幂函数与二次函数（4题型分类）-2025年高考数学一轮复习

专题05嘉函数与二次函数4题型分类

彩题如工总

题型4：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题题型1:募函数的定义及其图像

专题05募函数与二次函数

4题型分类

题型：二次方程的实根分布及条件题型：幕函数性质的综合应用

37V2

彩先正宝库

1、幕函数的定义

一般地，y=x"(aeR)(。为有理数)的函数，即以底数为自变量，暴为因变量，指数为常数的函数称为幕

函数.

2、幕函数的特征：同时满足一下三个条件才是幕函数

①r的系数为1;②/的底数是自变量；③指数为常数.

(3)幕函数的图象和性质

3、常见的幕函数图像及性质:

23二/

函数y=xy=xy=xy=%2y

y

V1VkV

L

图象

7p7V0X

定义

RRR{x|x>0]{九|尤w0}

域

值域R{yly"}R3”。}3"。}

奇偶

奇偶奇非奇非偶奇

性

单调在R上单调在(-00,0)上单调递减，在在R上单调在［0,+00)上单在(-00,0)和(0,+00)

性递增(0,+8)上单调递增递增调递增上单调递减

公共

(1,1)

点

4、二次函数解析式的三种形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c{a0)；

(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a^0)；其中，(利,力)为抛物线顶点坐标，工=机为对称轴方程.

(3)零点式：f(x)=a(x-%；)(x-x2Xa^0),其中，占,三是抛物线与头轴交点的横坐标.

5、二次函数的图像

h

二次函数/。)=62+法+式。*0)的图像是一条抛物线，对称轴方程为了=-9,顶点坐标为

2a

b4ac-b2

(1)单调性与最值

①当4>0时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(-叫-白］上递减，在［-丁,+8)上递增，当X=-二时,

2a2a2a

AAh

②当a<0时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(-8,-二］上递增，在［-丁,+s)上递减，当彳=-丁时,

2a2a2a

4ac-b2

fM

4a

V

(2)与％轴相交的弦长

当A=〃2一4〃°>0时，二次函数/(%)=依2+bx+c(QWO)的图像与X轴有两个交点加\(%,0)和加2(电,0),

I|=|石—々|~](再+々)2-43%2=~~~•

'\a\

6、二次函数在闭区间上的最值

闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.

对二次函数人/二^^+云+汽〃。。)，当a>0时，/(%)在区间［p,q］上的最大值是V,最小值是加，令

h

(1)若-丁4p,^\m=f(p),M=f(q)；

2a

bb

(2)右p<-不<尤。,贝！l〃z=/(-丁),M=/(q);

2a2a

hb

(3)^x<--<q,贝!|加=/(-丁),M=/(p)；

02a2a

b

(4)右一丁Ng,则>=/(q),V=/(p).

2a

彩”秘籍

(一

幕函数的定义及其图像

1、基函数y=x"(aeR)在第一象限内图象的画法如下：

①当。<0时，其图象可类似y=。画出；

②当0<0<1时，其图象可类似y=?画出；

③当”>1时，其图象可类似y=V画出.

彩3籍（二

塞函数性质的综合应用

函

y二Jy二d-1

y=兀y=y=x

数

y

图VVVV

TV0X

象

定

义RRR{x|x>0}{%|xw0}

域

值

R{yl?>o)R{y|”0}3"。}

域

奇

偶奇偶奇非奇非偶奇

性

单

在R上单调在（田，0）上单调递减，在在R上单调在［0,+8）上单在（ro,0）和（0,+oo）

调

递增（0,+与上单调递增递增调递增上单调递减

性

公

共(1,1)

点

题型2:赛函数性质的综合应用

2-1.（2024高一上•上海杨浦•期末）已知。"-2,-1,-就,1,2,31，若事函数〃x）=x"奇函数，且在（0,+功

上为严格减函数，则。=.

22（2024高三上咛夏固原•期中）已知函数/。）=（疗-2*2）/7是基函数，且在（0,+向上递减，则实

数机=（）

A.-1B.T或3C.3D.2

2-3.（2024•海南•模拟预测）已知〃x）=（疗+机-5）廿为幕函数，则（）.

A.f（x）在（-8,0）上单调递增B.在（-8,0）上单调递减

C./（X）在（0,+8）上单调递增D./（力在（。,+8）上单调递减

2

2-4.（2024・江苏）已知y=/（x）是奇函数，当归0时，〃力=/，则於8）的值是—.

2-5.（2024高三•全国•课后作业）已知事函数“X）=/H-3（加为正整数）的图像关于>轴对称，且在（0,+8）

上是严格减函数，求满足（a+1）与>（3-2”。的实数0的取值范围.

彩健题秘籍（二）

二次方程加+区+。=0（"工0）的实根分布及条件

一般情况下需要从以下4个方面考虑：

b

（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴x=-丁与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.

2a

题型3：二次方程的实根分布及条件

3-L（2024高三.全国•阶段练习）方程尤2+（〃2-2）》+5-机=0的一根在区间（2,3）内，另一根在区间（3,4）内,

则”，的取值范围是（）

A.（—5,-4）B.C.]—个厂,JD.（—5,-2）

3-2.（2024高三.全国.专题练习）关于x的方程依2+g+2）x+9a=0有两个不相等的实数根为,三，且

x1<1<x2,那么。的取值范围是（）

222

A.——<a<—B.a>—

755

22

C.av—D.------<a<0

711

3-3.（2024高一.江苏.课后作业）设〃为实数，若方程f―2奴+々=0在区间（TD上有两个不相等的实数解,

则。的取值范围是（）.

A.(-oo,0)u(l,+oo)B.(-1,0)

C.1一;,0)D.1-g,o］u(L+8)

彩做题祕籍

(四)

二次函数"动轴定区间”、"定轴动区间”问题

(1)要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题一一动轴定区间和定

轴动区间，解法是抓住“三点一轴"，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴

与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿

过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系)，从而对参数值的范围进行讨论.

(2)对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.

题型4:二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题

4-1.(2024高一上•海南•期中)己知g(x)=f-26+1在区间［1,3］上的值域为［0,4］.

⑴求实数。的值；

⑵若不等式g(2。-h4,20当xe［l,+e)上恒成立，求实数人的取值范围.

4-2.(2024・浙江)设函数/。)=*2+依+伍(4,匕€7?).

2

(1)当6=2+1时，求函数,⑺在［-1J上的最小值g(。)的表达式;

4

(2)已知函数〃盼在［-1,1］上存在零点，OWb-2aWl,求b的取值范围.

4-3.(2024高一上•海南•期末)已知函数g(x)=ox2-26+1+6①工。力＞0)在区间［，2］上有最大值2和最小

值L

⑴求。力的值;

(2)不等式g(x)-丘之。在xe［1,2］上恒成立，求实数上的取值范围；

(、

⑶若〃力=迎?匚且方程川2，-1*=0有三个不同的实数解，求实数r的取值范围.

4-4.(2024•浙江)已知函数/(x)=f+依+b(a,beR),记知(。力)是在区间［-1,1］上的最大值.

(1)证明：当时22时，M(a,b)N2；

(2)当♦满足加3,力42,求同+网的最大值.

45(2024高一上•浙江•阶段练习)已知函数"x)=T|x—a|+l.

(1)当a=2时，解方程〃x)=0；

(2)当ae［0,5］时，记函数y=/(x)在xe［l,4］上的最大值为g(a),求g(a)的最小值.

炼习与桎升

一、单选题

1.(2024高一•全国・假期作业)关于x的方程%2+2(m-l)%+m2-m=0有两个实数根a,广，且M+夕=12,

那么m的值为()

A.-IB.-4C.T或1D.T或4

2.(2024•山东)关于函数y=—三+2兀，以下表达错误的选项是()

A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线x=l

C.函数的单调递减区间是D.函数图象过点(2,0)

3.(2024•浙江)若函数f(x)=x2+ax+Z7在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是m,则M-机的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

x2,x>0,

4.(2024.新疆阿勒泰.三模)己知函数则函数/(无)=1g(x)=/(r),则函数g(x)的图象大致是()

一,%<0,

AB\.

。1、x0\^-x

5.（2024・湖南娄底•模拟预测）已知函数詈在区间上单调递增，则实数。的取值范围

是（）

A.（F-2）。（0,3）B.(-®-2)u(O,3]

C.(^o,-2)u(0,10)D.(^o,-2)u(0,10]

6.（2024.海南•模拟预测）已知函数y=y=b',y=log,x的图象如图所示，贝U（）

B.eh<ea<ec

C.ea<eb<e'D.eb<ec<ea

一x—4x龙〉0/、

7.（2024高一上•宁夏吴忠•阶段练习）已知函数"》）=I?'一，若/（2-则实数。的取

IJi%〈U

值范围是（）

A.（^o,-l）U（2,+°°）B.（-10C.（—2,1）D.（^o,—2）|J（1,+oo）

8.（2024高三.河北.专题练习）设八0,二次函数>=加+"+〃2_1的图象为下列之一，则。的值为（）

x2—2ax+9,x<1,

9.（2024高三下.河南新乡.开学考试）已知函数/（%）=2若/（力的最小值为6,则实数。的

2x+-----,x>l,

、x—1

取值范围是（）

A.[1,2]B.[-73,3]C.[-73,2]D.[-2,2]

10.（2024・全国•模拟预测）已知无，>eR,满足（x-l）?期+犬=|,（2y+l）2023+2y=-|,则x+2y=（）

A.-1B.0C.1D.2

11.（2024・贵州毕节・二模）已知<1,«2<1,则实数。的取值范围为（）

12.（2024高三•全国•专题练习）已知a,b,cRR,函数/（次尸0+法+心若/⑼=/（4）>f（1）,则（）

A.a>0,4。+/?=0B.〃<0,4。+/?=0

C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0

13.（2024•浙江）已知函数f（x）=x2+bx,则“bVO”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.（2024高三.全国・专题练习）如果函数“同=（（，”-2）尤2+（“_8）彳+1（〃地0箱20）在区间：,2上单调

乙_乙

递减，则，加的最大值为（）

A.16B.18C.25D.—

2

15.（2024•陕西）对二次函数/（工）=以2+法+。（。为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且

仅有一个结

论是错误的，则错误的结论是

A.-1是“X）的零点B.1是的极值点

C.3是AM的极值D•点（2,8）在曲线y=/（无）上

16.（2024・四川乐山•一模）已知哥函数/。）=下和g（x）=xj其中a>£>0,则有下列说法:

①/⑺和g（x）图象都过点（1,1）；

②f（x）和g（x）图象都过点（-1,1）;

③在区间口,+°°）上，增长速度更快的是/（X）;

④在区间口,+⑼上，增长速度更快的是g（x）.

则其中正确命题的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

17.（2024.河北衡水.模拟预测）已知哥函数/（x）=/+m是定义在区间［一1,诩上的奇函数，则〃/+1）=（）

A.8B.4C.2D.1

18.（2024•北京东城•一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）

A.y=lnxB.y=exC.y=x3D.y=-

X

二、多选题

19.（2024•江苏•模拟预测）若函数且国〈尤2，则（）

B.王一/（菁）>々一/（々）

C-〃止马<〃%）一玉D.

20.（2024•吉林长春•模拟预测）已知基函数/（x）=x"图像经过点［3,"］,则下列命题正确的有（）

A.函数Ax）为增函数B.函数f（x）为偶函数

.若。<西小，则詈）

C.若%>1,则/（x）>lD&J7sd

21.（2024高一上•重庆•阶段练习）已知关于x的方程N+g—3次+小=0,下列结论正确的是（）

A.方程x2+（m—3）x+m=0有实数根的充要条件是［m\m<l或m>9}

B.方程/+（加-3）4+根=0有一正一负根的充要条件是{m\m<0］

C.方程/+（机-3）x+m=0有两正实数根的充要条件是me{m|0<m<l}

D.方程/+（加-3）X+m=0无实数根的必要条件是［m\m>l}

22.（2024高一上糊南长沙•期中）设二次函数）=/-4尤+。的值域为［0,+功，下列各值（或式子）中一

19

定大于由+巧的有（）

2931

A.B.

2525

2

2m+2—

C.—n+2〃+8,〃£[—2,2]D.I-,AHGR

+1

三、填空题

23.（2024高一上•全国•期末）已知幕函数〃力=（/-3机+3）尤"的图象关于原点对称，则满足

（。+1『>（3-2a）'"成立的实数a的取值范围为.

24.（2024高一上.四川眉山・期中）下面命题：①察函数图象不过第四象限；②y=x°图象是一条直线；③若

函数＞=2'■的定义域是｛x|x4。｝,则它的值域是31钊；④若函数y=g的定义域是｛x|x＞2｝,则它的值

域是⑤若函数y=V的值域是｛y|0WyW4｝,则它的定义域一定是｛x|-2VxW2｝.其中不正确

命题的序号是.

25.（2024高三上•河北衡水・周测）已知/（尤）=/,g（无）=（：）一机，若对％e［-l,3］,3x2e［0,2］，/（占）08（三）,

则实数加的取值范围是.

26.（2024高三上•福建三明•期中）已知＜1，揖＜1,则实数。的取值范围是

27.（2024高三下•上海嘉定•阶段练习）已知函数/（%）="：苍'"，若函数〃x）的值域为R,则实数。的取

［x,x＞a

值范围为.

）

28.（2024高三.全国.专题练习）不等式（d-1『"+铲22+2/一140的解集为：.

1

29.（2024高一上•全国•课后作业）已知事函数〃x）=K，若/（aT）＜〃8-2a）,则a的取值范围

是.

30.（2024•上海闵行•一模）已知二次函数〃x）=ar2+x+a的值域为［②（，则函数g（x）=2*+a的值域

为.

31.（2024・贵州毕节•模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数f（x）=.

①广（x）〈。在R上恒成立；②;㈤是偶函数;③〃可/）+〃占）/伍）=0.

32.（2024•新疆阿勒泰•一模）已知二次函数〃同=加+法（a,b为常数）满足〃尤-1）=/（3-尤），且方

程〃x）=2x有两等根，/（X）在［0刃上的最大值为g⑺，则g⑺的最大值为.

33.（2024・湖北）。为实数，函数/（x）=|V-ax|在区间［0,1］上的最大值记为〃⑷.当。=时，〃（。）的

值最小.

四、解答题

34.（2024高三下•上海浦东新•阶段练习）已知〃尤）=ar2+26x+4c（a,6,cwR）.

(1)若/(0)=T，a+2b=G,解关于云的不等式/(元)<(a+l)x—3；

⑵若a+c=O,在［-2,2］上的最大值为：，最小值为-g,求证：:卜2.

35.(2024高一下•贵州黔东南•开学考试)已知函数〃x)是定义在［-2,2］上的奇函数，且xe(0,2］时，

/(X)=2r-1,g(x)=j^-2x+m.

⑴求“X)在区间［-2,0)上的解析式；

(2)若对％e［-2,2］,则居e［-2,2］,使得/6)=g5)成立，求机的取值范围.

36.(2024高一上•河南平顶山•期末)已知函数〃彳)=3,-3-1

(1)利用函数单调性的定义证明/(尤)是单调递增函数；

⑵若对任意尤［〃尤)1+时0)2-4恒成立，求实数机的取值范围.

37.(2024高一上.贵州毕节・期末)已知函数/(x)=XZ-2办(。>0).

(1)当“=3时，解关于尤的不等式一5<〃尤)<7；

⑵函数>=/(尤)在