幂的运算压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题02塞的运算压轴题四种模型全攻略

【类型一混合运算问题】

例1.计算：

(1)(-X2)54-X+2x6-X3;

⑵(9壮3一27//)十(3肛)2.

【答案】⑴，

(2)y-3x

【解析】

【分析】

(1)先计算乘方，再计算除法，最后合并，即可求解；

(2)先算乘方，再算除法，即可求解.

(1)

解：原式=一一7+

=-x9+2x9

=X9;

⑵

原式=(9x2y3-27x3y2)+9xzy2

=9x2y3<9x2y2-27Fy1+9//

=y-3x.

【点睛】

本题主要考查了累的混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握幕的混合运算法则，多项式除以单项式法则

是解题的关键.

【变式训练1】计算

(1)2'-(兀-3)°+1]-(-2厂.

(2)(15^y-10x4/-20xV)-(5xy).

35

【答案1(1)-;(2)39-2xy^—4

【解析】

【分析】

(1)根据有理数的乘方，零次暴，负整指数幕，进行计算即可;

(2)根据多项式除以单项式进行计算即可.

【详解】

⑴2;(兀一3)。+［；］一(-2厂

=8-1+2--

4

_35

一彳

(2)(15x3_y5-10x4y4-20x3y2^^5x3y2^

=5x3y2(3y3-2xy2-4)4-5x3y2

=3/-2xy2-4

【点睛】

本题考查了有理数的乘方，零次幕，负整指数幕，多项式除以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键.

【变式训练2】计算：

⑴d+(-叫3；

⑵(打R)L(_4；

⑶5-4)4-(4-0)"-4)2•

【答案】⑴0

⑵--

⑶-(P-4

【解析】

【分析】

(1)根据同底数赛的乘法和哥的乘方以及合并同类项的计算法则求解即可;

(2)根据幕的乘方和同底数幕的除法计算法则求解即可；

(3)根据同底数募的乘除法计算法则求解即可.

(1)

解：a2-a4+(-a2)3

=/+(一(/)

=a6—a6

=0；

⑵

⑶

解：(p-q)4Xq-pY,(p-qY

=(q-p)=(q-pY<q-p¥

=(q-。)3

=_(,一4.

【点睛】

本题主要考查了嘉的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键.

【变式训练3】计算：

4

(1)(ab)^ab；(2)-产、尸；(3)[-%]:(-0.25可；

(4)[(-5加〃)6+(-5加")']；(5)(x-y)8x)4-(x-y).

【答案】(1)a3b3;(2)—y3m~"~4•(3)——x6；(4)625加案1(5)(x—j)5.

64

【解析】

【分析】

(1)先计算同底数累的除法，然后计算积的乘方即可；

(2)利用同底数幕的除法计算法则求解即可；

(3)先得到1-92[+(_0.25/)2=1£|.”一24,然后利用同底数幕的除法计算法则求解即可;

(4)先计算同底数幕的除法，然后计算积的乘方即可；

(5)直接根据同底数幕的乘除法计算法则求解即可.

【详解】

解：⑴(ab)44-ab

=(。叱

=a3b3;

(2)一/%3+/+1

,3m-3-n-l

=-y

3m—n—4

=-y

(4)[(-5刃〃)6+(-5机“A]

=[(-5加]

=(25m2n2)

=625m4w4;

(5)(x-y)8+(y-x)4-(x-y)

=(x-y)4-(x-y)

=(x-y)5.

【点睛】

本题主要考查了同底数幕的乘除法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.

【类型二塞的运算逆用问题】

例2.(1)已知3x9〃?x27加=3”,求加的值.

(2)已知2。=3,4(=5,Sc—5,求8a*c-26的值.

27

【答案】(1)加=2.(2)—

【解析】

【分析】

(1)直接运用同底数幕的乘法法则以及暴的乘方法则计算即可；

(2)利用同底数幕的乘除法则以及幕的乘方法则将原式变形即可.

【详解】

(1)•.-3x9mx27ffl=3x32mx33m=31+5m=3U,

1+5/n=11,解得m=2；

(2)V2-3,4〃=5,8°=5,

3c2i333

...8"+c®=22+。3)=23«X2-(2)=3x5-i-5=||.

【点睛】

本题主要考查同底数暴的乘除法法则和暴的乘方的运算法则，熟练地掌握相关的运算法则是解题的关键.

【变式训练1](1)已知3x+5y=4,求8工-25,的值.

(2)已知3x9"x27"'=3?i,求加的值.

【答案】(1)16；(2)m=4

【解析】

【分析】

(1)逆运用幕的乘方和同底数幕的乘法变形后，将3x+5y=4代入求解即可；

(2)等式的左边逆运用幕的乘方和同底数幕的乘法变形后，根据底数相同指数相同的两个数相同可得加的

方程求解即可.

【详解】

解：⑴3x+5j=4,

8125y=23X♦2”=23x+5y=24=16；

(2)■.-3x9mx27m=321,

.■.3x32mx33m=321,即35"=321,

.■.5m+\-21,解得机=4.

【点睛】

本题考查塞的乘方运算和同底数幕的乘法.熟练掌握公式，并能逆运用是解题关键.

【变式训练2](1)己知4根=°,8"=6,用含a,6的式子表示下列代数式：

①求：22m+3n的值

②求：2,加-6”的值

(2)已知2X8XX16=223,求x的值.

2

【答案】⑴①仍，②会(2)x=6

【解析】

【分析】

(1)①根据题意分别将4加，8〃化为底数为2的形式，然后代入求解；②根据题意分别将4加，8〃化为底

数为2的形式，然后代入求解

(2)由题意将8x化为23方将16化为2%列出方程求出x的值.

【详解】

解：(1)v4m=tz,Sn=b,

23

•'-2m=af2n=bf

①22加+3〃=22加吗?〃=〃/7；

2

②2%-6几=24加+26〃=(22m)2+(23〃)2=~^?

(2)v2x8xxl6=223,

・・・2x⑵)XX24=223,

.--2X23XX24=223,

.*.1+3X+4=23,

解得：x=6.

【点睛】

本题考查同底数塞的除法以及塞的乘方和积的乘方，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键.

【变式训练3](1)己知"=工a=3,求亡3”的值.

(2)已知:”=3,求—+(2x")(-5/)的值.

(3)已知3x+5y=4,求8，・25•"的值.

(4)已知3x9，x27"=3巴求加的值.

4

【答案】(1)—；(2)-261：(3)16；(4)加=4

【解析】

【分析】

(1)根据幕的除法运算法则再逆用幕的乘方即可求解；

(2)利用幕的运算法则都化成底数为N”的形式，即可求解；

(3)把8x化成底数为2的幕的形式，再利用同底数幕的乘法法则计算即可；

(4)都化成底数为3的幕的形式，再利用同底数基的乘法法则计算得到关于加的一元一次方程，再解即

可.

【详解】

解：(1)(1)vam=2,an=3,

22"_(«™)2_22_4

...a=-：—=----=-7-=—；

«3"(叫33327

(2)'-'x2n=3,

.­.x4,,+(2x")(-5x5n)

=(x2")2-10(x2f1)3

=32-10x33

=-261.

(3)3x+5y=4,

8-v-25y=23X-25y=23x+5y=24=16：

(4)•.•3x9mx27ra=321,

.■.3x32mx33m=321,即3一+1=3%,

5w+1=21,解得m=4.

【点睛】

本题考查了同底数稚的乘法、塞的乘方的计算方法，根据式子的特点，灵活变形解决问题.

【类型三新定义型问题】

例3.如果ac=6,那么我们规定(a,b)=c.例如；因为23=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定填空：(3,27)=，(4,1)—,(2,0.25)=；

(2)记(3,5)—a,(3,6)—b,(3,30)—c.判断a,6,c之间的等量关系，并说明理由.

【答案】(1)3,0,-2；(2)a+b=c,理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)直接根据新定义求解即可；

(2)先根据新定义得出关于a,b,c的等式，然后根据嘉的运算法则求解即可.

【详解】

(1)V33=27,

•••(3,27)=3,

•••40=1,

:.(4,1)=0,

.22=；,

・•・(2,0.25)=-2.

故答案为：3,0,-2；

(2)a+b=c.

理由：•・•(3,5)—a,(3,6)=b,(3,30)=c,

••・3〃=5,36=6,3。=30,

•••3ax36=5x6=3c=30,

•••3ax3b=3c,

••a^b=c.

【点睛】

本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键，本题也考查了有理数的乘方、同底数

哥的乘法运算.

【变式训练1】规定两正数。，6之同的一种运算，记作E(a,b),如果不=6,那么£(a,b)=c.例如23=

8,所以E(2,8)=3

(1)填空：团3,27)=,£(；，［］=

(2)小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3",4〃)=E(3,4)小明给出了如下的证明：设£(3",4〃)=无，

即(3"户=4",即(3",4")=4",所以y=4,E(3,4)=x,所以E(3",4")=E(3,4),请你尝试运用这种方法说

明下面这个等式成立：£(3,4)+£(3,5)=£(3,20)

【答案】(1)3；4；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据规定的两数之间的运算法则：知33=27,［：)=，，从而可得答案；

(2)设E(3,4)=x,E(3,5)=y,根据定义得：3、=4,3,=5,利用同底数累的乘法可得答案.

【详解】

解：⑴•••33=27,

-.E(3,27)=3；

故答案为：3；4；

(2)设£(3,4)=x,E(3,5)=y,

则3才=43'=5,

.-.3x+>=3'・3>=4x5=20,

­■E(3,20)=x+y,

:.E(3,4)+E(3,5)=E(3,20).

【点睛】

本题是利用新定义考查嘉的运算的逆运算，掌握塞的运算，同底数幕的乘法运算是解题的关键.

【变式训练2】一般地，若a"=b(。>0且。工1,6>0),则〃叫做以。为底6的对数，记为1。&6,即

logab=n.譬如：3,=81,则4叫做以3为底81的对数，记为logsgl(gplog381=4).

(1)计算以下各对数的值：log?4=,log216=,log264=.

(2)由(1)中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出log?4、bg216、k)gz64满足的等量关系

式；

(3)由(2)猜想一般性的结论：log”初+log,N=.(。>0且awl,M>0,N>0),并根据累的运

算法则：aM-aN^aM+N以及对数的含义证明你的猜想.

【答案】(1)2,4,6；(2)log24+log216=log264；(3)猜想：logaAf+logoNulog/ACV),证明见解

析.

【解析】

【分析】

(1)根据材料中给出的运算，数值就是乘方运算的指数；

(2)由(1)可以得出；

(3)根据(2)可以写出，根据材料中的定义证明即可.

【详解】

(1)log,4=2,log216=4,log264=6

(2)log24+log216=log264

(3)猜想：log,M+log,Nnlog,GW)

b2

证明：设log“M=4，logaN=b2,则a=N,

故可得=/•卢=i,4+d=log.(ACV),

即log.M+log.N=log.(MN).

【点睛】

本题考查对阅读材料的理解，类似于定义新运算，需要根据已知的材料寻找规律.

【变式训练3】规定两数°,6之间的一种运算，记作(见6),如果则(a,6)=c.我们叫(见为为"雅

对”.例如因为2,=8,所以(2,8)=3.我们还可以利用“雅对”定义说明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)成立.证明

如下：

设(3,3)=〃?,(3,5)=〃，则3"=3,3"=5,

故3"‘3=3"""=3x5=15,

则(3,15)=m+n,

即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根据上述规定，填空：(2,0.25)=；(5,1)=；(—,16)=4.

(2)计算(5,2)+(5,7)=,并说明理由.

(3)利用“雅对”定义证明：(2",3")=(2,3),对于任意自然数〃都成立.

【答案】(1)-2,0,2；(2)(5,14)；(3)见解析

【解析】

【分析】

(1)根据上述规定即可得到结论；

(2)设(5,2)=x,(5,7)可，根据同底数嘉的乘法法则即可求解；

(3)设(2/7,3〃)=x,于是得到(2«)x=3〃，即(2x)〃=3〃根据"雅对"定义即可得到结论.

【详解】

解:(1)•.•2-2=0.25,

•••(2,0.25)=-2；

(5,1)=0；

•••24=16,

(2,16)=4,

故答案为：-2,0,2；

(2)设(5,2)=x,(5,7)=y,

则5x-2,5y=7,

:5x+y=5x•5y=14,

•••(5,14)=x+y,

(5,2)+(5,7)=(5,14),

故答案为：(5,14)；

(3)设(2〃，3")=x,则(2M)x-3n,即(2x)n-3n,

所以2x=3,即(2,3)-x,

所以(2〃，3”)=(2,3).

【点睛】

此题考查了有理数的运算，幕的乘方，同底数幕的乘法，弄清题中的新运算是解本题的关键.

【类型四比较大小问题】

例题4.比较下列各题中塞的大小：

(1)己知a=8P,6=27*4=961,比较a、b、c的大小关系;

(2)比较255,3〃,533,622这4个数的大小关系；

OO91I9

(3)已知尸=4,0=炉，比较P,。的大小关系；

ss

【答案】(1)a>b>c；(2)2<6-<3**<5»；(3)P=Q

【解析】

【分析】

(1)根据幕的乘方公式，化为底数是3的形式进行比较；

(2)根据幕的乘方公式，化为指数是11的形式进行比较；

(3)利用作商法，结合积的乘方法则计算，根据结果判断.

【详解】

解：(1)­.­«=8131=(34)31=3124,

（2）255=（25）"=3211,

344=（34）'1=81n,

533=（53）"=125",

622=（6?）"=36",

V32"<36"<81"<125",

/.255<622<344<533；

、P99911999999099xll9990,

"Q~9"'9909"ll9-9"—，

■■P=Q.

【点睛】

本题考查了幕的乘方和积的乘方，灵活运用运算法则是解题的关键.

【变式训练1】将哥的运算逆向思维可以得到4""=八优，*=(优')"，优"=(")"',在

解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幕的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获

解.

门俨1

⑴52021x1=；

(2)若3x9"'x27叫=3”,求加的值；

(3)比较大小：a=255,6=344,。=5%]=6?2,则0,的大小关系是什么？

(提示：如果a>b>0,"为正整数，那么a">6")

【答案】(1)1；(2)m=2；(3)a<d<b<c.

【解析】

【分析】

(1)根据积的乘方公式，进行逆运算，即可解答；

(2)转化为同底数累进行计算，即可解答；

(3)转化为指数相同，再比较底数的大小，即可解答.

【详解】

解：(1)52021X(1)202I=(5X1)202I=1202I=1

故答案为：1

(2)•••3x9ff!x27"'=3",

，3X(32『X(337=3U,

•••3x32fflx33m=3U,即31+2m+3m=3n,

.■-1+2m+3w=11,解得机=2；

(3)由题可得：a=255=(25)"=32n,/,=344=(34)"=8111,c=533=(53)"=12511,</=622=(62)"=3611,

■,•32<36<81<125,

.'.3211<36"<81"<125",

即a<d<6<c.

【点睛】

本题考查了哥的乘方和积的乘方，解决本题的关键是公式的逆运用.

【变式训练2】阅读材料，解决问题.

材料一:比较322和4”的大小.

解：因为4U=Q2)"=222,而3>2,所以322>222,即3??>4”.

小结：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个累的大小.

材料二：比较28和82的大小.

解：因为82=(巧2=26,而8>6,所以28>2%即28>82.

小结：在底数相同的情况下，可以通过比较指数的大小，来确定两个累的大小.

⑴比较33433,522的大小:

(2)比较8P,27*,961的大小.

【答案】(1)344>433>522；(2)8131>2741>961

【解析】

【分析】

(1)根据幕的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小；

(2)根据幕的乘方法则的逆运算进行变形，再比较大小.

【详解】

解：(1)V344=(34)1J813

433二(43)11=64”,

522=(52)1J253

••-81>64>25,

.-.8111>6411>2511,

即344>433>522；

(2)V8131=(3D31424,

2741=(33)保3123,

961=(32)61=3122,

•••124>123>122,

,，3124>3123>3122,

即8131>2741>9吗

【点睛】

本题考查幕的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法.

【变式训练3】在学习了〃幕的运算法则〃后，经常遇到比较幕的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决

方法，一种是将新化为底数相同的形式，另一种是将幕化为指数相同的形式，请阅读下列材料：

若/=2,^5=3,则〃，b的大小关系是〃b(填〃<〃或〃>〃)；

解：・.・储5=(/)5=25=32,85=仅5)3=33=27,且32>27

?.a15>bi5

：.a>b

类比阅读材料的方法，解答下列问题：

(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幕的运算性质.

A.同底数幕的乘法；B.同底数幕的除法；C幕的乘方；。积的乘方

(2)试比较8产、27如、9"的大小;

【答案】(1)C；(2)8131>2741>961

【解析】

【分析】

(1)根据幕的乘方法则判断即可；

(2)根据幕的乘方法则的逆运算计算.

【详解】

解：(1)求解过程中，逆用了幕的乘方运算，

故选C;

.■-8131>2741>961.

【点睛】

本题考查了幕的乘方的运算及逆运算，解题的关键是熟练掌握幕的乘方的运算法则及逆运算法则.

【课后训练】

1.计算：|-i|+（5-^）°-（-1r2+（-i）2021.

【答案】-8

【解析】

【分析】

先根据绝对值的性质，零指数幕，负整指数幕，负一的奇次幕运算法则进行计算，再根据有理数加减法法

则进行计算即可求解.

【详解】

解：原式=1+1-9-1,

=-8.

【点睛】

本题主要考查绝对值的性质，零指数幕，负整指数幕，负一的奇次幕运算法则，解决本题的关键是要熟练

掌握对值的性质，零指数幕，负整指数幕，负一的奇次幕运算法则.

2.计算：（一1产。+（无

【答案】-2

【解析】

【分析】

先算乘方，零指数哥和负整数指数塞，再算加减法即可求解.

【详解】

原式=1+1-4

=-2.

【点睛】

本题主要考查实数的混合运算，掌握零指数幕和负整数指数嘉的性质是解题的关键.

3.规定a*6=3"x3J求：

(1)求1*2；

(2)若2*(x+l)=81,求x的值.

【答案】(1)27；(2)x=l

【解析】

【分析】

(1)根据规定即可完成；

(2)根据规定及幕的运算，可得关于x的方程，解方程即可.

【详解】

(1)-：a*b=rx3b,

.-.1*2=31X32=3X9=27;

(2),.,2*(x+l)=81,

,-.32X3-V+1=34,

3川=34

则x+3=4,

解得：x=l.

【点睛】

本题是新定义运算问题，考查了同底数塞的运算，解方程等知识，理解新定义运算是解题的关键.

4.规定a*6=2"x2J求：

(1)求1*3

(2)若2*(2x-l)=32,求x的值.

【答案】(1)16；(2)%=2

【解析】

【分析】

(1)直接利用已知a*6=2"x2J将原式按定义式变形得出答案；

(2)直接利用已知将原式变形得出等式，再利用同底数幕相等指数相等列方程求出答案即可.

【详解】

解：⑴1*3=21x23=16；

(2)v2*(2x-l)=32,

2

•••2X22*7=25

.^2x+l_25

2%+1=5

x-2.

【点睛】

本题主要考查了新定义运算以及同底数基的乘法运算，正确的将原式按照定义式变形是解题的关键.利用

同底数幕的乘法法则时应注意：底数必须相同；指数是1时，不要误以为没有指数.

5.(1)已知：屋=一2,a"=5,求a"""的值；

(2)已知:x+2y+l=3,求3"x9〉x3的值.

【答案】(1)-10；(2)27

【解析】

【分析】

(1)逆用同底数募的乘法法则计算即可；

(2)利用哥的乘方法则和同底数暴的乘法法则变形，然后把x+2方2代入计算

【详解】

解：(1)■■-am=-2,a"=5,

■-am+"=a'n-a"=-2x5=,

(2)1,•x+2j+1=3,

■'-x+2y=2,

■■Vx9vx3=Yx32yx3=3x+2y+1=寸=27；

【点睛】

本题考查了幕的运算，熟练掌握哥的运算法则是解答本题的关键.同底数的幕相乘，底数不变，指数相加;

幕的乘方，底数不变，指数相乘.

6.规定两个非零数。，6之间的一种新运算，如果优"=6,那么。A6=加.例如：因为52=25,所以5A25=

2；因为5。=1,所以5A1=0.

(1)根据上述规定填空：2人32=；-3A81=.

(2)在运算时，按以上规定请说明等式8A9+8人10=8八90成立.

【答案】(1)5,4；(2)说明见解析.

【解析】

【分析】

(1)结合新定义运算及有理数的乘方运算法则分析计算；

(2)结合新定义运算及同底数幕的乘法运算法则进行分析说明.

【详解】

解：⑴•••25=32,

二2八32=5,

(-3)4=81,

•••-3A81=4,

故答案为：5；4；

(2)设8A9=a,8A10=6,8A90=C,

:8。=9,86=10,8c=90

.,.8ax86=8〃6=9x10=90=8c,

■,-a+b=c,

即8A9+8A10=8A90.

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握有理数乘方运算法则，同底数基的乘方运算法则是解题关键.

7.如果那么我们规定(。，6)=c.例如：因为2,=8,所以(2,8)=3.

(1)根据上述规定，填空：(4,16)=,(2,32)=.

(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证：a+b=c.

【答案】(1)2,5；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由新定义设(4』6)=x,可得4,=16,从而可得答案，同理可得(2,32)的结果;

(2)由新定义可得3"=5,3〃=6,3。=30,从而可得3%3〃=3*=30,从而可得3"〃=3°,从而可得结

论.

【详解】

解：⑴Q(a,b)=c,

ac=b,

设(4,16)=x,

4*=16=42,

..x-2,

.“4,16)=2,

设(2,32)=%

2y=32=25,

y=5,

.1(2,32)=5.

故答案为：2,5.

(2)证明：根据题意得：

3"=5,3=6,3。=30

V5x6=30

•••3"-36=3°贝1]3"=3°

■■a+b—c.

【点睛】

本题考查的新定义情境下幕的运算，弄懂新定义的含义，掌握同底数累的乘法，幕的含义是解题的关键.

8.计算：

22

(1)-2+(-)--27°;

(2)X2-X6-(-2/)2+5X134-X5

(3)(a-b)2，S-a)'M-(a算6)1；

⑷先化简，再求值：[5/./_(3力2+(吟3卜(_2/)2,其中。=一5.

【答案】⑴-1

(2)2左

⑶”)4

(4)-a2,—25.

【解析】

【分析】

(1)先根据零指数幕，负整数指数稚计算，再合并即可求解；

(2)先算累的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解；

(3)把作为一个整体，从左往右计算，即可求解；

(4)先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解.

(1)

解：原式=-4+4-1

=-1;

⑵

原式=/-4x$+5x'

=(1-4+5)?

=2x8；

⑶

原式=_(。—b)2(a—b)5-[—(a—b)3]

=(a-b)4.

⑷

原式=(5--犷+叫+4-

=-4。6+4。4

=-a2，

当。=一5时，原式=-25.

【点睛】

本题主要考查了募的混合运算，零指数累，负整数指数幕，熟练掌握累的运算法则，零指数暴，负整数指

数幕法则是解题的关键.

9.若d"=a"且4/1,m、”是正整数)，则加=〃.利用上面结论解决下面的问题：

(1)如果2+8，・16,=2§,求x的值；

(2)如果2"+2由=24,求x的值；

(3)若x=5"-3,7=4-25"",用含x的代数式表示y.

【答案】(1)x=4；(2)x=2；(3)y=-x-6x-5

【解析】

【分析】

(1)先,将底数都化为2,再利用同底数暴的乘除法法则计算；

(2)利用积的乘方逆运算解答；

(3)利用等式的性质及幕的乘方逆运算将式子变形为x+3=5*4-y=25m=52m,即可得到x与y的关系

式，由此得到答案.

【详解】

解:(1)•.•2+8*/6*=25,

•••24-23X-24X=25，

:1-3x+4x=5,

解得x=4；

(2)2X+2+2A+1=24,

■■2X-22+2X-2=24，

2*(4+2)=24,

2*=4=2?,

x=2；

(3)•.•尤=5'”-3,»=4-25"1

，.x+3=5"',4-y=25m=52m,

4—y=(x+3)~,

*'•jp=4—(x+3)~=一无~-6无~5.

【点睛】

此题考查整式的乘法公式：同底数累相乘、同底数暴相除、积的乘方以及累的乘方的计算法则，熟记法则

及其逆运算是解题的关键.

10.阅读：已知正整数a、b、c,显然，当同底数时，指数大的累也大，若对于同指数，不同底数的两个塞

/和cJ当时，则有/>cJ根据上述材料，回答下列问题.

(1)比较大小：520420(填写〉、(或=).

(2)比较233与322的大小(写出比较的具体过程).

(3)计算42021XO.252020-82021X0.1252020.

【答案】(1)>;(2)233<322;(3)-4

【解析】

【分析】

(1)根据同指数的幕底数越大塞越大，可得答案；

(2)根据幕的乘方，可得指数相同的幕，根据底数越大累越大，可得答案;

(3)先根据积的乘方逆运算进行运算，再进行减法运算即可得出答案.

【详解】

解：(1)­.•5>4,

,•.520>42%

故答案为：>；

3

(2)•.•233=(2)11=8",322=(32)11=911,

又•.•8<9,

233<322.

(3)42021xO.252020-82021xO.1252020

=(4xO.25)2020x4-(8x0,125产°x8

=4-8=-4

【点睛】

本题考查了哥的乘方以及积的乘方，利用同指数的基底数越大幕越大是解题关键.

11.根据同底数募的乘法法则，我们发现：(其中加，〃为正整数)，类似地我们规定

关于任意正整数加，〃的一种新运算：〃(加+")=力(加)•/?("),请根据这种新运算解决以下问题：

⑴若人(1)=一1,则"2)=；〃(2019)=；

⑵若%⑺=128,求“⑵,刀⑻的值；

⑶若右=4,求刈2)的值；

“4)〃(2)〃(4)力(6)h(2n}

⑷若1y=4,直接写出篇+篇+者+…+"的值.

【答案】⑴1;-1

(2)4；256

(3)4

(4)2'用一2或_0~—

3

【解析】

【分析】

（1）根据/（加+"）=〃（加），（"）即可得至l」/7（2）=〃（l>〃（l）=-lx（-l）=l；由〃（2019）=〃（1+2018）

="1）-〃（2018）即可推出力（2019）="1”7（2）皿4,由此即可得到答案；

（2）根据〃⑺="1）7即可求出〃⑴，再由力（2）=力⑴.秋1）,刈8）=力（1+7）="1），⑺求解即可;

根据〃（4）=〃（2+2）=〃（2）/（2）,黑=4,求解即可；

（3）

刀（2）

（4）^h[2n）=h[n）-h（n）（〃为正整数,/z（"）wO）,得到=〃（〃）,则

n\nj

得n\\）+得用（2）+得/i（3）+…+竽n[n?）="（vD7+'Ovy7+'OvY7+L"1v7）"'从而推出5="?（1）一:⑴再由（3）可以求

出〃（2）=4,则〃⑴=2或41）=-2,由此求解即可.

（1）

解：机+"）=人（"2>〃（〃），

二.〃（2）=h（1）-h（1）=—1x（―1）=1,

.­.A（2019）=A（l+2018）

=/?（!）­//（2018）

=//（1）■A（2）.（2016）

=A（1）-7Z（2）-7Z（2）-/;（2014）

=A（l）.//（2）1014

=-l.（-l）1014

=-1f

故答案为：1;-1;

⑵

解：•・•〃⑺=/7（1）47（6）

=/!（1）■//（1）■//（5）

=A（l）./z（l）./z（l）.7z（4）

.•.〃⑴，=128,

/z⑴=2,

.•.力(2)=〃⑴，(1)=4,A(8)=A(1+7)=A(1)•A(7)=256；

(3)

解：・・・〃(4)=〃(2+2)=〃(2).〃(2),黑=4,

/z(2)=4；

(4)

解：-：h[2n)=h(n)-h{n)(〃为正整数，〃(〃)片0),

“2)J(4)%⑹A(2«)

<(1)〃(2)力(3)h[n}

=A(l)+A(2)+/i(3)+Lh(n)

=/!(l)+/!(l)2+/;(l)3+L〃⑴"

设S=//(l)+/z(lf+〃(iy+L4(i)",贝1]$./7(1)=//(1)2+〃(])3+6(])4+1人

+1

.-.S[/)(l)-l]=7z(l)"-/)(l)

人⑴一⑴

MX'

由(3)可知"2)=4,

%(2)=/?(1+1)=〃⑴,〃⑴=4,

.•加1)=2或"1)=-2,

r\n+\_0

+1

当"1)=2