力学计算-2020-2024年高考物理复习试题分类汇编（解析版）

4<18力学计算

■

5年真题•分点精准练

1.(2024•北京・高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S,管口离水池水面的高

度为〃，水在水池中的落点与管口的水平距离为乩假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g,远

大于管口内径。求：

(1)水从管口到水面的运动时间/；

(2)水从管口排出时的速度大小%;

(3)管口单位时间内流出水的体积Q。

【详解】(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向=

解得水从管口到水面的运动时间，=Jy

(2)由平抛运动规律得，水平方向d=

解得水从管口排出时的速度大小%4

(3)管口单位时间内流出水的体积。=Sv0=SdJ^-

2.(2024.北京.高考)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质(星体等)

在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。以某一点。为观测点，

以质量为根的小星体(记为P)为观测对象。当前P到。点的距离为“，宇宙的密度为为。

(1)求小星体P远离到2%处时宇宙的密度⑶

(2)以。点为球心，以小星体P到。点的距离为半径建立球面。P受到的万有引力相当于球内质量集中于

。点对尸的引力。已知质量为叫和加2、距离为R的两个质点间的引力势能耳=-G噜，G为引力常量。

仅考虑万有引力和P远离。点的径向运动。

a.求小星体尸从外处远离到入。处的过程中动能的变化量4线；

b.宇宙中各星体远离观测点的速率v满足哈勃定律v=Hr,其中厂为星体到观测点的距离，H为哈勃系数。

H与时间/有关但与r无关,分析说明H随/增大还是减小。

12

【答案】（1）P=~P\（2）a.AE=--Gnpmr；-b.X随f增大而减小

o03kQ

【详解】（1）在宇宙中所有位置观测的结果都一样，则小星体P运动前后距离。点半径为“和2%的球内质

44a

量相同，即夕•，叫^=夕?兀（24）

解得小星体P远离到2%处时宇宙的密度p=

O

4,

（2）a.此球内的质量M兀*

P从分处远离到2%处，由能量守恒定律得，动能的变化量AEk=-G逊一（一半］=一3的0相叱

roV2roJ3

b.由。知星体的速度随％增大而减小，星体到观测点距离越大，运动时间f越长，由v=知，H减小，

故//随f增大而减小。

3.（2023・北京・高考）如图所示，质量为优的小球A用一不可伸长的轻绳悬挂在。点，在。点正下方的光

滑桌面上有一个与A完全相同的静止小球B,B距。点的距离等于绳长心现将A拉至某一高度，由静止

释放，A以速度v在水平方向和B发生正碰并粘在一起。重力加速度为g。求：

（1）A释放时距桌面的高度H；

（2）碰撞前瞬间绳子的拉力大小R

（3）碰撞过程中系统损失的机械能AE。

【详解】（1）A释放到与B碰撞前，根据动能定理得mg"=?7步

2

解得

2g

（2）碰前瞬间，对A由牛顿第二定律得方-zng=相?

2

解得F=mg+m~~j~

（3）A、B碰撞过程中，根据动量守恒定律得〃a=2znV]

解得巧=，

则碰撞过程中损失的机械能为=-=—mv2

22（2J4

4.（2023•北京•高考）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R的球体内，球体外仅有极

少的恒星。球体内物质总质量为M,可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，

恒星到星系中心的距离为广，引力常量为G。

（1）求r>R区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相似

性和相关力学知识，求区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v与r的关系；

（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v随/•的变化关

系图像，如图所示，根据在范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（r>R）存在

一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求r=“R内暗

物质的质量。

【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有G等=加工

3

_M43_Mr

（2）在内部，星体质量"°=43与4=木

铲

由万有引力定律和向心力公式有=

[GM

解得n=厂

(3)对处于R球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G粤=〃?或

R2R

对处于尸“R处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有G

（明‘

解得=

5.(2022•北京・高考)利用物理模型对问题进行分析，是重要的科学思维方法。

(1)某质量为机的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，在近日点速度为V/,在远日点速度为也。求从近日点到

远日点过程中太阳对行星所做的功W;

(2)设行星与恒星的距离为，，请根据开普勒第三定律(台=左)及向心力相关知识，证明恒星对行星的

作用力产与厂的平方成反比；

(3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍，单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设想地球“流浪”

后绕此恒星公转，且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕太阳公转的周期为刀，绕此恒星公转

的周期为T2,求去。

【答案】(1)皿="*一"片；(2)见解析；(3)奉=4&

【详解】(I)根据动能定理有加4-;根可

(2)设行星绕恒星做匀速圆周运动，行星的质量为如运动半径为r,运动速度大小为丫。恒星对行星的作

用力/提供向心力，则F=w二

r

运动周期7=至

V

根据开普勒第三定律二=左，左为常量，得八丝吧

T2r

即恒星对行星的作用力/与厂的平方成反比。

(3)假定恒星的能量辐射各向均匀，地球绕恒星做半径为厂的圆周运动，恒星单位时间内向外辐射的能量

为P。。以恒星为球心，以7■为半径的球面上，单位面积单位时间接受到的辐射能量P=7%

4%产

设地球绕太阳公转半径为〃在新轨道上公转半径为「2。地球在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样，必须

满足P不变，由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍，得「2=4〃

设恒星质量为M,地球在轨道上运行周期为T,万有引力提供向心力，有曾=7""

’4九3

解得T=

GM

由于恒星质量是太阳质量的2倍，得春=4夜

11

6.(2021.北京.高考)秋千由踏板和绳构成，人在秋千上的摆动过程可以简化为单摆的摆动，等效“摆球”的

质量为阴，人蹲在踏板上时摆长为4,人站立时摆长为4。不计空气阻力，重力加速度大小为g。

(1)如果摆长为4,“摆球”通过最低点时的速度为v,求此时“摆球”受到拉力T的大小。

(2)在没有别人帮助的情况下，人可以通过在低处站起、在高处蹲下的方式使“摆球”摆得越来越高。

a.人蹲在踏板上从最大摆角4开始运动，到最低点时突然站起，此后保持站立姿势摆到另一边的最大摆角为

%。假定人在最低点站起前后“摆球”摆动速度大小不变，通过计算证明2>4。

b.实际上人在最低点快速站起后“摆球”摆动速度的大小会增大。随着摆动越来越高，达到某个最大摆角。后,

如果再次经过最低点时，通过一次站起并保持站立姿势就能实现在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最

低点“摆球”增加的动能AEk应满足的条件。

【答案】(1)T=mg+m--(2)a.见解析；b.AE

;k2

【详解】⑴根据牛顿运动定律7-侬=";

解得T=mg+m—

(2)〃.设人在最低点站起前后“摆球”的摆动速度大小分别为V/、V2,根据功能关系得

12

mg/jQ-cos^)=—mu,

12

mgl2(l-cos02)=—mv2

已知vi=V2,得mg/i(l-cos6j)=mg/2(l-cose2)

因为4〉,2，得cos4>cos%

所以%>4

。.设“摆球”由最大摆角。摆至最低点时动能为纭，根据功能关系得线=利灯。-COS0

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，通过最高点最小速度为Vm,根据牛顿运动定律得冲="4

“摆球”在竖直平面内做完整的圆周运动，根据功能关系得线+转上2侬/2+9皿：

得AEk>gmgl2-mglx(1-cos0)

7.(2022.北京・高考)体育课上，甲同学在距离地面高4=2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大

小为%=8.0m/s；乙同学在离地为=0.7m处将排球垫起，垫起前后球的速度大小相等，方向相反。已知排

球质量根=0.3kg,取重力加速度grlOm/s?。不计空气阻力。求：

（1）排球被垫起前在水平方向飞行的距离无

（2）排球被垫起前瞬间的速度大小v及方向；

（3）排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小/。

【答案】（1）x=4.8m；（2）v=10.0m/s,方向与水平方向夹角tan6=0.75；（3）I-6.0N-s

【详解】（1）设排球在空中飞行的时间为3则4-色=；g产

解得t=0.6s；则排球在空中飞行的水平距离x=vot=4.8m

（2）乙同学垫起排球前瞬间排球在竖直方向速度的大小%=gf

得v，=6.0m/s；根据v=J说+v；

得v=10.0m/s；设速度方向与水平方向夹角为6（如答图所示）

贝IJ有tan6=匕=0.75

%

（3）根据动量定理，排球与乙同学作用过程中所受冲量的大小/=27m=6.0?46

8.（2021.北京・高考）如图所示，小物块A、B的质量均为优=0.10kg,B静止在轨道水平段的末端。A以

水平速度丫。与B碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为〃=0.45m,两物

2

块落地点距离轨道末端的水平距离为s=0.30m,取重力加速度g=10m/so求：

（1）两物块在空中运动的时间

（2）两物块碰前A的速度"的大小；

（3）两物块碰撞过程中损失的机械能AE。

A

八、、、

h\

\

\

」Y；

/77777777777777777777777777777777^77

~S~

【答案】(1)0.30s；(2)2.0m/s；(3)0.10J

【详解】(1)竖直方向为自由落体运动，由力=gg产

得£=0.30s

(2)设A、B碰后速度为v,水平方向为匀速运动，由s=M

得u=1.0m/s

根据动量守恒定律，由根％=2mu

得％=2.0m/s

(3)两物体碰撞过程中损失的机械能

得AE=0.10J

9.(2020•北京・高考)无人机在距离水平地面高度。处，以速度%水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻

力，重力加速度为g。

(1)求包裹释放点到落地点的水平距离无；

(2)求包裹落地时的速度大小v；

(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为V轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包

裹运动的轨迹方程。

bhI----------义7

【答案】(1)%J1；(2)+2gh；(3)y=~^x

【详解】(i)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则a

解得”

水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为x=vot=丫噌

\2h

⑵包裹落地时，竖直方向速度为％=划=g

落地时速度为V==M+2gh

（3）包裹做平抛运动，分解位移

X=vof

两式消去时间得包裹的轨迹方程为y=白/

1年模拟•精选模考题

1.（2024・北京海淀•统考一模）如图所示，水平地面上固定着光滑斜槽，斜槽的末端和粗糙地面平滑连接，

设物块通过连接处时速率不发生改变。质量〃"=0.4kg的物块A从斜槽上端距水平地面高度/z=0.8m处由静

止下滑，并与静止在斜槽末端的质量"Z2=0.8kg的物块B相碰，相碰后物块A立即停止运动，物块B滑行

一段距离后停止运动。取重力加速度g=10m/s2,两物块均可视为质点。求：

（1）物块A与物块B碰撞前瞬间的速度大小。

（2）物块A与物块B碰撞过程中A、B系统损失的机械能。

（3）滑动摩擦力对物块B做的功。

【详解】（1）物块A与物块B碰撞前，根据动能定理有叫g/z=g叫F

解得v=4m/s

（2）物块A与物块B碰撞过程中，根据动量守恒定律有加1"=m2匕

根据能量守恒定律有=一；色y

解得A£=L6J

（3）B运动到停止的过程中，根据动能定理有喷=0-；恤V：

解得喷=-1.6j

2.（2024.北京海淀•统考一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察,

他将其中一颗卫星产的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是

卫星圆周运动在某方向上的投影。如图所示，是伽利略推测的卫星尸运动的示意图，在xOy平面内，质量

为机的卫星P绕坐标原点。做匀速圆周运动。已知引力常量为G,不考虑各卫星之间的相互作用。

（1）若认为木星位于坐标原点。，根据伽利略的观察和推测结果：

①写出卫星尸做圆周运动的向心力大小p的表达式。

②求木星的质量Mo

③物体做简谐运动时，回复力应该满足4-乙。请据此证明：卫星尸绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投

影是简谐运动。

（2）若将木星与卫星尸视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为

请分析比较（1）②中得出的质量Mo与时的大小关系。

4TT2A3

A；②M0=;③见解析；（2）M'>M

GT20

4汀2

【详解】（1）①卫星尸做圆周运动的向心力大小方的表达式/二根疗一二机亍-A

②根据G^=人

4^-2A3

得木星的质量A/。=

GT2

③如图

47r之

rcos0=x=-kx

则卫星尸绕木星做匀速圆周运动在尤轴上的投影是简谐运动。

M'm47r之

（2）根据（7K="?亍二4

得叱=4%ZA

由于A<L

则”>此

3.（2024.北京西城・统考一模）儿童滑梯可简化为如图所示的模型。滑梯下滑区42的长L=4m,倾角。=37。。

一个质量根=20kg的儿童从滑梯顶部A点由静止滑下，最后停在水平缓冲区8C上。若儿童与48、部分

的动摩擦因数均为0.5,儿童经过两段连接处速度的大小不变。sin37o=0.6,cos37o=0.8,取重力加速度

g=10m/s2o求：

（1）儿童运动到B点时速度的大小v；

（2）缓冲区8c部分的最小长度x；

（3）整个过程中摩擦阻力对儿童做的功％。

A

///////////////////////2//./././.././/c

【答案】（1）v=4m/s；（2）x=1.6m；（3）叼=-480J

【详解】⑴由A点运动到5点的过程中，根据动能定理有机gLsina-"2gLeosa=gw2

得v=4m/s

（2）由5点运动到。点的过程中，根据动能定理有一g%=O-g相声

得x=1.6m

（3）儿童从A点运动到。点的过程，根据动能定理有租gLsina+”=。

得叱=—480J

4.（2024.北京西城.统考一模）小行星撞击地球虽然发生概率较低，却会使地球生命面临重大威胁。我国已

经提出了近地小行星防御的发展蓝图，计划在2030年实现一次对小行星的动能撞击，2030至2035年间实

现推离偏转。已知地球质量为"，可视为质量分布均匀的球体，引力常量为G。若一颗质量为根的小行星

距离地心为r时，速度的大小v=后警，加远小于V。不考虑地球运动及其它天体的影响。

（1）若小行星的速度方向垂直于它与地心的连线，通过分析判断该小行星能否围绕地球做圆周运动。

（2）若小行星的速度方向沿着它与地心的连线指向地心。已知取无穷远处的引力势能为零，则小行星在距

地心为r处的引力势能”=-G也Mm。

a.设想提前发射质量为0.1m的无人飞行器,在距离地心为厂处与小行星发生迎面撞击，小行星撞后未解体。

将撞击过程简化为完全非弹性的对心碰撞。为彻底解除小行星对地球的威胁，使其不与地球碰撞。求飞行

器撞击小行星时的最小速度%O

b.设想对小行星施加适当的“推力”后，使其在距离地心为厂处的速度方向与它和地心连线的夹角变为30。,

速度大小不变，也能解除对地球的威胁。已知小行星仅在地球引力所用下的运动过程，它与地心的连线在

任意相等时间内扫过相等的面积。求小行星在此后的运动过程中，距地心的最近距离为。

【详解】（1）若小行星在该位置做匀速圆周运动，设速度大小为匕，由万有引力提供向心力，可得

由于VR匕

可知，小行星不能围绕地球做圆周运动。

（2）a.设碰撞后小行星的速度大小为V2,为彻底解除小行星的威胁，应使小行星被撞后能运动至无穷远

处。根据能量守恒定律有-GW+。，加+*+0.㈣.片=0

2GM

解得v=

2r

以飞行器速度方向为正方向，飞行器撞击小行星的过程根据动量守恒定律有。.山飞-研=（01根+间”

解得％=21/^

b.设小行星离地心最近时，速度的大小为％,小行星与地心的连线在相等时间扫过相等面积有“sin。=丫通

根据能量守恒定律有《三+]三+

解得

5.（2024•北京东城.统考一模）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动模型，初速度和

受力情况的不同决定了质点做何种运动。

（1）平抛运动是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动。一质点以初速度％在竖直面内做平抛运动，以

抛出点为原点，以％的方向为无轴的正方向，竖直向下为y轴的正方向建立坐标系。

a.某时刻质点速度与水平方向的夹角为。，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为。，请证明。与a

满足：tan，=2tane；

b.请写出质点的轨迹方程。

（2）简谐运动的质点所受回复力尸与位移尤成正比，且方向总和位移相反，即尸=-h，其中左为常数。如

图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为，”的

小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心。点很近的地方由静止释放，

小珠子将围绕。点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心。点附近的往复运动是简谐运动（当。很小时，

sin0工tan0）0

（3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）间的抛物线

轨道绕y轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相对

静止的位置。

【详解】（1）a.由平抛运动的位Ldl移lCt—规—律—--得----_-g-t-

XvQt2%

由平抛运动的速度规律得tan6=匕=义

%%

于是得到tand=2tan。

x=vot

b.由平抛运动的位移规律12n?=3尤2

2

y=-gt2v0

（2）设小珠子在某时刻的位置坐标为（x,y）,此时速度方向（切线方向）与水平方向的夹角为内则质点所

受指向平衡位置的力产=-机？sin6Q-〃zgtan9（因距。点很近，所以夕很小）

根据前面抛物线的规律可知tand=2tana=22

X

代入得到歹=一驾工

%

即物体做简谐运动。

/、Icos3=m^疗

（3）假设小珠子相对轨道静止处的位置坐标为无,〉，根据牛顿定律二.△，ntan9=­x

'/sm0=mcoxg

由tan。=2tancr=2—

x

得/=警、

CO

由于轨道方程为》=齐/

即

g

于是可得与片日y

gg

由此式可知，当口二旦时此式恒成立，与y无关。

%

结论：①若①二&,小珠子可以相对轨道静止在任意位置处；

%

②若。〈巨，小珠子不能相对轨道静止，一定会滑向。点，只能在O处相对静止；

%

③若。＞9,小珠子不能相对轨道静止，一定会被向外甩出轨道，只能在。处相对静止。

%

6.（2024・北京朝阳・统考一模）如图所示，质量〃2=1.0kg的小物块从固定斜面的顶端由静止开始匀加速下滑。

斜面的长度乙=1m,倾角6=37°,物块与斜面间的动摩擦因数〃=0.5,重力力口速度g=10m/s2,sin37°=0.6。

求物块下滑至斜面底端的过程中：

（1）加速度的大小。；

（2）重力冲量的大小心和方向；

（3）损失的机械能AE。

【答案】(1)2m/s2;(2)10N-S,方向竖直向下；(3)4J

【详解】(1)对物块受力分析，由牛顿第二定律加gsin。-

且/=jumgcosO

得a=2m/s2

(2)由运动学公式£产

2

得t=1s

根据冲量的定义可得IG=，咫f=10N・s

方向竖直向下。

(3)下滑过程中物块克服摩擦力做功为明,机械能损失AE,有A£=%=〃mgLcos。

得AE=4J

7.(2024•北京丰台.统考一模)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨

半径为凡一个质量为根的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后

脱离弹簧，它经过8点的速度为可，之后沿半圆形导轨运动，恰好能运动到最高点C,重力加速度为g。求：

(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能EP；

(2)物体沿半圆形轨道运动过程中阻力所做的功Wf；

(3)物体离开C点，落至水平面时距B点的距离X。

【答案】⑴斗⑵叼=千叫我-//；⑶x=2R

【详解】(1)对物体和弹簧组成系统，从A运动至8过程，由能量守恒定律有与=1相T

(2)物体恰好能运动到最高点C,由牛顿运动定律有mg=

R

解得v2=y[gR

对物体，从2运动至C过程，出动能定理有-%g2R+%=:根心-；根v；

解得叼=£mgR-1”喈

(3)物体离开C点后做平抛运动

2K4城

x=v2t

解得x=2R

8.(2024.北京石景山.统考一模)一兴趣小组的同学为探究物体做圆周运动的特点制作了如图所示的装置：

弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，8点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。该小组的

同学让质量为根的小球(可视为质点)从弧形轨道上距2点高5R的A点由静止释放，先后经过2点和C

点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，重力加速度为g。

(1)求小球通过B点时的速度大小VB。

(2)求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小厂和方向。

(3)该小组的同学认为，只要小球能够经过C点，则轨道8和C两点对小球的压力大小之差是不变的。你

是否同意这一观点请说明理由。

【答案】(1)%=J10gR；(2)F=5mg,方向竖直向下；(3)同意，见解析

【详解】(1)小球从4点到3点，由机械能守恒机=

解得VB=JlOgR

(2)小球从A点到C点，由机械能守恒mg(5R-2R)=g〃4

在C点，根据牛顿第二定律尸+mg=加版

解得F=5叫

方向竖直向下。

(3)同意。由机械能守恒〃琢-2氏+；"吟=；加落

根据牛顿第二定律

Fc+mg=m'

FB-mg=m-^

解得轨道2和C两点对小球压力大小之差片-FC=61ng

故轨道B和C两点对小球压力大小之差为定值。

9.（2024•北京石景山.统考一模）物体做曲线运动的情况较复杂，一般的曲线运动可以分成很多小段，每小

段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线

上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A

点的曲率圆，其半径『叫做A点的曲率半径。在分析物体经过曲线上某位置的运动时，就可以按其等效的圆

周运动来分析和处理。

（1）氢原子核外的电子绕核做匀速圆周运动，其周期为7。已知电子的电荷量为e,质量为机，静电力常

量为鼠求电子运动的轨道半径凡

（2）将一物体沿与水平面成a角的方向以速度V。抛出，如图（b）所示。已知重力加速度为g,求其轨迹

最高点P处的曲率半径厂。

（3）开普勒根据第谷的行星观测记录结合数学知识发现，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的

时间内扫过的面积相等。如图（c）所示，卫星绕地球沿椭圆轨道运动。卫星在椭圆轨道的近地点P的速度

为也，近地点P到地心的距离为R；在远地点。的速度为以，远地点。到地心的距离为一兴趣小组

的同学根据开普勒定律结合数学知识得到v小=丫井请你根据万有引力定律和牛顿运动定律推导这一结论。

解得电子运动的轨道半径R=J至—

V471m

（2）小球在最高点的速度为vocosa,根据牛顿第二定律加g=-（%cosa）

v；cos2a

解得曲率半径

g

（3）卫星在椭圆轨道上运行，由椭圆的对称性，近地点尸和远地点。的等效圆周运动的半径相等，设为

Mm

/,根据万有引力定律和牛顿第二定律，卫星在近地点时G

卫星在远地点时G粤

解得vji=v2r

10.(2024.北京通州.统考一模)重锤打桩机打桩过程可简化为如图所示的模型：用动力装置将质量为

m=1000kg的重锤提升到高处自由释放，重锤下落〃=0.8m后与质量为M=1000kg的桩发生碰撞，碰撞时间

极短，碰后二者一起运动。设桩受到泥土的阻力恒为f=30000N,重力加速度取g=10m/s2,不计空气阻

力。求：

(1)机与M碰撞前瞬时速度的大小％；

(2)机与M碰撞后速度的大小v；

(3)本次打桩后，桩下降的距离小

,,h

【答案】(1)4m/s；(2)2m/s；(3)0.4m

【详解】(1)根据

=马M碰撞前瞬时速度的大小/=4m/s

(2)由动量守恒定律有根％=("+根)v

得v=2m/s

(3)由动能定理有(河+”7)86%?=0-；(知+附/

得i/=0.4m

11.(2024.北京顺义.统考一模)一枚在空中水平飞行的玩具火箭质量为"%在某时刻距离地面的高度为〃,

速度为V。此时，火箭突然炸裂成A、B两部分，其中质量为叫的B部分速度恰好为0。忽略空气阻力的影

响，重力加速度为g。求：

(1)炸裂后瞬间A部分的速度大小V7;

(2)炸裂后B部分在空中下落的时间f；

(3)在爆炸过程中增加的机械能AE。

/

mvmm

【答案】（1）E⑵1

^m-m1

【详解】（1）炸裂后瞬间由动量守恒可知mv=（m—吗）匕

mv

解得A部分的速度为匕=-----

m-rriy

（2）炸裂后由运动学规律可知〃=gg/

空中下落的时间为

（3）在爆炸过程中增加的机械能为AE=J（〃2-/）片-；mv2

f

1、

解得AE=]V29

12.（2024.北京顺义•统考一模）动量p和力尸都是矢量，在处理二维问题时，为简化问题研究，可以在相

互垂直的x、y两个方向上分别研究，即将二维问题转化为一维问题。

（1）质量为机的小球斜射到木板上，入射的角度是0,碰撞后弹出的角度也是0,碰撞前的速度大小是加，

碰撞后的速度大小是v,如图1所示。分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化A。、\py：

（2）质量均为根的球1和球2构成一个系统，不考虑系统的外力作用，球1沿x轴正向以速度口与静止的

球2碰撞，碰撞后两球的速度的偏角分别为8=53。、5=37°,如图2所示。求碰后两球速度的大小匕'和％'。

（3）轻绳两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳

处于拉直状态，其俯视图如图3所示。对小球M施加一瞬时冲量，使它获得方向与绳垂直的速度VM。分别

求出在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间三个小球速度的大小。

碰撞前

图1

,34

【答案】(1)musin6-根%sin6；mvcos^+mvocos^；(2)0'=二0；=-^；(3)见解析

【详解】（1）碰撞前后x方向小球的动量变化=相也-根%%=wsin。-加%sin。

碰撞前后y方向小球的动量变化"y=myy-mvOy=mvcos0-(-mv0cos=mvcos0+mv0cos0

(2)设碰后两球速度大小分别为匕'、v；,规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下

mV[=mv^cos0+mv；cos(p

规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下mv^sintp-mv^sind=0

34

联立，可得1'=针，

(3)由对称性，当两端小球发生碰撞时示意图如图所示，

八%

八八

---><---

匕匕

设两小球沿二者球心连线方向速度大小为以，在垂直两小球球心连线方向的速度大小为内，由机械能守恒

定律和动量守恒定律，有：叫2吟，MVM^(M+2m)vy

解得v72M(M+m)%=泮4

m

M+2mMM+2m

可知在轻绳两端小球发生碰撞前瞬间，中央小球速度的大小为。

M+2m

13.(2024•北京房山・统考一模)山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动。滑雪坡由48和8(?组成，A8是倾角

为45。的斜坡，8c是半径为R=5m的圆弧面，圆弧面和斜坡相切于8,与水平面相切于C,如图所示，AC

竖直高度0=10m,竖直台阶CD高度为例=5m,台阶底端与水平面。£相连。运动员连同滑雪装备总质

量为80kg,从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s。通过C点后落到水平面上，不计空气阻力，

g取10m/s2o求：

(1)运动员经过C点时受到的支持力大小N。

(2)运动员在DE上的落点距。点的距离X。

(3)从A点运动到C点，摩擦力对运动员做的功W。

DE

【答案】（1）3936N；（2）14m；（3）160J

【详解】（1）由题知运动员连同滑雪装备从A点由静止滑下，到达C点时速度大小为14m/s,则运动员在C

=m

点有Nc-mg~^

解得NC=3936N

（2）运动员连同滑雪装备从C点飞出做平抛运动，则有

,12

色=28t'

x=vCt

联立解得x二14m

（3）运动员连同滑雪装备从A点运动到C点右mg%-Wf

解得历=160J

14.（2024•北京房山・统考一模）动量定理在物理学中有着非常重要的地位，是解决物理问题的重要工具。

（1）如图所示，质量为根的物体在光滑的水平面上受到恒力P的作用，做匀变速直线运动。初始时刻，物

体的速度为%,经过一段时间乙它的速度为匕。结合以上情景，利用牛顿第二定律和运动学公式推导动量

定理表达式。

（2）单个微小粒子撞击巨大物体的力是局部而短促的脉冲，但大量粒子撞击物体的平均效果是均匀而持续

的力。我们假定单位体积内粒子数量为"，每个粒子的质量为山，粒子运动速率均为V。如果所有粒子都垂

直物体表面运动并与其碰撞，碰撞后粒子垂直物体表面返回的速度大小也是"，利用所学力学知识，导出物

体表面单位面积所受粒子压力/与机、〃和v的关系。

（3）在近地轨道绕地球做圆周运动的人造卫星会受到稀薄空气阻力作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变

小。某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：一质量为机最大横截面积为A的人造卫

星绕地球运动，每一圈均视为匀速圆周运动，运行轨道范围内稀薄空气的密度为夕，稀薄空气看成是由彼

此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具

有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。地球质量为引力常量

为G。试估算卫星在半径为r轨道上运行时，卫星所受阻力大小小

V

一一t一—1%

【答案】（1）见解析；（2）2nmv2（3）今空

【详解】（1）由于物体在水平面上只受恒力尸的作用，由牛顿第二定律可知尸=3,。="二^

故尸=加匕一%

整理可得Ff=mvt-mv0

即合外力的冲量等于其动量的变化量，动量定理成立。

(2)加时间内到达面积为S容器壁上粒子所占体积V=SvM

单位体积粒子个数为〃，则加时间内粒子的总数N=

面积为S的器壁所受的压力为F，则F\t=2Nmv=21msv1At

所以单位面积上粒子的压力上/『y

(3)经加时间内稀薄空气颗粒的质量Am,贝!=必，

设飞船给这部分粒子的作用力为尸，根据动量定理则有尸&=Amv

角牟得F=pAv2

又因为

「M\m.v2

CJ=Am——

R2R

pAGM

故可知/=

R

15.(2024.北京门头沟・统考一模)如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道下端与水平桌面相切。

两个完全相同的小滑块A、B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，滑块A以速度

v在水平方向和B发生正碰后粘在一起，并沿桌面继续滑动。已知滑块A、B质量均为m,重力加速度为g。

求：

(1)光滑圆弧半径R；

(2)与B碰撞前瞬间A对轨道的压力大小F；

(3)碰撞过程中系统损失的机械能AE。

【详解】(1)滑块A下滑的过程根据机械能守恒:加1=mgR

2

(2)AB碰撞前，对A进行受力分析，根据牛顿第二定律=m匕

R

解得N=3mg

利用牛顿第三定律得与B碰撞前瞬间A对轨道的压力大小为3mg

(3)AB碰撞过程动量守恒，则mv—2mv

得v'=g

2

所以碰撞过程中系统损失的机械能为mv2-^-x2mv'2=Jmv2

16.(2024•北京延庆•统考一模)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。图甲是北斗

导航系统卫星分布示意图，乙所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动

的周期为7,地球半径为凡地球表面附近的重力加速度为g,引力常量为G。

(1)求地球的质量M；

(2)求该卫星的轨道距离地面的高度力；

(3)请推导第一宇宙速度V7的表达式，并分析比较该卫星的运行速度v与第一宇宙速度叼的大小关系。

【答案】(1)M=---；(2)h=(3)v<Vj

G

【详解】(1)设一物体的质量为m/,在地球表面附近万有引定律等于重力^=%g

解得地球质量M=.

G

Mm4乃2

(2)设卫星质量为m2,根据牛顿第二定律G2=m-^-(R+h)

(R+42

解得h=l\筌3喑-R

(3)根据牛顿第二定律G"=

rr

第一宇宙速度为近地卫星的运行速度，即时匕等

该卫星的轨道半径厂=R+/z>R

因此其速度v＜匕。

17.（2024.北京延庆・统考一模）如图所示，半径R=0.4m的竖直半圆形轨道6c与水平面仍相切。质量加2=0.2kg

的小滑块B放在半圆形轨道的最低点6,另一个质量为〃”=0.3kg的小滑块A,在水平推力后3N作用下由

静止开始从a点向右做匀加速直线运动，当小滑块A刚好要与小滑块B碰撞时立即撤去F,随后小滑块A

与B相碰，碰撞时间极短，碰后A、B粘在一起后恰好能够到达半圆形轨道的最高点c。已知推力尸作用的

时间r=2s,滑块A与水平面之间的动摩擦因数〃=0.5。取重力加速度g=10m/s2,A、B均可视为质点。求：

（1）A与B碰撞前瞬间的速度大小四；

（2）两滑块在碰撞过程中损失的机械能AE；

（3）两滑块从6运动到c的过程中系统产生的热量。。

【答案】（1）10m/s;（2）6J；（3）4J

【详解】（1）设小滑块A的加速度为°,根据牛顿第二定律有=7如。

由运动学公式有vi=at

解得V7=10m/s

（2）小滑块A与B相碰，根据动量守恒定律有mivi=（mi+m2）v

根据能量守恒定律有公£？=：〃/；-