sinC.

vsinCHO,•••V3sinyl=cosA+1,・•・sin(4—

(2)S=^besinA=be,S=+b+c)・r=广(a+b+c),

•••a+b+c=be,即a=—b—c+be,

由余弦定理得：a2=b2+c2-be.

・•・(fee)2—2bc(b+c)+(b+c)2=(b+c)2—3bc,

・•.be=2(b+c)—3..•・(be)2—2bc=2(b+c)—3,

2

••*be<(当且仅当b=c时取等号)，

:.2(6+c)-3</；)b+c<2或b+c>6.

O

设与圆内切于点贝!Mo=AF=r-tan60°=

+c>6(当且仅当b=c=3时取等号).

△4BC的周长L=a+b+c=Vb24-c2-2bccosA+b+c,

I--------------------Irb+C

=+c)2—3bc+h+c>(b+c)2—3(---)2+b+c

=1(h+c)>9(当且仅当6=c=3时两处都取等号).

,."min=%

,；c=AB>DB<B(争,

tan-2tan-J

「•8—0时，C7+oo,L->+8,

.•.△ABC的周长的取值范围是［9,+8).

【变式3-3](2024•湖南常德•一模)已知△力BC的内角A,8,C的对边分别是a,b,c,且唉=2b.

cost

⑴判断△4BC的形状；

(2)若△ABC的外接圆半径为VL求△ABC周长的最大值.

【解题思路】(1)使用正弦定理对条件进行边化角，再用三角恒等变换证明8=C；

(2)先用基本不等式证明sinA+sinB+sinC<苧，然后利用正弦定理与外接圆半径的关系可得到a+b+

c<3V6,最后说明等号可以取到，即得结果.

【解答过程】(1)由正弦定理并结合已知有sinScosC+sinCcosF=sin(B+C)=sin4=友詈=外7==

2sinBcosC.

故sinBeosf=sinCcosB,从而sin(B—C)=sinBeosf-sinCcosB=0.

由于3,CE(Oji),从而g-CW(-nm),故由sin(B-C)=0可知B=C,所以△4BC一定是等腰三角形.

（2）设的外接圆半径为R.

一方面，我们有sinA+sinB+sinC=sin(B+C)+sinB+sinC

=sinBcosf+sinCcosB+sinB+sinC

2sinB•V3cosC2sinC-V3cos^

——--------1-----------------------FsinB+sinC

2V32V3

sin*25+3cos2csin2c+3cos2B

—胃--------1-------------

2V32V3

sin2B+3—3sin2Csin2c+3-3sin2^

-------------------------1---------------------------FsinB+sinC

2V32V3

V3V3「

———sin27B+sinB———sin72C+sinC+v3

27

V3/.DV3\V3/.V3\,3V3.3V3

-T(sinC-TJ+—<—

故a+b+c=2R(sin3+sinB+sinC)W2R•言=2a•誓=3后;

另一方面，当△4BC是边长为伤的等边三角形时，有a=b=c=&,A=B=C=^.

此时—^7=半=2乃=2b,R=-=V2,且a+b+c=3历.

COSG-22smA92~73

所以△ABC周长的最大值是3瓜

【题型4三角形的角（角的三角函数值）的最值或范围问题】

【例4】（2024•内蒙古呼和浩特*一模）记△力BC的内角4的C的对边分别为a,hc.若a=g,b=2,则B+C

的取值范围是（）

A・俘期B.[£）

C"D.仔罚

【解题思路】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos4求出其范围进而可得力的范围，则B+C的取

值范围可求.

【解答过程】根据三角形三边关系可得2-8<c<2+疗,

*+c2-a24+C2-3

即cos4=

2bc4c争4c=总4\+9cj

由对勾函数y=x+：单调性可知，其在（2-百,1）上单调递减，在（1,2+旧）单调递增;

即cos4=](c+，)e[T，1),可得AG所以B+Ce仔,TT).

故选：B.

【变式4-1]（2024•内蒙古呼和浩特•二模）在△4BC中，角力、B、C的对边分别为a、b、c,若专+*=金,

则tan/---二的最小值为（）

tanc

ABD.1

-I-I9

【解题思路】由题意化简可得-八浮，根据余弦定理可得34=亲cosC=-A,进而tanC=-

9tanZ<0,则tan/——二=tanA+-^—,结合基本不等式计算即可求解.

【解答过程】由强+・=磊，得。2+济=。2,所以©2—。2=浮,

沙=翌cosC=^^="=—2,

由余弦定理得cosX="耍""

2bc8c2ab2ab8a

9b

所以注=另=—四羽竺，整理得理=_9.辿，即tanf=—9tan4

COSC—csinfcosCCOSTI

8a

由cosC=-2〈o,知C为钝角，所以tanC=-9tanZ<0,则tanZ>0.

所以tan/----=tan/H———>2/tanZ•——=

tanC9tanAy9tan43

当且仅当tanX=#7即tan/=:时等号成立，

9tarii43

所以当tan力号时，tan”高的最小值为余

故选：B.

【变式4-2]（2024•陕西宝鸡•二模）△ABC中，。为BC边的中点，AD=1.

（1）若△4BC的面积为2后且乙4DC=字求sinC的值;

（2）若8C=4,求cosNBHC的取值范围.

【解题思路】（1）由S0DC=[SOBC，利用面积公式求出DC，在△力DC中由余弦定理求出4C,再由正弦定

理求出sinC；

（2）设〃℃二/六（0力，分别利用余弦定理表示出册、依从而得到8S皿C=-而蠢方再

由余弦函数的性质计算可得.

【解答过程】⑴因为D为BC边的中点，所以SA4DC=?SA4BC=A

又SMDC=,DCsinN/WC=心即gx1xDCxsi吟=百，解得DC=4,

在^ADC中由余弦定理力。2=4。2+DC2_2AD.DCcos^ADC,

即力/=12+42_2x1x4x(—3=21,所以ZC=V21,

在△4DC中由正弦定理一奇=当即粤=士解得sinC=《

smz.ADCsineirsine14

2

(2)设立力DC=/eG(0,n),

在aADB中由余弦定理4^2=AD2+BD2-2AD-BDeos乙ADB,

即4Z?2=l2+22—2xlx2COS(TT-0)=5+4cos8,

在aADC中由余弦定理4c2=AD2+DC2_2AD.DCCOSZ.ADC,

2

即力。2=i2+2-2xlx2COS0=5—4cos0,

在aABC中由余弦定理cos^BAC=5+4cos6+5—4cos8-16_3

ZAD-AC2V5+4cose-V5-4cos0V25-16cos20

因为ee(0,n),所以cos2。e[0,1),贝(J25—16cos2。e(9,25],

所以'25-16cos2®e(3,5],

所"k11,

EG.

所以一宿入G(-1,—-jf即cosZ-BACG(T，T

【变式4-31(2024•北京石景山•一模)在锐角△ZBC中，角48。的对边分别为a,8的且2bsinZ-=0.

(1)求角B的大小；

(2)求cos力+cosC的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理边化角求解即可；

(2)由(1)可知8=争所以4+C=g,所以将cosA+cosC转化为同一个角的三角函数，最后求其值域

即可.

【解答过程】(1)因为2bsin4-8a=0,由正弦定理边化角得：

2sinBsinX—V3sinX=0,所以(2sin8—V3)sinX=0,

由于在△力BC中，sin力力0,所以2sinB一百=0,

即sinB=M又0<B<],所以8=今

(2)由(1)可知B=%所以a+c=g,

所以cosA+cosC=cosA+cos-4)=cosA+cos-cos>l+sin—sin?l

33

1V31V3/

=cosA----cosZH------sinA=—cosAH------sinZ=sinL4+

2222V3

（0<--A<-“

由于在锐角△ABC中，3兀2,所以m

0<X<-62

2

所以《<4+3所以5屋<皿6+外40吟

3633\6/2

所以苧<sin（4+习W1,所以cos力+cosC的取值范围为停斗

【题型5利用基本不等式求最值（范围）】

【例5】（2024・山西太原•三模）已知△ABC中，4=120。，。是BC的中点，且4D=1,贝面积

的最大值（）

A.V3B.2V3C.ID.2

【解题思路】利用中线得到4=炉+©2-6c,结合不等式得出beW4,进而得到面积的最大值.

【解答过程】因为4=120。，所以四•尼=|祠|祠3120。=-如，

因为力。是中线，所以前=g（南+左），AD2=1（AB2+AC2+2AB-XC）,

所以4=次+C2-be2be,当且仅当b=c时，等号成立；

△ABC面积为S=^besinA<|x4Xy=V3.

故选：A.

【变式5-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△ABC的内角45C的对边分别为a,6,c,且a=g,8C边上中

线力。长为1,则be最大值为（）

A.7B.\C.V3D.2V3

42

【解题思路】根据两角互补余弦值之和等于0,然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方

程求出按+。2=?然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答过程】由题意得4WB+N/WC=TT,

所以cosZ-ADB+cosZ-ADC=0,

又a=®且。是BC的中点，所以DB=DC=f,

7a

/icnAD2+BD2-C27-C

i±AABD中，cosZ-ADB=-------------=^-f=-

2ADBDV3

在△皿;中，=嘤等=4

77

所以cos^ADC+cos^ADB='+隼=0,

V373

即扶+=；,得2bc<b2+c2=be当且仅当b=c=《取等号，

2242

故选：A.

【变式5-2](2024•安徽合肥・二模)记△力BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知©=2,‘7+」7+

tanAtan3

=1.则△ABC面积的最大值为()

tan/tanB

A.1+V2B.1+V3C.2V2D.2V3

【解题思路】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦

定理及基本不等式可得M的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值.

【解答过程】因为二—I—-—I-------—=1,可得tanA+tanB+1=tanAtanB,

tan4tanBtanAtanB

口nSinZ,sinB,.sinAsinB

即——+——+1=---------,

cosZcosBcosAcosB

整理可得sirL4cosB+cosZsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(i4+B)=—cos(X+B),

在三角形中sin(>l+B)=sinC,cos(A+B)=—cost1,

即sinC=cosC,C6(0/n),可得C=:;

由余弦定理可得c?=b2+a2-2abeos：>2ab-y[2ab,当且仅当a=b时取等号，

而c=2,

所以ab<2-y[2=2(2+V2),

所以=5absinC45x2(2+V2)x=1+V2.

即该三角形的面积的最大值为1+V2.

故选：A.

【变式5-3](2024•浙江台州•二模)在△ABC中,角4B,。所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccos4

则等的最大值为()

A.V3B.-C.—D.3

22

【解题思路】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【解答过程】由余弦定理可知，COSC=Q^F，COS4=Q±《W,

2ab2bc

由QCOSC=2ccos4可得Q•丘》二.=2c-b-+c~a~,

2ab2bc

化简可得。2+/一=2b2+2c2-2a2,

所以3a2=ft2+3c2,即4=-b_6,

3bc_33_V3

b2+3c2.2+主—2叵^-2

c-Jeb

当且仅当卜干时，即b=Bc时，等号成立,

所以挪最大值为日

故选：C.

【题型6转化为三角函数求最值(范围)】

【例6】(2024•辽宁沈阳・模拟预测)在△4BC中,内角),8,C所对的边分别为a,b,c,且*=L

(1)求角A的大小;

(2)若△力BC为锐角三角形，点/为△ABC的垂心，AF=6,求CF+BF的取值范围.

【解题思路】(1)由正弦定理及余弦定理可得cos4的值，再由角4的范围，可得角2的大小;

(2)设NR4B=a,分别在两个三角形中，由正弦定理可得BF,CF的表达式，由辅助角公式可得BF+CF

的取值范围.

【解答过程】(1)因为里泮誓=1,

cos^B—cos^A

所以sin2c-sinCsinB=cos2B—cos2y4=1—sin2B—1+sin2>l,

所以siMB+sin2c—siMz=sinCsinB,

由正弦定理可得抉+c2-a2=be,

由余弦定理可得COSi4=b+；—a=I，G(0,71),

2bc2

可得a=p

(2)延长2F交BC于D,延长BF交AC于E,延长CF交4B于P,AF=6,

根据题意可得BC14D,BE1AC,因为所以NEBA=N力CP=二

36

设NF4B=a,ae(05)，在△AB尸中，由正弦定理可得~

3smz.EBAsmz.FAB

即1=—,可得BF=12sincr,

-sina

2

同理在△CR4中，可得CF=12sin6-a),

所以BF+CF=12[sina+sin(^—a)]=12(sina+苧cosa—|sina)

=12(|sina+弓cosa)=12sin(a+])，

因为aW(0—),所以a+号)，

所以sin(a+/)E1]»

所以BF+CFE(6V3,12].

【变式6-1](2024・辽宁・模拟预测)已知△ABC的内角4BfC的对边分别为见瓦c,(c-V3fa)sinC=(a-

b)(sin4+sinB).

(1)求力；

(2)若△ABC为锐角三角形，且b=6,求△力BC的周长I的取值范围.

【解题思路】(1)根据正弦定理角化边，结合余弦定理，即可求得答案；

(2)利用正弦定理求出a,c的表达式，根据△4BC为锐角三角形确定2的范围，求出三角形周长的表达式

并化简，结合正切函数性质，即可求得答案.

【解答过程】(1)由题意知△ABC中,(c—V3h)sinC=(a—6)(sin4+sinB),

即(c—V3Z?)c=(a-b)(a+b),BPZ>2+c2-a2=痘be,

I.L.b2+c2-a2V3k„.A7T

故COSi4=----------=—,而0V4<IT,・,•Z=-；

2bc26

(2)由(1)知B+C=gn,而b=6,

6

故由正弦定理得号=4=£,则。=霁=三

sm/sinnsinesinBsinn

6sinf_6sinQ4+B)_6sin(^+^)_+3cosB

sinBsinBsinBsinB

由△ABC为锐角三角形,则C=

故4的周长Z=Q+b+c=——F6+3V3+3c°s'

6cos2g

3(1+cosB)

=6+3百+=6+3V3H--------5-----p

sinB.DD

2nsm2cos2

=6+3V3H----g,

tan.

而故-^E(3,3V^),

乙3tan—

故^ABC的周长的取值范围为(9+3V3,6+6V3).

【变式6-2](2024•河北衡水一模)在△力BC中，内角48,C所对的边分别是a,仇c,三角形面积为S,若D

为4C边上一点，满足力B_L=2,且a2=—等S+abcosC.

(1)求角8;

⑵求方+/的取值范围.

【解题思路】(1)结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tanB=-W,进而求解即可;

(2)在△BCD中由正弦定理可得DC=」-,在Rt△4BD中，可得4。=二进而得到上+工=sinA+sinC,

sinCsinAADCD

结合三角恒等变化公式化简可得Wsin(C+9,进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.

ZiZzCU\Oz

【解答过程】(1)•••a?=—?S+a6cosC,

•••a2=——absinC+abcosC,BPa=——bsinC+bcosC,

3