江西省景德镇市2024-2025学年度高二年级上册11月期中考试数学试题【含解析】

江西省景德镇市2024-2025学年度高二上学期11月期中考试数学试题

【含解析】

满分：150分考试时间：120（分钟）

第一部分选择题（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知直线/过点A。?，'（3,4）,则直线/的倾斜角为（）

兀兀兀兀

A.——B.——C.—D.—

6343

【答案】C

【解析】

【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.

4-2

【详解】由题可得：k,=——=1,所以直线/的倾斜角为：45°；

3-1

故选：C

2.直线x-2y+l=0的方向向量是（）

A.（2,1）B.（-2,1）C.（1,2）D.（1,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可.

【详解】直线x—2y+l=o的斜率为点所以方向向量是（2,1）.

故选：A.

3."zn=—g"是"两条直线x+的一1=0,（3/n-2）x+y—1=0平行”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用直线平行的条件计算可得结论.

【详解】当机=—；时，两条直线3x—y—3=0,3x-y+l=0,两直线平行，

所以"机=—g"是"两条直线x+冲—1=0,（3加一2卜+》一1=0平行”的充分条件；

因为直线（3根一2）x+y-l=0的斜率存在且为2-3帆，

由两直线平行，所以x+7*-1=0的斜率存在且为-工，

m

所以一^-=2-3/n,解得m=1或机=—工，

m3

当m=1时，直线方程均为x+y-1=0,此时直线重合，故m=1不符合题意，舍去；

所以"加=—g"是"两条直线%+冲—1=0,（3加一2）x+y—1=0平行”的充要条件.

故选：C.

4.定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm）来判断降雨程度；其中小雨（0mm-10mm）,

中雨（10mm-25mm）,大雨（25mm-50mm）,暴雨（50mm-100mm）；小明用一个圆锥形容器（如图）

接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）

【答案】B

【解析】

【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.

贝UAB=200,OC=300,CF=150,

则E为OC中点，

则。£=，AB=100,DF=50,

2

由已知在直径为200mm的圆柱内的降雨总体积V=-n-DF2CF=125000兀mir?,

3

V12500071…

则降雨高度为一-----------=12.5mm,

71•OA210000K

所以降雨级别为中雨,

故选：B.

5.直线y=Y3x关于工=1对称直线/，直线/的方程是（）

3

A.y/3x+y-2=0B.石x+y+2=0

C.x+—2=0D.x+y/3y+2=0

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知直线y=*x与直线X=1交于点A（L当），求出原点关于直线X=1对称的对称点

B,利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.

【详解】如图，直线y=[x与直线1=1交于点直线y=过原点（0,0）,

因为直线y=*5%与直线/关于直线x=l对称，

-3

所以原点关于直线x=l的对称点为3（2,0）,且直线/过点A、B,

73„

则直线/的斜率为7_G，

11-23

所以直线/的方程为y-0=-5（元—2），

即x+gy-2=0.

故选：C

6.若尸是VA5C所在平面外一点，且上4,3C,PBLAC,则点P在VA5C所在平面内的射影。是

VABC的（）

A.内心B.外心C.重心D,垂心

【答案】D

【解析】

【分析】根据且PBLAC,利用线面垂直的判定定理得到3CJ_Q4,OB_LAC即可.

【详解】解：如图所示：

因为PAL5cp0L3C,且B4IPO=P,

所以平面P4O,则

同理得08,AC,

所以。是VABC的垂心.

故选：D

7.四边形ABC。是矩形，AB=3AD,点E,尸分别是AB,。的中点，将四边形AEFD绕所旋转至与

四边形5瓦C重合，则直线ED,§b所成角a在旋转过程中（）

A.逐步变大B.逐步变小

C.先变小后变大D.先变大后变小

【答案】D

【解析】

【分析】根据初始时刻ED与8尸所成角可判断BC,由题可知D在平面BCFE内的投影尸一直落在直线CF

IT

上，进而某一时刻可得DE与所所成角为一,可判断AD.

2

【详解】由题可知初始时刻ED与跖所成角为0,故B,C错误，

在四边形AE/*绕所旋转过程中，EF±DF,EF±FC,。尸口尸。=尸，。尸，尸。u平面。尸。,

所以所，平面。尸C,EFu平面EFCB,

所以平面DFC1平面EFCB,故D在平面BCFE内的投影尸一直落在直线CF上，

所以一定存在某一时刻上尸,所，而。尸，平面EFC8，DP±BF,又。PCPE=P，DRPEu平面

DPE,

TT

所以平面。尸E，此时DE与防所成角为一，然后1开始变小，

2

故直线ED,3尸所成角a在旋转过程中先变大后变小，故选项A错误，选项D正确.

故选：D.

8.半球内放三个半径为退的小球，三小球两两相切，并耳与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的

半径是（）

A.1+^/3B.6+逐C.V5+V7D.百+近

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件求出以三个小球球心。1、。2、。3构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解

即可.

三个小球的球心。1、。2、Q构成边长为2行的正三角形，则其外接圆半径为2.

设半球的球心为0,小球。1与半球底面切于点A.

如图，经过点0、A作半球的截面，半圆的半径0CLQ4,qBLOC于点5.

则OA=O]B=2.

在Rt^OAOi中，由(R—=(2》+(旨nR=6+近.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列命题中，正确的有()

A.若向量£、B与空间任意向量都不能构成一组基，则)/方

B.若非零向量五,c满足4_1_石,则有〃〃C

C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件

D.若｛a+瓦5+","+a｝是空间的一组基，贝瓦c｝也是空间的一组基

【答案】AD

【解析】

【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，

从而确定正确答案.

【详解】A选项，•••％,B与任何向量都不构成空间向量的基底，

B只能为共线向量，A对；

B选项，取@=(1,0,1),^=(-1,1,1),c=(l,2,-l),显然满足Z'B，alc，

但五与之不平行，B不对;

C选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是90°,此时直线没有斜率，所以C选项错误.

D选项，•.,q+B，b+c>c+a为一组基底,

，对于空间任意向量d,存在实数相，”，3

使I=m^a+b^+n^b+c^+t(^c+a^=(jn+t^a+(^m+n^b+(^n+t^c,

：.a，b，2也是一组基底，D对；

故选：AD

10.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是()

A.直角三角形B,直角梯形C.正五边形D,正六边形

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一

与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项.

【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；

截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；

当截面为五边形时，不可能出现正五边形；

截面为六边形时，可能出现正六边形，

故选：ABC.

11.如图，在正方体ABCD-AgG。中，点尸在线段上运动，则下列结论正确的是()

A,直线82,平面

B.三棱锥尸-4G。的体积为定值

兀71

C.异面直线AP与4。所成角的取值范围是

_42_

D.直线GP与平面所成角的正弦值的最大值为亚

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；

在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；

在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；

在选项D中，以。为原点，ZM为X轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进

行求解即可.

【详解】在选项中，

A•••4G，42，AG1BB[,BQ]CBBi=Bi，

且u平面

B[D[,BBlBBlDl,

平面u平面

：.AG_LBBlDt,BDlBBlDl,

：.AG,

同理，

DC,±BDX,

:AG=£,且AG，u平面4G。，

直线2，，平面AG。，故A正确；

在选项B中，

,:&D/IB©,a。u平面AG。，平面AG。，

用C//平面,

..•点尸在线段3c上运动，

p到平面4G。的距离为定值，又AAG。的面积是定值，

三棱锥p-4G。的体积为定值，故B正确；

在选项c中,

\D!!B{C,

/.异面直线AP与4。所成角为直线AP与直线B[C的夹角.

易知△ABC为等边三角形，

当尸为5c的中点时，APLB.C.,

TT

当尸与点片或。重合时，直线针与直线片。的夹角为不.

7171

故异面直线AP与所成角的取值范围是，故C错误；

在选项D中，

以。为原点，DA为％轴，。。为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图,

设正方体ABCD—4与。]2的棱长为1,

则P（a,l,a）,Q（0,1,1）,3（1,1,0）,D,（0,0,1）,

所以中=（a,0,a—1）,取=（1』,一1）.

由A选项正确：可知1,-1）是平面4G。的一个法向量，

|印•取|_11

直线QP与平面AQD所成角的正弦值为：阿丽=3—飞=6

.•.当。=工时，直线GP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为逅，故D正确.

23

故选：ABD

第二部分非选择题（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设直线4，4的方向向量分别为3=(-2,2,1),&=(3,-2,m),若k工/则旭=.

【答案】10

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.

【详解】由已知4即GIB，

贝ij商=(—2)x3+2x(-2)+lx〃z=0,

解得7〃=10,

故答案为：10.

13.有一根高为3万，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落

在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为.

【答案】5万

【解析】

【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.

【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，

所以铁丝的最短长度即为的长，又48=59万(4又『=5乃，填5万.

【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.

14.如图，已知正三棱锥尸—A3C的侧棱长为/,过其底面中心。作动平面a,交线段PC于点S,交Q4,

PB的延长线于M，N两点.则---1-----------1..........-

PSPMPN

'N

3

【答案】-

【解析】

I司［PB\\PC\

［分析］利用空间向量的线性运算得到pdJ_I.PM+J_I.P2V+J一L丽，再利用空间四点共面的性

3x3y3z

质即可得解.

【详解】依题意,^\PM\=x,\PN\^y,\PS\^z,

刖一网—.一网一一\PC\一

则p4=JL.PM，PB=J——・PN，PC=-——.ps，

xyz

p

由0为底面VA3C中心，连接PO,OA,

PO=PA+AO=PA+^x^(AB+AC^

=西+［而_网+附-珂卜西+丁+无

」闻丽+\闻西+勾匹方

3%3y3z

网一网—\PC\一

=J—+J~^PN+J—^PS，

3x3y3z

又因为S,M,N,O四点共面，

所以叫+包+叫=1且I而卜|而卜|定卜/,

3x3y3z

III,1113

所以虱+石+工"町十六7

即》焉13

H--------=一

PNI

3

故答案为:

【点睛】关键点睛：空间向量的有效运用：空间向量是解决空间几何问题的有力工具.通过设定向量的关系，

可以有效地将几何问题转化为代数问题，简化求解过程.共面条件的判断：四点共面的条件在空间几何中非

常重要.利用这一条件，可以将空间中的复杂关系转化为简单的线性关系，方便求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知直线—份+2+左=0（keR）.

（1）若直线/不经过第一象限，求左的取值范围；

（2）若直线/交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于8,VAC化的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值

和此时直线/的方程.

【答案】⑴[一2,0]

（2）S的最小值为4，此时直线/的方程为无—2y+4=0

【解析】

【分析】（1）验证左=0时，直线/是否符合要求，当上力0时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式

求上的取值范围；（2）先求直线在x轴和y轴上的截距，表示VA03的面积，利用基本不等式求其最小值.

【小问1详解】

当上=0时，方程%—◎+2+左=0可化为无=一2,不经过第一象限；

1?

当左20时，方程%—外+2+左=。可化为y=—x-\----1-1,

*kk

-<0

k

要使直线不经过第一象限，贝”;

-+1<0

、k

解得-2W左<0.

综上，上的取值范围为[-2,0].

【小问2详解】

由题意可得上>0,

由％_@+2+左=0取y=0得x=—2—左，

2+k

取尤=0得zy=---）

1i（4

所以s=・（2+左）=—左+4+—=4,

乙乙K221k7

4

当且仅当左=—时，即左=2时取等号,

k

综上，此时$曲「=4,直线/的方程为尤—2y+4=0.

16.如图，平面ABC£>,CF//AE,AD//BC,AD±AB,AB=AD=l,AE=BC=2CF=2.

(1)求证：3/〃平面AOE；

(2)求直线CE与平面5DE所成角的正弦值;

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面3b〃平面ADE,再由面面平行的性质可得结

论;

(2)由几何体特征建立以A为原点的空间直角坐标系A-孙z,利用空间向量求出直线CE的方向向量与

平面5Z汨的法向量，即可求出直线CE与平面5DE所成角的正弦值.

【小问1详解】

由CF〃4E,CF《平面ADE,AEu平面ADE,则CF〃平面ADE,

由AEV/3C,,平面ADE,ADu平面ADE，则平面ADE,

而CFn3C=C,CRBCu平面

故平面BCFH平面ADE,

又5尸u平面BCF,则BFH平面ADE；

【小问2详解】

AE_L平面ABC。，AB,A。u平面ABC。,

则AELAB,AE±AD,又ADLAB,

以A为原点，分别以A3,AC,AE为羽％z轴构建空间直角坐标系A-孙z,如下图所示:

z」

X

又AB=AD=1，AE=BC=2CF=2,

所以8(1,0,0),C(l,2,0),D(0,l,0),E(0,0,2),

贝|」行=(-1,一2,2),屁=(—1,0,2),DE=(0,-1,2),

yyi.BE——x+2z—0

令平面BD石的一个法向量/二(%,y,z),贝M,

m-DE=—y+2z=0

令z=l,则%=2,y=2,即玩=(2,2,1),

所蚌。s(，K国“畜常|=2=。

4

即直线CE与平面5。石所成角的正弦值为一.

9

17.如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面？DCE1.平面ABC。，ZBAD=ZADC^90°,

AB=AD=—CD=1,PD=x/2-

2

(1)若M为Q4中点，求证：AC〃平面MDE；

(2)求直线尸3与直线CO所成角的大小；

(3)设平面Q4DC平面EBC=/，试判断/与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析

(3)能垂直，证明见解析

【解析】

【分析】(1)先证明MN〃AC,再利用线面垂直的判定定理即可证明；

(2)利用线线平行可得NP5A是直线PB与直线所成角，利用面面垂直可得PDLM,结合己知条

件可得PA=退，利用线面垂直可得A3,P4,可得出tanNPBA的值，即可求解.

(3)根据题意可得£。〃/,利用平行的传递性，可证明平面ABCD.

【小问1详解】

连结PC,交.DE于N,连接MN,

,：PDCE为矩形，•••N为PC的中点，

在4c中，M，N分别为B4,PC的中点，

.'.MN//AC,

因为Wu面〃£石，ACa面皿比，

所以AC〃平面MOE.

【小问2详解】

VZBAD=ZADC=90°,：.AB//CD,

，/PBA是直线与直线CD所成角.

VPDCE矩形，...PDLCD,

,/平面PDCE±平面ABCD,

又？Du平面PDCE,平面「QCEc平面ABCD=CD,

/.，平面ABC,

♦.•^，皿匚平面至。。，；.75。，也,PD±AB,

在Rt^PDA中，：AD=1,PD=0，工PA=5

'：ZBAD=90°,：.AB±AD,

又PDcAD=D,PDu平面PAD,ADu平面BLD，

，43，平面？4。，：24匚平面？4。，，45，石4，

PAr

在中，VAB^l，AtanZPBA=—=。3,

AB

TTTT

：.APBA=-,从而直线PB与直线CD所成的角为一；

33

【小问3详解】

/与平面ABCD垂直.证明如下：

：。。。石为矩形，，£。〃尸。，

,；?Du平面BID，EC(Z平面？AD,EC〃平面HID,

ECu平面ESC,.平面平面EBC=/，

：.EC//l,则/〃PD,

由(2)可知？D,平面ABCD,/JL平面ABCD.

18.如图，平行六面体A5CD-A4CQ所有棱长均为0,底面ABCD为正方形，

JT

NAAB=N4AD=],点E为5片的中点，点E为CG的中点，动点P在平面ABCD内.

(1)若。为AC中点，求证：A<91AO-

(2)若FP〃平面RAE,求线段CP长度的最小值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由条件先求花•离，ABAA^,ADAB>再证明=由此完成证明；

(2)建立空间直角坐标系，设P(m,〃,O),求平面RAE的法向量和直线方尸的方向向量，由条件列方程

确定相，〃的关系，再求|屈|的最小值即可.

【小问1详解】

由已知===Z^AD=|,Z^AB=|,ZBAD=^,

所以诟•苞=Lx0x后711_

XCOS-=

232

1

AB-AA=—xV2x&义cos—=

232

ADAB=O-

因为。为AC中点，

所以汨=工"=」通+!击,

222

--(1—-1—.

-AO=\-AB+-AD-

(222

.—.1111

所以40.40=5+0+0+5—^—^=0,

所以而，市5

所以A。，A。

【小问2详解】

连接A。，AtB,

=AD=-\/2,/人AD=—

A^D--\/2,

,/T4JA=AB—A/2,2LAiAB——

AiB=s/2,

连接6D,

由正方形的性质可得三点共线，。为8。的中点,

所以4。，3。,

由第一问AOLAO,

AOBOu平面ABC£),AOC[BD=O,

所以4。，平面ABC。,

以0为坐标原点，0Ao民。41所在直线为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系

4(1,0,0)、0(0,-1,0),4(。，0，1)、B(0,1,0),c(-i,o,o)

=AD+A4^=(-2,-l,l)

AE=AB+BE=+=,

设平面QAE法向量为［,n=(x,y,z),

J~T~FTnf-2x-y+z=0

n•AD.=0，

则一，所以《3z八，

n-AE=0—―-X+y+-=0

1I22

.73c

・・XHZ=0,

22

令x=3,则z=7,y=L

.•.为=(3,1,7)为平面RAE的一个法向量，

因为点尸在平面ABCD内，

故设点尸的坐标为(机〃,0),

因为丽=而_砺=而—(反+函)=丽_加瓯，

所以可=〔加+,

丽.力=0，则3加+〃+1=0,

所以|CP|=J(m+1)?+*=^(m+1)2+(-3m-l)2=y/10m2+8m+2=++g，

所以当机=-2时，司有最小值，最小值为®.

5115

19.在空间直角坐标系中，若平面戊过点尸(%(),%,z°),且平面a的一个法向量为/i=(a,b,c),则平面a的

方程为a(x—%)+b(y—%)+z(z—Zo)=O,该方程称为平面a的点法式方程，整理后为

ax+by+cz+t—Q(其中—ax0—by0—cz0),该方程称为平面a的一般式方程.如图，在四棱柱

ABC。—44G2中，底面ABC。是平行四边形，BC,BD,?G两两垂直，AD=l，BD=6，直

线CG与平面A3CD所成的角为“以3为坐标原点，BC,BD，垢的方向分别是工，儿z轴的正

方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求平面的一般式方程.

(2)求人到直线G2距离.

MB

(3)在棱8月是否存在点使得平面4。/平面G2M?若存在，求出访的值；若不存在，请

£)£)]

说明理由.

【答案】⑴6x+y+百z-百=0

⑵B

2

(3)存在，M—MB=7[1