集合与常用逻辑用语、不等式、复数（19题新题型）解析版-2025年高考数学一轮复习

第08讲第一章集合与常用逻辑用语、不等式、复数

(章节验收卷)(19题新题型)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(2024下•河北保定•高一河北安国中学校联考开学考试)已知集合“=卜卜3<彳<4},

N=[gx+l>o],则MCN=()

A.(-3,3)B.(-3,6)C.(-2,4)D.(-3,2)

【答案】C

【分析】求出集合N,利用交集的定义可求得集合McN.

[详解]因为N={xgx+l>o}={x|x>_2},M=^x\-3<x<4^,故AfAf=(-2,4).

故选：C.

2.(2024下•四川•高三四川省西充中学校联考期末)设i为虚数单位,若z=l+i,则，(z+l)=

()

A.3-iB.1-iC.l+3iD.3+3i

【答案】A

【分析】利用共辗复数的意义、复数乘法计算即得.

【详解】复数z=l+i,则W(z+D=(l-i)(2+i)=3-i.

故选：A

3.(2024上•安徽•高一校联考期末)不等式_尤2+%+2>()的解集为()

A.(^»,-2)U(-1,-HX>)B.(-oo,-l)._(2,+co)

C.(-1,2)D.(-2,-1)

【答案】C

【分析】根据不含参的一元二次不等式的解法计算即可求解.

【详解】原不等式可化为(x+l)(x-2)<0,解集为(-1,2).

故选：C.

4.(2024上•安徽亳州•高一亳州二中校考期末)一元二次不等式以2-云+c>0的解集为

[x\l<x<2],则不等式cd一区+“<0的解集为()

1

C.—00,—D(l,+8D.

22

【答案】C

hc

【分析】根据不等式的解集可得到a<0,-=3,-=2,把结果代入到所求不等式中

aa

即可求解.

hr

【详解】根据题意可知a<0,—=3,—=2,贝|J6=3〃，c=2a,

a

所求的不等式可化为：2依2一36+。<0,即2尤2-3尤+1>0,解得：x>l或

故选：C

5.（2024下•广东•高三校联考开学考试）已知集合A=xx\x<a+y^

若AB=R,贝吐的取值范围是（

A.[1,+(»)B.[-2,-H»)

C.(-co1]D.(F,-2]

【答案】A

【分析】解不等式求出集合4根据AB=R列出不等式，求解即得答案.

【详解】解不等式X2-3X-4>0,得X24或XW-1,

即A={x|xN4或九<一1},而3={%[x<a+3},

若AB=R,贝1]。+324,二。21,

即。的取值范围是［1,+8）,

故选：A

6.（2024下•湖北•高一湖北省汉川市第一高级中学校联考开学考试）下列选项中是“玉目1,2］,

2%2_座+6>0”成立的一个必要不充分条件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4A/3D.m<8

【答案】A

2r2+6=2「+。］,根据函数单调性得到3

【分析】变形得到机=8,故

Xxxmax

m<8,由于m<8是mK8的真子集，故A正确，其他选项不合要求.

【详解】[1,2],2x2—mx+6>0,

即上e[l,2],m<2x+6=2+

Xrt,

,其中y=2卜+j

m<2在a，石）上单调递减,

[hllmax、

在（62]上单调递增,

其中x=l时，y=2x[l+；]=8,当x=2时，y=2x（2+||=7,

故2^x+-

=8,gpm<8,

Imax

由于m<8是mW8的真子集，故"m<8”的必要不充分条件为“m<8,5,

其他选项均不合要求.

故选：A

31

7.（2024上•河北沧州•高一统考期末）已知正数x,歹满足3x+2y=2,则丁+一的最小值

2xy

为（）

、「c25八13C25

A.6B.—C.—D.—

422

【答案】B

【分析】借助基本不等式计算即可得.

31if31.、1（9c3y1"3一访

五十15仁+力3»2y）=木+2+丁j/x[525

【详解】

4

3y3x

--L--Q3]oc

当且仅当xy，即时，等号成立，因此丁+一的最小值为多.

52xy4

[3x+2y=2

故选：B.

8.（2024上•山东威海•高二统考期末）已知集合&={2|2=『+]，〃€用},则A的元素个

1

数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据复数的四则运算求出复数z,得出复数的周期性，即可判断集合中的元素

个数.

【详解】当〃=1时，z=i+-=i-i=0,当〃=2时，z=i2+4=-l-l=-2,

11

当〃=3时，z=i3+4=-i--=O,当〃=4时，z=i4+4=l+l=2,

iii

当九=5时，z=i5+4-=i+-=i-i=O,当〃=6时，z=i6+^-=i2+-^-=—1—1=—2,

iiii

当〃=7时，z=i7+^-=i3+^-=-i--=0,当〃=8时，z=i8+^-=i4+^=1+1=2,

iiiii

L,可知以上四种情况循环，故集合A={0,-2,2},A的元素个数为3.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2024上•江西•高一校联考期末）如图，已知矩形U表示全集，48是U的两个子

集，则阴影部分可表示为（）

A.（MnSB.e（AcB）C.D.Q⑷（Ac5）

【答案】AC

【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.

【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合2,而不属于集合A,

即在阴影部分区域内任取一个元素%贝IJ满足x走A,且xeB,即xeeA且xeB；

因此阴影部分可表示为（eA）c3,即A正确；

且xe（AB）,因此阴影部分可表示为B）,C正确；

易知阴影部分表示的集合是。（4八3）和«回（4B）的真子集，即B错误，D错误.

故选：AC.

10.（2024•广西南宁・南宁三中校联考一模）若复数z满足zi=l_i,则下列命题正确的

有（）

A.z的虚部是一1B.|Z|=A/2

C.z?=2D.z是方程Y+2x+2=0的一个根

【答案】ABD

【分析】根据复数的除法运算和复数模即可判断AB,利用复数的乘方相关运算即可判

断CD.

【详解】zi=l-inz=T=-l-i,贝|目=忘，故A,B正确；

z2=（-l-i）2=2i,故C错误；

而（-l-i）2+2（-l-i）+2=0成立，故D正确.

故选：ABD.

11.（2024上•山东聊城•高三统考期末）下列说法中正确的是（）

4

A.函数y=sinx+^—的最小值为4

smx

B.若。+少=2,则2"+2"的最小值为4

C.若。>0,b>0,a+b+ab=3,贝!的最大值为1

149

D.若x>0,y>0,且满足x+y=2,则一+一的最小值为:；

xy2

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式和“1”的妙用依次判定即可.

1T4

【详解】对于A：当x=V时，y=-l+—=-5,故A错误；

2—1

对于B：2"+2、之2,2J2/=2^7r=4,当且仅当〃=人=1时，等号成立，故B正确；

对于C：a+b+ab=3>2y[ab+ab=>ab+2y[ab—3<0,

即（疝+3）（疝一1）40,解得痣当且仅当a=b=l时，等号成立，故C

正确；

工十141「14）ify4x_]y9

对于D:_+-=「_+—（尤+y）=T1+―+—+42展5+2卜——=-,

xy21%y）2（xyJ2（xyj2

24

当且仅当y=2x时等号成立，止匕时x=t，y=（,故D正确；

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（2024上•山东临沂•高一统考期末）集合A={-3,机},8={加+4帆,-1},且A=3,则

实数，7?=.

【答案】-1

【分析】根据集合关系A=3,分别讨论m=-1,"?=:"+4加，从而可求解.

【详解】由题意得A=3,

2

当〃z=-l时，A={-3,-1）,m+4m=-3,则3={-3,-1},符合题意；

当加=相？+4m时，解得=0或m=—3,

若加=0,则人={-3,0},5={0,-1},不符合题意；

若〃?=-3,贝iJA={-3,—3},不符合题意；

综上所述：〃z=-L

故答案为：-1.

13.（2024上•湖北荆州"高一校联考期末）若命题3xeR,-2m+2加-320为真命题，

则m的取值范围为.

【答案】（f,—3]31,小）

【分析】利用二次函数性质求解可得.

【详解】由题意，不等式—Y—2:nr+2机—320有解，即不等式x2+2加x—2机+340有

解,

设/(尤)=d+2〃a一2机+3,则函数图象开口向上，

要使不等式〃x)V0有解，则函数图象与x轴有交点，

则A=4病—4(—2〃?+3)20,化简得疗+2机—320,解得znW—3或〃z2/.

故答案为：(YO,-3]3L")

14.(2024•福建漳州•统考模拟预测)已知复数马，Z?满足z+2马=-3-i,|z「zj=l,则

肉+0的最大值为.

【答案】Vio+i/i+Vio

【分析】设4=尤+何，根据题意求得4,根据复数的几何意义求得z?对应点的轨迹，

再根据几何意义求目标式的最大值.

【详解】令复数4=x+yi,x,>eR,则彳=x-yi,

所以4+2可=3x-yi=-3-i,所以x=—1,y=l,即z=-l+i.

又因为民-1=1,即在复平面内，复数z?所对应的点的轨迹是以(-U)为圆心，1为半

径的圆.

又点(TJ)到点(0,-2)的距离为"(-1一0『+(1+2>=710,

所以"+2i|的最大值为JQ+1.

故答案为：V10+1.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(2023下•陕西咸阳•高一咸阳市实验中学校考阶段练习)设复数

Z]=l-«i(oeR),z2=3-4i.

(1)若a+z?是实数,求Z「Z2；

⑵若五是纯虚数，求4.

Z2

【答案】(l)19+8i；

3

⑵1+,

【分析】(1)利用复数的加法及复数的分类求出〃，再利用复数乘法求解即得.

(2)利用复数除法及复数的分类求出〃即得.

【详解】(1)由ZI=l-ai,Zz=3-4i,得+z2=4—(4+a)i,而z1+z?是实数，

于是4+a=0,解

所以Z1•Z2=（1+4i）（3_4i）=19+8i.

4_1-fli_（l-ai）（3+4i）_3+4«+（4-3fl）i

(2)依题意,是纯虚数,

三一3-4i—（3-4i）（3+4i）—25

3+4。=03

因此解得一“

4—3。w0

3

所以4=1+亍.

16.(2015下•福建•高一校联考阶段练习)已知不等式依2一3x+2>0的解集为"I无<1

或x>人}

(1)求。力的值

(2)解不等式g?-^am+b^x+bm<0.

[a—1

【答案】⑴〃,

[6=2

(2)答案见解析

【分析】(1)由题知占=142=匕是方程分2一3x+2=0的两个解，根据韦达定理列出

方程，解出即可；

(2)化简不等式，分类讨论，即可得到不等式的解集.

【详解】(1)因为不等式加-3元+2>0的解集解集为{x|x<l或尤>此

所以％=1,%=6是方程依2-3尤+2=。的两个解,

1+6=3r=1

所以：，解得：；

入[b=2

l1x/?=—2i

a

(2)由(1)知原不等式为f一(加+2)x+2加<0,

即(x-m)(％—2)<0,

当机>2时，不等式解集为卜|2〈尤〈加}；

当机=2时，不等式解集为0；

当机<2时，不等式解集为{耳机<x<2}.

17.(2024上•浙江湖州•高一统考期末)已知集合A={无h-8X+12<0),B={x|2t>8).

（1）求AcB和

⑵若集合C={Ra-4<xWa+4},且/TC=A,求实数。的取值范围.

【答案】⑴卜|34》46},{x|x<2}

⑵[2,6)

【分析】（1）根据不等式的解法和指数函数的性质，求得集合A3,结合集合的运算,

即可求解；

（2）根据题意，转化为A=C,列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：由不等式元2一8X+12V0,解得2VxW6,所以A={x|24尤V6},

又由2*28,解得x23,可得JB={X|XN3},

所以AcB={x|3VxV6},AuB={x|%>2},则4（AB）={x\x<2}.

（2）解：由集合C={x|a-4<x〈o+4},且AC=A,可得A=C,

fci—3<2「、

贝IJ满足a+4>6,解得24。<6,所以实数。的取值范围［2,6）.

18.（2024上•河北石家庄•高•石家庄一中校考期末）据国家气象局消息，今年各地均

出现了极端高温天气.漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品.某企业生产制冷杯每月的成本（单

位：万元）由两部分构成：□固定成才（与生产产品的数量无关）：20万元；口生产所需材

料成本：+万元，x（单位：万套）为每月生产产品的套数.

（1）该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少？

（2）若每月生产x万套产品，每万套售价为：90+宙］万元，假设每套产品都能够售出，

则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元？

【答案】（1）每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元

（2）该企业每月生产不小于20（后-10）万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于520

万元

【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为y=，20+Wr+io,再利用基

x20

本不等式即可求出结果；

（2）由题意可矢口月利润。=——+20%—20,解一元二次不等式一+20%—202520即可

2020

求出结果.

【详解】（1）设平均每套的成本为了元,

X2

20+10%+——

由题有y20x1八

20=-----1------F10>2

x20

当且仅当‘20=白x，即x=20时，取等号，

x20

所以企业每月产量20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元.

（2）设月利润为尸万元，

贝I］有p=x(30+土--20=—+20x-20,

102020

由题知一+20x-202625,整理得至!J/+400X-430x3020,解得彳230,

20

所以，该企业每月生产不小于30万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元.

19.(2022上•上海普陀•高一曹杨二中校考阶段练习)己知集合4=｛%,%,…,凡｝

(\<ax<a2<-<an,«>2)具有性质P：对任意的i、j(1<Z<J</I),q/与鱼两数

q

中至少有一个属于A.