利用导数研究双变量问题（含新定义解答题）解析版-2025年高考数学一轮复习训练

第07讲利用导数研究双变量问题（分层精练）

B能力提升C综合素养（新定义解答题）

B能力提升

1.（22-23高三上•山东•阶段练习）已知函数/■（x）=e2，,g（x）=x-l,对任意玉eR,存在

X2G（0,+co）,使/（为）=8（%）,则工2-再的最小值为（）.

A.1B.V2

31,一

C.2+ln2D.-+-ln2

22

【答案】D

【分析】令/（%）=g（W）=m>。，将4%都用机表示，从而可将尤2-再构造出关于加的函

数，再利用导数求出函数的最小值即可.

【详解】解：由题意，令/（石）=g（N）=m>0,则e2'=加，x2-l=m,

所以X]=-ln根，x2=m+\,x2-xi=m+l——Inm,

所以〃⑻=14,

令7z(m)=m+1—>0)

令”(m)=0,得根=；,

所以当相《0,；卜寸，/z^m）<0,力（机）单调递减;

当me[；,+oo）时，掰⑺>0,单调递增,

1Q1

所以当加三时，"㈣有最小值尹如2,

31

即％一%的最小值为5+5^2.

故选：D.

2.（22-23高三上•山东烟台•期中）若对任意正实数x,y都有尤-1”）-、V0,

则实数机的取值范围为（）

A.（0,1]B.（0,e]

C.（-<o,0）u[l,+oo）D.（-oo,0）u[e,+oo）

【答案】A

【分析】

将不等式变式为2-二In24，，设土=/后转化为加）=（2In”，恒成立，只需

<y^）\y）mym

求函数/⑺的最大值即可.

【详解】因为（2y-土]（Inx-lny）-240,

VeJm

所以£---||In—|<一,设一=，，t>0,f（t）=（2]ln/

Vy^AyJmyve7

1

r（e）=--+---=0,

则以T+>eeee

人/、In/21

令g«）=----+——

ete

17

g"）=-■*■-彳<0恒成立，故y=f'（t）单调递减,

当t«0,e）时，尸⑺>0,函数/⑺单调递增；

当fw（e,+8）时，尸⑺<0,函数/⑺单调递减；

故/⑺mL/（e）=l

所以,21,得到加e（0,l].

m

故选:A.

3.（22-23高三上•江苏苏州•阶段练习）已知函数/（尤）=祀*+6*，8（尤）=1!1了+无，若

〃为）=8（%2）>。，则（■可取（）

A.-IB.--C.1D.册

e

【答案】A

【分析】探讨函数g（x）在（5,+s）上单调性，由已知可得X2=ew（%>-1）,再构造函数并求

出其最小值即可判断作答.

【详解】依题意，由g（x,）=X2（lnx,+l）>0得元2>工，

e

令g'（x）=2+lnx>0,函数g（无）在（，,+<»）上单调递增，

由〃为）=4（西+1）>0得%>-1,

则/'（xXellneX+lkge）,

由〃M）=g（x，）>0得：g（e*'）=g（X2），又户>』,马>:，

ee

YAX,

于是得x,=e”(X|>-l),包=一,

国x1

^h(x)=-(x>-l)，求导得7/(x)=e"°,

xx

当一1<%<0,0<%<1时，hf(x)<0,当九〉1时,hr(x)>0,

即函数力(%)在(-L。)，(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增，

当兀>0时，=h(l)=e,且%f+oo,/?(%)-KO,

h(-I)=~-,且Xf0-，/z(x)-F,^/I(X)G(-00,--)|[e,+8)

ee

即三e(-co,-3Ue,+s),显然选项A符合要求，选项B,C,D都不符合要求.

X[e

故选：A

4.(22-23高三下•安徽安庆•阶段练习)已知加，”都是正整数，且d"+ln〃<〃z+”，则()

mmmn

A.n>eB.m>eC.n<QD.m>e

【答案】A

【分析】根据题意得暧-/<*1-In<构造函数/(x)=e'-x,(尤20)求解即可.

【详解】因为e"'+ln〃<"z+〃，所以e'"-根<"-1!1〃=6瓜"-Inw,令/(x)=e*-x,(x20),

所以尸(x)=e-120,故以x)在[0,E)上单调递增,由己知得/(附</(ln”)，

故〃7<In”，因为加，〃都是正整数，即e"'<〃.

故选：A.

5.(22-23高三上•黑龙江哈尔滨•期末)若实数%,V满足41nx+21n(2y)12+8y—4,则()

A.xy=B.x+y=A/2

4

C.%+2y=l+0D.x2y=1

【答案】A

【分析】根据题意将原不等式化简为InQ%2^(4y)>1%2+4y-2,令

a=—x2,b=4y(^a>0,b>0^,可知原不等式等价于(Ina—a+l)+(ln6—b+1)20,再令

g(x)=lnx-x+l,则原不等式等价于g(a)+g())NO；再利用导数求出函数g(x)单调性，

进而可得g(x)WO,由此可知只有当a=b=l时，即g(a)=g(b)=O时才满足g(a)+gS)20,

据此即可求出羽，的值，进而求出结果.

【详解】41nx+21n(2y)>x2+8y-4(x>0,y>0)

2[ln(x2)+ln(2y)]2尤2+8y-4,

In]g/}(4y)>^x2+4y-2,

设。=3尤2,6=4>(。>0,。>0),则有In"上a+6—2,§Plna+ln&>«+Z?—2,

/.(ln6Z-6z+l)+(ln/?-/?+l)>0,

ii_r

令g(x)=lnx-x+l,贝i]g，(x)=-l=----,

.•.当xe(O,l)时，g^x)>0,g(x)单调递增；

当xe(l,+oo)时，<0,g(x)单调递减；

；•g(x)3=g(l)=。，即g(x)«0，

要使伽。-。+1)+(1116-人+1)20成立等价于8(。)+80)2。成立，

只有当°=人=1时，即g(a)=g(6)=0时才满足，

1,

a=—x=l,b=4y=l

•x=y=二,.xy-.

44

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对原不等式的变形，将其变形成

InQ%^-(4y)>^x2+4y-2,再进行换元、构造辅助函数，借助函数的最值和唯一性求

解.

1+Inx,尤>1

6.(22-23高三•全国,专题练习)已知函数"x)=,11,，若x尸尤2，且/(xJ+AXzX2,

—XH------,X<1

[22

则尤1+x2的最小值为

A.2B.e-1

C.3-21n2D.3-21n3

【答案】C

【分析】由题意得到占<1<尤2，由/(&)+/(%)=2,得到％=1-21nx2,所以

%+x2=l-21nx2+%,构造函数g(无)=l-21n尤+尤(尤>1),利用导数求出g(无)的最小值即可.

【详解】由题可知当X21时，函数/⑺单调递增，/(x)1nto=/(1)=1,

当X<1时，/W<1,设西<々，则必有％<1<尤2，

2)=

所以/(%)+/(尤5%+3+1+1咤=-^+1IW-2+-=2,所以%=l-21nr2,

2=1-

所以西+%21IU2+x2,

2r-2

设g(x)=l_21n尤+x(x>l),贝l]g'(x)=__+1=----,

XX

则l<x<2时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

当尤>2时，g'(x)>0,函数g(无)单调递增，

所以g(无)5=g(2)—1—21n2+2=3—21n2,

所以占+%的最小值为3-21n2.

故选：C

【点睛】本题主要考查利用导数解决双变量问题，将一个变量由另一个变量表示，构造新的

函数即可求解，注意变量的范围，考查学生分析转化能力，属于中档题.

7.（22-23湖南长沙•二模）己知函数“刈=仙0+人^工^满足对于任意入[；？],存在

x,e[1,2],使得/（才+2%+”）《/（电迤）成立，则实数〃的取值范围为（）

2%

」n2c、/n2c5……

A.[-----8,+co）B.[-----8,----2In2]

224

C.（-oo,^^-8]D.（-oo,--1-21n2]

【答案】C

【解析】由函数〃x）=ln（x+V7W）在定义域单调递增，原不等式成立可转化为

（x；+2X+a）力，呼,通过研究函数的最值建立不等式求解即可得。的取值范围.

V2zmax

【详解】由函数/（x）=ln（x+肝石）在定义域单调递增，

对于任意&eg2],存在”已⑵，使得+2%+。）成立,

即任意玉存在毛eg,2],使得片+2%+。V"成立，

即满足（X；+2玉+4max4[史卫],

maX

V%27max

令g（%i）=%；+2%+。,

对称轴方程为玉=-1,

在玉e[g,2]可得gCxJ诙=g（2）=8+a

令;1(彳2)二^^,

x2

求导可得〃(%)=1,

"(％2)=。，可得％2=6,

在九2«。，6)，勿(%2)>0，。(々)单调递增,

所以在％e耳,2],h(x2)max=hQ)=浮

即8+a4殍,

解得aW，一8,

故选C.

【点睛】本题为函数与导数的综合应用题，考查函数的单调性、导数的应用等知识点，解题

的关键是将含有量词的不等式转化为求函数最值问题，再借助导数和函数的性质求解最值建

立不等式即可，属于中等题.

8.(22-23高三上•河北衡水•阶段练习)定义在尸上的函数，I满足.门v.=XI,

当x€[0,2)时，/(幻=，2,函数=P+3/+隔，若

Vie[-4.2|.Er=[^.2i,不等式河可i-，,出心帅咸立，则实数\的取值范围

A.I-X.-12]B.I-X,-4]

C.I-X.s]D.-X.—

【答案】C

【详解】试题分析：由题意，当OWx<l时，-2vxsL，当14xv2时，Ts超市匕-有，

■，

所以当时，又2'=-/(x),因此当w[T.O)时，

研加『娘]|,当xe[72)时，蕤x注【啼.芍，即当xe[T2)时，货渔目"冏,/(幻

最小值为-8,g%，二暑尸中&v，令£口=。，得工一-？或工二0，由易得工二0是极小

值点，x=-2是极大值点，g(0)=w，式-4)=-16+帆〈小二g(O)，由题意-16,万4-8,

w<S-故选c.

考点：不等式恒成立，函数的值域.

【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化,

若I三不等式式扇卜城，做过颐成立，即在［T2)上，函数/(x)的

最小值大于或等于g(x)的最大值.函数g(x)是三次函数，可由导数的性质求得最大值，

而函数/(X)是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间(分为［7二),一工0),［0,2)有

三个区间)上的值域，然后求出并集，得/(x)值域.

二、多选题

9.(23-24高三上•河南商丘•阶段练习)已知函数/(x)=e'ln(x+l),g(x)=/'(x),则()

A.8(何在(。,+8)上单调递增B.8(“在(。,+8)上单调递减

C.X/m,ne(0,+co),f(m+ii)>f(m)+f(n)D.X/m,??e(0,+oo),

f(m+n)<f(m)+f(n)

【答案】AC

【分析】利用导数判断g(x)的单调性，可判断AB；构造函数尸(x)="x+")-小，

根据导数判断歹(x)的单调性，利用单调性可判断CD.

【详解】/,(x)=exln(x+l)+-^—j-,HPg(x)=eYIn(x+1)+,

2Y+1

当尤>0时，g'(x)=e'In(元+1)+丁=>0,故g(x)在(0,+8)上单调递增，故A正确，B

_(尤+1)二

错误；

令/(X)=/(X+〃)-/(X)-/(〃)，贝U尸(X)=/'(尤+")一「(无)，

因为广(X)在(0,+8)上单调递增，又〃>0,所以r(x+〃)>_f(x)

所以k(x)>0,所以尸(x)在(0,+8)上单调递增，

所以V%w(0,+oo),F(m)>F(0)=0,

所以〃加+小>/(9)+/(〃)，故C正确，D错误.

故选：AC.

10.(22-23高二下•广东汕头•期中)已知函数7'(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若

y(^)=l+21nr,g(%2)=*，则(石%2-九2)1n，的取值可能是()

2111

A.—B.---rC.---D.

e2e22ee

【答案】BC

【分析】由已知条件可推得f2=(x「l)*T=*Fnx2，即有1眸=%-1,结合目标式化简

可得（为马-赴）山f=令〃⑺=六1型，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值,

即为仿多-工2）足/的最小值，根据最小值进行选择即可.

【详解】由题意，/（占）=再+111（占-1）=1+2111/,得士-l+ln（无1-1）=In产，

X|12

ln[（x1-l）e]=In/,即〃=（占一1）/一>0,

2n

Xg（x2）=x2Inx2=t,得—=e'"/nx2>0

1,1〉=尤・，在[0,”）上单调递增，

，综上知：lnx2=%1-1,

2

二.（J^X,—x2）\nt=x2-}nx2-\nt=t-}nt,

令〃（f）=/Jnt,（?>0）,则/?'«）=2/lnf+f

W）>0,得/>/；〃'"）<0，得o<f<e<；

11

故h（t）在（o,/5）上单调递减，在（）2,+8）上单调递增.

-11

〃⑺min=/702）=-->

2e

A：因为--2-（-丁1）=3-9<。，所以本选项不符合题意；

e2e2e

B：因为—-1―（-1丁）=--1+^e>0,所以本选项符合题意；

2e~2e2e

C：显然符合题意；

D：因为-」-（-占）=-1<0,所以本选项不符合题意，

e2e2e

故选：BC

【点睛】关键点睛:根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，

应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.

三、填空题

11.（23-24高三上•山东德州•阶段练习）若对任意的玉总存在唯一的/4-1』，

使得占+2后-3x；-a=0成立，则实数a的取值范围是.

【答案】[T，T）

【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的

包含关系列式求解作答.

【详解】由尤1+—3"—a=。，得2x；—3%;=a—再，

令/（尤）=2x3-3x2,xe[—1,1],f'（x）=6x2-6x=6x（尤-1）,

当xe[T,0）时，f'（x）>0,函数f（x）在[-1,0）上单调递增,

当xe(O,l)时，f'(x)<0,函数/(x)在(0,1)上单调递减,

当x=0时，/(盼取最大值，最大值为0；

又了(一1)=一5,/(1)=-1,如下图，

令g(x)=o-x,xe[0,l],显然函数g(x)=a-x在[0,1]上单调递减，函数g(x)的值域为

[a-1,a],

由对任意的占e[0』，总存在唯一的马©[-Ll]，使得玉+24一3x；-a=0成立，得

[a—1,tz]c[—5,—1),

—12—5

因此<1,解得Y<av—1.

[a<-l

所以实数。的取值范围是[T，-1).

故答案为：[T，T).

12.(2023高三・全国•专题练习)己知函数〃x)=a(x+lnx),g(尤)=x?.当a>0时，若对于

区间[L2]上的任意两个不相等的实数为,9,都有|〃可)-/伍)|<k(占)—(々)|成立，则实

数。的取值范围_______.

【答案】(0』

【分析】求出“X)的单调性，将绝对值去掉后得"%)-g(%)<"xJ-gG),构造新函

数/(X),这样就知道了函数的单调性，分离参量求导，得实数。的取值范围

【详解】不妨设iw占<%W2.

因为a>0,所以尸(x)=a[l+J>0,所以在[1,2]上单调递增，即

又因为g(x)=%2在[1,2]上也单调递增，所以g(xj<g(々).

即/(%)-g(3<)。)-8(石)，

设尸(元)=/(%)-g(x),即F(x)=ax+cAwc-x1,

则尸(W)<尸(可)，因此尸(x)在［1,2］上单调递减.

于是尸(无)=。+4-2x<0在［1,2］上恒成立，即aVaL在［1,2］上恒成立.

%X+1

令"(力含，/、2x2+4x

，贝ij"(x)=7>0,

尤+1)一

即“(x)在［1,2］上单调递增，因此“(X)在［1,2］上的最小值为"1)=1,所以aWl,

故实数。的取值范围是0<aVL

故答案为：(0,1］

四、解答题

13.(22-23高三上•山东泰安•期末)已知函数/⑺=2“lnx,g(x)=f(x)+x--.

X

⑴当。=1时，求函数〃元)的曲线上点(e"(e))处的切线方程；

⑵当aVl时,求g(x)的单调区间；

⑶若g(无)有两个极值点占,电其中司e(0,J,求g(%)-g(%)的最小值.

2

【答案】(1)，="

e

⑵见解析

,201n3-16

⑶­；-

7

【分析】(1)根据导数的几何意义得到:(e)=J/(e)=2,得到结果；(2)对函数求

导分情况讨论导函数的正负，从而得到单调区间；(3)构造函数研究函数的单调性，得到

函数的变化趋势，进而得到函数最值.

【详解】(1)当a=l时，〃力=2加所以/")=葭尤>0),

.■•/，(e)=-,又〃e)=2,

••・过切点(e"(e))的切线方程为y=%(%-e)+2,

gp：y=-x.

e

(2)由题意得：g(x^=2cAwc+x--,x>0,

，/\2Q1I+2ax+1

・•・g(x)」+7

4A=4a2-4,

①当一IWaWl,即AWO,贝ij尤2+2OX+1N0恒成立，

即g〈x”0恒成立，g(x)在(0,+动上单调递增.

②当。<一1时，BPA>0,令g'(无)>0,即x?+2依+1>0，

解得：G<x<-a-d/-1或xA-a+Ja2-1

令g'(x)<0,解得：-a-J/一]<x<—a+J/_]

综上，当-时，g⑺的单调增区间为(。,+功,

当av—1时，单调增区间为(0.-〃-Jo?—1卜卜〃+-l,+°o

单调减区间为卜二I,—Q+7a2-1).

(3)由(2)知，g，(x)=*+2,x+l,x>。，

由题意知，看,三是方程x+2«x+l=0的两根，

1

%•%2=1,玉+%2=-2〃,­'•%2=一

11I

2a——Xy---,，g(X)-g(%2)=g(%)-g=2---XyH----llLVj

r+x

令77(x)=2x---fx+—\nx/.H^x^=2(-^--l}]nx=^(^)(^1nx

JV\XJ\JX

当时，2(l+x)(l-x)>0,lnx<0,

所以"(x)<0,

”(x)在]，；上单调递减，=鸣=2。16

即g&)-g仇)的最小值为2。*16.

14.(22-23・陕西•模拟预测)已知aeR,函数〃尤)+：(a-2)x2+6,g(x)=2alnx.

62

(1)若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(Lc)处的切线互相垂直，求a,b的值;

(2)设尸(x)=/'(x)-g(x),若对任意的%,%2«0,依),且A1fxz，都有

F(X；)-F(X2)>O(^-X,),求。的取值范围.

1171

【答案】(1)a=l,b=-,^a=—,b=--(2)a-~-

【详解】试题分析：（1）由/'（1）送（1）=一1得24。一||=-1可得。的值，由（l,c）在y=g（x）

上得c=0,则（1,0）在y=/（x）上可得等式，求得〃的值；（2）本题可转化为

G（x）=P（x）-也在（0,+®）上是增函数，求G[x）＞0转化为一元二次不等式恒成立问题，可

得。的取值范围.

试题解析：（1）/（x）=gV+（"2）x,，/⑴=。一9==⑴=2。,依题意有

3,

尸（1）=-1,且/⑴二8⑴，可得｛，解得a=l,6，或a

212

2

(2)F(x)=1x+（〃一2））—2〃如）.不妨设石（%2,方（%）一尸（%2）”（王一元2），

等价于F（*2）—cuc2-叼.设G（x）=b（x）-ax,则对任意的西«0,内）,且占片々,

都有"㈤-等价于6（力=万。）一改在（0收）上是增函数.

马一再

@（同」/_24]11尤_2彳,可得6'（6-3_2=厂2..2一依题意有,对任意了＞0,

2xx

有x?-2x-2aN0恒成立.由2。4炉-2尤=（彳一1,-1,可得awg.

考点：导数的几何意义；构造函数.

V+1

15.（22-23•辽宁,一模）已知函数〃x）=—二（e为自然对数的底数）.

e

（1）求函数〃x）的单调区间；

（2）设函数9（X）=J/（X）+?/XX）+，，存在实数4，%以0,1],使得2。（不）＜。（々）成立，求

实数r的取值范围.

e

【答案】(1)0；(2)/<3—2e或/〉3—.

2

【详解】试题分析：（1）求导得/（幻=-三，根据导数的符号即可求出/（X）的单调区间

e

（2）如果存在占,％C[0,1],使得20（不）＜果9）成立,那么2mX）]mM＜[。（初回由题设得

以无）/+（ix+i,求导得夕，“）=一攵二半二12由于含有参数，，故分情况讨论，分别

ee

求出。（元）的最大值和最小值如何分类呢？由-3二芈二2=0得X=t,x=l,又由于

e

xe[0,l]故以0、1为界分类当91时，9（%）在。1]上单调递减；当仁0时，9（%）在[。刀

上单调递增以上两种情况都很容易求得/的范围当o<r〈i时，夕(x)在［。力上单调递减,

在£1］上单调递增，所以最大值为9(。),夕⑴中的较大者，最小值为0⑺，

一般情况下再分类是比较这两者的大小，但2e⑺=2―

由(1)可

知壮42二1■WZ,而显然=<2牛，所以2s(初111M<S(xXhx无解

eeeeeee

试题解析：(l)..,函数的定义域为R,

二当x<0时，f'(.x)>0,当x>0时，f'(x)<0

,AM在(-00)上单调递增，在(0,+8)上单调递减

(2)假设存在公尤2e［。，1］，使得2夕(无1)<。(々)成立，则2皿尤)1mm<S(x)1mM.

;e(x)=#(x)++e~x='+(1"Z

e

.、-+(1++1(x—Z)(x—1)

••9f(％)=------------=------------

ee

当，21时，o'(尤)40,o(x)在［0刀上单调递减，，2夕(1)<°(0),即t>3-

②当时,9(无)>0,。⑺在［0,1］上单调递增，2°(0)<夕⑴，即f<3—2e<0

③当0<r<l时，

在xw［o,「，”(x)<0,e(元)在［0,H上单调递减，

在):rj］,夕'(x)>o,°(x)在上,1］上单调递增，

所以2。⑺<max{0(O)，火1)},即2^<max{l,-}--------------(*)

ee

由(1)知，g⑺=2牛在［0.1］上单调递减，

e

4t+l23-t3

故而所以不等式(*)无解

eeeee

综上所述，存在于e(-8,3-2e)(3-■|,+co),使得命题成立

考点：1、导数的应用；2、不等关系

16.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)="^+aln无，其中参数a<0.

x

(1)求函数〃x)的单调区间；

⑵设函数g(x)=2xV'(x)-#(x)-3a(a<0),存在实数尤”尤2c［id］,使得不等式

2g(不)〈8伍)成立，求。的取值范围.

【答案】①答案见解析

⑵

【分析】(1)求导，对分类讨论求解单调区间;

(2)不等式2g®)<g(W)成立，转化为2g(xUnVgaLx，然后求解函数的最大与最小值

列出不等式求解.

【详解】(1)/。)=3+alnx,(尤>0),广(x)=k?+D

%X

(1)当一l<a<0时，<0,/'(x)<0,二/(X)的减区间是(0,+8).

a

(2)当a=-l时，r(x)=--<0,的减区间是(0,+8).

(3)当。<一1时，xe(0,"3，.•./'(x)>0,.•./(X)的增区间是(0,3)，

aa

x6(3,+8),广(尤)<0,二/(尤)的减区间是(四,+◎.

aa

综上，当—l<a<0时，减区间是(0,+到)；当a<T时，增区间是(0,3)，减区间是(四,+s).

aa

(2)g(x)=2ax-ax\nx-(6a+3),(a<0),因为存在实数x”斗©[Le?],使得不等式

2ga)<g(/)成立,

2g(X)而n<g(x)max,

g'(x)=a(l-lnx),a<0,xe口，e),g'(x)<0,g(x)单减,xe(e,e2],g'(x)>0,g(x)

单增.

2

g(x)aia=g(e)=ae-6a-3,g(x)maK=max{g(l),g(e)}=-6a-3.

33

2ae—12a—6<-6a—3,「•。>,a<0,:,ae(,0).

2e-62e-6

c综合素养

1.(23-24高三上•广东佛山•阶段练习)对于函数力⑴、力(X)、。(无),如果存在实数。”使

得〃(x)=a"(x)+b•/(x),那么称。幻为。(X)、人(x)的生成函数.

(1)下面给出两组函数，〃(x)是否分别为工(X)、人(X)的生成函数？并说明理由;

第一组：£(x)=sinx,力(x)=cosx,h(x)=sinlx+yI；

221

第二组：fi(,x)=x-x,f2(x)=x+x+l,h{x}=x-x+\；

(2)设工(x)=x(x>0),力(无)=^(x>0),取。>0,6>0,生成函数〃(无)图象的最低点坐标

X

为(2,8).若对于任意正实数占,三,且入+超=1,试问是否存在最大的常数根，使

加恒成立？如果存在，求出这个机的值；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）第一组：是，理由见解析；第二组：不是，理由见解析；